Natürliche Koordinaten Begleitendes Dreibein und Torsion Bogenlänge als natürlicher Parameter Z t s(t) := kẋ(τ )k dτ 0 ds = kẋk dt Normierter Tangentenvektor in natürlichen Koordinaten ẋ = x′ v1 = kẋk ′ x = 1 Hauptnormalenvektor x ′′ v2 := ′′ kx k 1 hẋ, ẍi x ′′ = ẍ − ẋ hẋ, ẋi kẋk2 Krümmung Binormalenvektor (R3 ), Schmiegebene v3 := v1 × v2 v1 , v2 , v3 . . . begleitendes Dreibein 0 = (x − x0 , v1 , v2 ) = (x − x0 , ẋ, ẍ) = hx − x0 , v3 i Schmiegebene 0 = hx − x0 , ẋi Normalebene 0 = hx − x0 , v2 i Streckebene Torsion (R3 ) τ = ± v3′ 1 = 2 (x ′ , x ′′ , x ′′′ ) κ ... (ẋ, ẍ, x ) = kẋk2 kẍk2 − hẋ, ẍi2 Frenetsche Formeln Krümmung von Kurven κ = x ′′ q 1 = kẋk2 kẍk2 − hẋ, ẍi2 kẋk3 |ẋ ÿ − ẍ ẏ | = 2 (ẋ + ẏ 2 )3/2 |f ′′ | = (1 + f ′ 2 )3/2 Kurven (x(t), y (t)) v1′ = Kurven y = f (x) Krümmungskreismittelpunkt (R2 ) ẋ 2 + ẏ 2 ẏ ẋ ÿ − ẏ ẍ ẋ 2 + ẏ 2 ẋ η(t) = y + ẋ ÿ − ẏ ẍ ξ(t) = x − Frenetsche Formeln (R3 ) κ · v2 v2′ = −κ · v1 v3′ = + τ · v3 −τ · v2
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