© mag.georg wengler Euler-Produkt-Formel für die Riemann-Zeta-Funktion β π(π ) = β π=1 1 1 = β ππ 1 β πβπ π ππππ Beweis: Man muss nach weisen, dass β β π=1 1 1 1 1 1 =1+ π + π + π + π +β― π π 2 3 4 5 und β π ππππ 1 1 1 1 = β β ββ¦ βπ βπ βπ 1βπ 1β2 1β3 1 β 5βπ gleich sind. π(π ) = 1 + 1 1 1 1 + π + π + π +β― π 2 3 4 5 1 1 1 1 1 π(π ) = π + π + π + π + β― π 2 2 4 6 8 subtrahieren von π(π ) liefert: 1 1 1 1 1 (1 β π ) π(π ) = 1 + π + π + π + π + β― 2 3 5 7 9 d.h. es fallen alle Brüche mit Faktor 2 weg. Analog: 1 1 1 1 1 1 (1 β ) π(π ) = + + + +β― 3π 2π 3π 9π 15π 21π wieder subtrahieren von π(π ): 1 1 1 1 1 ) (1 β π ) π(π ) = 1 + π + π + π + β― π 3 2 5 7 11 d.h. es fallen auch alle Brüche mit Faktor 3 weg. Dies führt man nun unendlich oft durch und man erhält: (1 β β¦ (1 β 1 1 1 1 1 ) (1 β ) (1 β ) (1 β ) (1 β ) π(π ) = 1 11π 7π 5π 3π 2π => π(π ) = 1 1 1 1 1 1 (1β2π )(1β3π )(1β5π )(1β7π )(1β11π )β¦ = 1 1β2βπ β 1 1β3βπ β 1 1β5βπ ββ¦ β Seite |1
© Copyright 2024 ExpyDoc
