¨Ubung zur Mathematik für Physiker 1 Blatt 1 Aufgabe 1. Zeigen Sie

Wend Werner
Thomas Timmermann
Übung zur Mathematik für Physiker 1
Blatt 1
Abgabe bis Do, 23.10., 13 Uhr
Aufgabe 1. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion über n:
n n
X
X
m
n+1
n(n + 1)
,
(b)
(a)
=
.
k=
2
k
k
+
1
m=k
k=1
Aufgabe 2. Die NAND-Verknüpfung A∧B zweier Aussagen A und B ist “nicht
(A und B)” und gegeben durch folgende Wahrheitstabelle:
A
B\
w
f
w
w
f
f
w
w
Diese Verknüpfung ist universell in dem Sinn, dass man alle anderen logischen
Verknüpfungen auf diese zurückführen kann, z.B. ist die Negation ¬A dasselbe
wie A∧A. Zeigen Sie, wie man mit Hilfe dieser Verknüpfung die Und-Verknüpfung
A ∧ B, die Oder-Verknüpfung A ∨ B und die Implikation A → B in ähnlicher
Weise realisieren kann.
Aufgabe 3. Die Negation von “Nachts sind alle Katzen grau” ist “Nachts gibt
es Katzen, die nicht grau sind”. Geben Sie die Negation folgender Aussagen an:
(a) Hunde, die bellen, beißen nicht.
(b) Wenn man nachts ohne Licht fährt, sieht man nichts; es sei denn, es ist
Vollmond.
(c) Entweder es regnet, oder es läuten die Glocken, und wenn beides zusammenfällt, ist Sonntag.
Aufgabe 4. Sei q 6= 1 eine rationale und n eine natürliche Zahl. Die n-te geometrische Summe zu q ist dann definiert als
sn :=
n
X
qk .
k=0
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N0 gilt:
sn =
1 − q n+1
.
1−q
(b) Beweisen Sie die Gleichung aus (a) nochmal ohne Induktion, indem Sie sn +
q n+1 = qsn + 1 zeigen.
P
(c) Berechnen Sie die Summe tn := nk=0 (k + 1)q k für alle n ∈ N0 .
(Hinweis: tn+1 kann aus tn und ggf. sn+1 auf zwei verschiedene Weisen berechnet
werden, wodurch sich eine Gleichung für tn ergibt.)
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