Das Summenzeichen Summen schreibt man oft mit dem Summenzeichen Σ („Sigma“): k ∑ T (i) = T(j) + T(j+1) + ... + T(k) i= j i heißt dabei der Summationsindex (es können auch andere Variablen verwendet werden). Für diesen werden im Term T(i) nacheinander die ganzen Zahlen von j bis k (mit k ≥ j) eingesetzt und dann die Werte addiert. Beispiele: 5 1) 6 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 und i =1 4 2) ∑ j =1 1 j = 11 + 12 + 13 + 7 1 4 und ∑ k =5 1 k ∑i = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 i=2 = 15 + 16 + 17 12 3) ∑ B(20; 0,3; i) = B(20; 0,3; 10) + B(20; 0,3; 11) + B(20; 0,3; 12) i =10 5 4) (–3)2 + (–2)2 + ... + 42 + 52 = ∑i 2 i = −3 Aufgaben: 1. Schreiben Sie die Summen ausführlich: 2 5 a) ∑i 3 c) ∑ 9 − k 2 b) ∑ | j | 3 i=2 j = −2 4 d) k =0 1 ∑ n! n =0 2. Schreiben Sie folgende Summen kurz mithilfe eines Summenzeichens: a) 20 + 21 + 22 + … + 220 1 1 1 b) 1 + + + K + 2 3 100 c) B(100; 0,1; 7) + B(100; 0,1; 8) + … + B(100; 0,1; 13) Summen von j bis k kann man immer umschreiben als die Differenz zweier Summen, die bei 0 anfangen, z. B.: 5 ∑ i 2 = 22 + 32 + 42 + 52 = (02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52) – (02 + 12) = i=2 k allgemein gilt also: k 5 ∑i2 – i =0 1 ∑i 2 i =0 j −1 ∑ T (i) = ∑ T (i) – ∑ T (i) i= j i =0 i =0 Aufgabe: 3. Schreiben Sie die Summen als Differenzen von zwei Summen, die bei 0 anfangen. 10 55 13 1 1 a) ∑ b) ∑ c) ∑ B(100; 0,1; i ) n =5 n ! k =10 k + 1 i =7 Lösungen: 1. a) = 23 + 33 + 43 + 53 (= 224) b) = |–2| + |–1| + |0| + |1| + |2| (= 6) 9 − 0 + 9 −1 + 9 − 2 + 9 − 3 1 1 1 1 1 17 d) = + + + + (= 2 ) 0! 1! 2! 3! 4! 24 2 c) = 2 2 20 2. a) = 100 ∑2 i b) = i =0 10 3. a) = 1 (= 3 + 2 2 + 5 ) 1 ∑i i =1 4 1 ∑ n! − ∑ n! n =0 2 n =0 55 9 1 1 −∑ k =0 k + 1 k =0 k + 1 b) = ∑ 13 c) = ∑ B(100; 0,1; i) i =7 13 6 i =0 i =0 c) = ∑ B(100; 0,1; i ) − ∑ B(100; 0,1; i )
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