Übersicht und Übungen - feuerbachers

Das Summenzeichen
Summen schreibt man oft mit dem Summenzeichen Σ („Sigma“):
k
∑ T (i) = T(j) + T(j+1) + ... + T(k)
i= j
i heißt dabei der Summationsindex (es können auch andere Variablen verwendet werden). Für
diesen werden im Term T(i) nacheinander die ganzen Zahlen von j bis k (mit k ≥ j) eingesetzt
und dann die Werte addiert.
Beispiele:
5
1)
6
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 und
i =1
4
2)
∑
j =1
1
j
= 11 + 12 + 13 +
7
1
4
und
∑
k =5
1
k
∑i = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
i=2
= 15 + 16 + 17
12
3)
∑ B(20; 0,3; i) = B(20; 0,3; 10) + B(20; 0,3; 11) + B(20; 0,3; 12)
i =10
5
4) (–3)2 + (–2)2 + ... + 42 + 52 =
∑i
2
i = −3
Aufgaben:
1. Schreiben Sie die Summen ausführlich:
2
5
a)
∑i
3
c) ∑ 9 − k 2
b) ∑ | j |
3
i=2
j = −2
4
d)
k =0
1
∑ n!
n =0
2. Schreiben Sie folgende Summen kurz mithilfe eines Summenzeichens:
a) 20 + 21 + 22 + … + 220
1 1
1
b) 1 + + + K +
2 3
100
c) B(100; 0,1; 7) + B(100; 0,1; 8) + … + B(100; 0,1; 13)
Summen von j bis k kann man immer umschreiben als die Differenz zweier Summen, die bei
0 anfangen, z. B.:
5
∑ i 2 = 22 + 32 + 42 + 52 = (02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52) – (02 + 12) =
i=2
k
allgemein gilt also:
k
5
∑i2 –
i =0
1
∑i
2
i =0
j −1
∑ T (i) = ∑ T (i) – ∑ T (i)
i= j
i =0
i =0
Aufgabe:
3. Schreiben Sie die Summen als Differenzen von zwei Summen, die bei 0 anfangen.
10
55
13
1
1
a) ∑
b) ∑
c) ∑ B(100; 0,1; i )
n =5 n !
k =10 k + 1
i =7
Lösungen:
1. a) = 23 + 33 + 43 + 53 (= 224)
b) = |–2| + |–1| + |0| + |1| + |2| (= 6)
9 − 0 + 9 −1 + 9 − 2 + 9 − 3
1 1 1 1 1
17
d) = + + + + (= 2 )
0! 1! 2! 3! 4!
24
2
c) =
2
2
20
2. a) =
100
∑2
i
b) =
i =0
10
3. a) =
1
(= 3 + 2 2 + 5 )
1
∑i
i =1
4
1
∑ n! − ∑ n!
n =0
2
n =0
55
9
1
1
−∑
k =0 k + 1
k =0 k + 1
b) = ∑
13
c) =
∑ B(100; 0,1; i)
i =7
13
6
i =0
i =0
c) = ∑ B(100; 0,1; i ) − ∑ B(100; 0,1; i )

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