Prof. Dr. Duco van Straten M. Pauly 1. Übung zur Vorlesung „Elementarmathematik“ im Wintersemester 15/16 Aufgabe 1: Betrachten Sie die Summen 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, ... Wie kann man diese Summen (zeichnerich) veranschaulichen? Welchen Wert kann man für die n-te Summe vermuten? Beweisen Sie Ihre Vermutung. Aufgabe 2: Betrachten Sie die Pentagonalzahlen 1, 5, 12, 22, 35, . . . Veranschaulichen Sie diese Zahlenfolge zeichnerich (farbig). Wie entsteht die nächste Pentagonalzahl aus der vorherigen? Zeigen Sie, dass die n-te Pentagonalzahl gleich 12 n(3n − 1) ist. Aufgabe 3: Eine Torte wird durch n Geraden in Stücke geschnitten. Die Schnitte können beliebig verlaufen. Wie viele Tortenstücke können höchstens entstehen? Stellen Sie eine Vermutung auf und beweisen Sie diese. Aufgabe 4: (a) Zeichnen und berechnen Sie die ersten 11 Zeilen des Pascalschen Dreiecks. (b) Färben Sie in einer Zeichnung alle durch 3 teilbaren Einträge ein und in einer anderen alle durch 5 teilbaren. Sehen Sie ein Muster? (c) Auf wie vielen Wegen lässt sich das Wort MATHERÄTSEL in der Abbildung lesen? Beginnen Sie beim Ablesen mit dem oberen Buchstaben M und gehen Sie dann immer schräg nach unten links oder unten rechts, bis Sie zu dem ganz unten stehenden Buchstaben L gelangen. M A T H E R H E R Ä A T H E R Ä T T R Ä T S H E R Ä T S E R Ä T S E L E Die Lösungen vor bis zu 3 der ersten 4 Aufgaben sind bis Freitag den 30.10 12 Uhr in den beschrifteten Kästen vor der Fachschaft abzugeben. Die nachfolgenden Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern dienen zum selbst Studium. Aufgabe 5: Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Summenzeichen. (a) 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 66. (b) 5 + 13 + 25 + 41 + . . . + 221. (c) Die Summe der ersten 12 natürlichen Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind. (d) Die Summe der ersten 20 natürlichen Zahlen, die durch 2 und durch 3 teilbar sind. Aufgabe 6: Schreiben Sie die folgenden Summen aus und berechnen Sie diese. (a) 4 P l 22 l=1 (b) 7 P l! l=1 (c) 100 P (−1)l l l=1 Aufgabe 7: (Weizenkörner auf dem Schachbrett) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass der Erfinder des Schachspiels von seinem König mit 264 − 1 Weizenkörnern belohnt werden sollte. Können mit dieser Anzahl an Weizenkörnern die gesamten Landmassen der Erde bedeckt werden? Hinweis: 30% der Erdoberfläche besteht aus Landmassen. Aufgabe 8: Sei n ∈ N. Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion: (a) Die natürliche Zahl 32n+1 + 2n−1 durch 7 teilbar. (b) Die Summme 13 + 23 + 33 + · · · + n3 ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl. Aufgabe 9: Wie verhält sich der Umfang der folgenden Vielecke zueinander?