Lösung des Problems des Monats April 2015 Preissenkung bei den letzten noch vorhandenen Kalendern! Nur 2,50 € Bestellen Sie jetzt! • Warum lassen sich diese Bruchterme stets ohne Rest kürzen? k ⋅ (k + 1) : Von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist eine ungerade und die 1⋅ 2 andere gerade, d. h. durch 2 teilbar. k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) : Von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist eine durch 3 teilbar 1⋅ 2 ⋅ 3 und mindestens eine durch 2 teilbar. usw. • Ergänze die Tabelle bis k = 10 und um eine weitere Spalte. Welche überraschenden Eigenschaften kann man aus der Tabelle ablesen? Bestimmt man in einer Spalte die Summe der ersten k Zahlen, so erhält man die Zahl, die in der nächsten Spalte an der k-ten Stelle steht, z. B. 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 k k ⋅ (k + 1) 1⋅ 2 k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) 1⋅ 2 ⋅ 3 1 1 1 2 3 4 3 6 10 4 10 20 5 15 35 www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2015 NEUES ANGEBOT ERLÄUTERUNGEN ZUM KOSTENLOSEN ZU THEMEN AUS DEN DOWNLOAD KALENDERN „MATHEMATIK IST SCHÖN“ NEU IM MAI 2015 k k ⋅ (k + 1) 1⋅ 2 k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) 1⋅ 2 ⋅ 3 k ⋅ (k + 1) ⋅ ( k + 2) ⋅ (k + 3 ) 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) ⋅ (k + 3) ⋅ (k + 4) 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) ⋅ (k + 3) ⋅ (k + 4) ⋅ (k + 5) 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 3 6 10 15 21 28 4 10 20 35 56 84 5 15 35 70 126 210 6 21 56 126 252 462 7 28 84 210 462 924 8 36 120 330 792 1716 9 45 165 495 1287 3003 10 55 220 715 2002 5005 www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2015 Also allgemein: 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 k ⋅ (k + 1) k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) oder + + + ... + = 1⋅ 2 1 ⋅ 2 1⋅ 2 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 ⋅ 5 k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) ⋅ (k + 3) usw. + + + ... + = 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 Man kann auch die Gleichungen mit dem auf der linken Seite stehenden Nenner multiplizieren und man erhält dann: 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + k ⋅ (k + 1) = k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) = k ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2) ⋅ (k + 3) usw. 4 www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2015