Aufgabenblatt Nr. 1

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Analysis I/HS 2015
17.09.2015
Aufgabenblatt Nr. 1
Abgabe: Am Freitag, den 25.09.2015 bis 12:00 Uhr in der Spiegelgasse 1 in
das jeweilige Assistentenfach im Eingangsbereich im Erdgeschoss.
Hinweise: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt. Beginn der Übungsgruppen am Dienstag, den 22.09.2015. Sie können die Aufgaben
selbstversändlich gemeinsam bearbeiten, jedoch müssen Sie Ihre Lösungen separat
einreichen. Offensichtliches Kopieren ist nicht zulässig.
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Aufgabe 1.1. (5 Punkte). In einem Buch über die Fauna von Lummerland steht:
“Jede ungedackselte Kworke ist duhrig und jede fabulante Kworke ist duhrig. In
Lummerland gibt es sowohl duhrige als auch unduhrige Kworken.” Welche der folgenden Schlüsse über die Fauna von Lummerland sind zulässig?
(a) Es gibt sowohl gedackselte als auch ungedackselte Kworken.
(b) Es gibt gedackselte Kworken.
(c) Alle unduhrigen Kworken sind gedackselt.
(d) Einige gedackselte Kworken sind unfabulant.
(e) Alle gedackselten Kworken sind unfabulant.
Hinweis: Benutze die Sprache der Mengenlehre.
Aufgabe 1.2. (4 Punkte). Gegeben sei folgende Aussage:
(a) Ist ein Kwork navul, so maranzt er.
Formuliere (b) die Negation, (c) die Umkehrung, (d) die Kontraposition der Aussage
(a). Welche Implikationen bestehen zwischen (a), (b), (c) und (d)?
Aufgabe 1.3. (4 Punkte). Sei n P N. Beweise folgende Aussagen:
(a) n ist ungerade ñ?n2 ist ungerade.
?
(b) n ist gerade und n P N ñ n ist gerade.
Hinweis: Beweise (a) direkt und (b) indirekt (d. h. durch Widerspruch).
Aufgabe 1.4. (6 Punkte). Sei n P N. Beweise mit vollständiger Induktion die
folgenden Formeln:
ˆ
˙2
n
n
ÿ
ÿ
npn ` 1q
npn ` 1qp2n ` 1q
, pbq
k3 “
,
paq
k2 “
6
2
k“1
k“1
n
ÿ
pcq
1
1
“1´
kpk
´
1q
n
k“2
für n ě 1.
*Aufgabe 1.5. (6 Punkte). Zeige mittels vollständiger Induktion, dass für jedes
n P N gilt:
(a) n ` n2 ist gerade.
(b) n3 ´ n ist durch 6 teilbar.
(c) 72n ´ 2n ist durch 47 teilbar.
1
2
*Aufgabe 1.6. (6 Punkte). Sei n P N und es sei M eine n-elementige Menge
(d. h. M hat genau n Elemente). Ferner sei k P N mit 0 ď k ď n gegeben. Wir
erinneren daran, dass der Binomialkoeffizient
$
ˆ ˙ & npn ´ 1q ¨ ¨ ¨ pn ´ k ` 1q
n
(1 ď k ď n),
“
k!
%
k
1
(k “ 0),
die Anzahl der k-elementigen
von M angibt. Mit Hilfe des binomischen
` ˘
řnTeilmengen
Lehrsatzes finden wir, dass k“0 nk “ 2n gilt; d. h. die Menge M besitzt insgesamt
genau 2n Teilmengen.
(a) Zeige: Für n ě 1 gilt
ˆ ˙
n
ÿ
k n
p´1q
“ 0.
k
k“0
(b) Beweise: Die n-elementige Menge M besitzt genauso viele Teilmengen mit
einer geraden Anzahl von Elementen wie Teilmengen mit einer ungeraden
Anzahl von Elementen.
Hinweis zu (b): Man benutze u. a. (a).

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