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Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 9
Abgabe: Bis Dienstag, den 28.06.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Kongruenzabbildungen; 5+10 Punkte).
Es seien (E, G) und (E ′ , G′ ) zwei Inzidenzgeometrien. Eine Abbildung β : E −→ E ′
ist ein Isomorphismus von Inzidenzgeometrien, wenn gilt:
• β ist bijektiv,
• ∀g ∈ G : β (g) ∈ G′ , d.h., das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
a) Es seien (E, G, d, w) und (E ′ , G′ , d ′ , w′ ) neutrale Geometrien. Formulieren Sie den
Begriff eines Isomorphismus von neutralen Geometrien.
b) Es sei (E, G, d, w) eine neutrale Geometrie. Eine Kongruenzabbildung ist ein Isomorphismus β : E −→ E von neutralen Geometrien. Beweisen Sie, dass es zu jeder
Geraden g ∈ G genau eine Kongruenzabbildung σg : E −→ E gibt, so dass gilt:1
• ∀P ∈ g : σl (P) = P,
• ∀P ∈ E \ g : σl (P) ̸= P.
Hinweis. Die gesuchte Abbildung ist anschaulich die Spiegelung an der Geraden g.
Überlegen Sie sich zunächst, wie man die Spiegelung an g mit Hilfe von Loten definiert.
Aufgabe 2 (Kongruenzabbildungen im R2 ; 4+4+3+4 Punkte).
Es sei φ ∈ [0, 2π ). Die Drehung am Ursprung um den Winkel φ ist die lineare Abbildung ρφ , die durch die Matrix
)
(
cos(φ ) − sin(φ )
cos(φ )
sin(φ )
gegeben ist.
Es sei c ∈ R2 . Die Translation oder Parallelverschiebung um c ist die Abbildung
τc : R2 −→ R2
v 7−→ v + c.
1 An
dieser Aussage können Sie überprüfen, ob Ihre Definition aus Teil a) angemessen ist.
a) Es sei g ⊂ R2 eine Ursprungsgerade, d.h., (0, 0) ∈ g. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der Spiegelung σg an g bzgl. der Standardbasis von R2 in Abhängigkeit
des Winkels φ , den g mit der x-Achse einschließt.
b) Zeigen Sie, dass man eine Drehung um den Ursprung als Verknüpfung von zwei
Spiegelungen an Ursprungsgeraden schreiben kann.
c) Schreiben Sie eine Translation als Verknüpfung von Spiegelungen.
d) Schließen Sie, dass man eine Drehung an einem beliebigen Punkt als Verkettung
von Spiegelungen schreiben kann.
Aufgabe 3 (Kongruenz von Dreiecken; 10 Punkte).
Es sei (E, G, d, w) eine neutrale Geometrie. Beweisen Sie, dass zwei Dreiecke △ und
△′ genau dann kongruent sind, wenn es eine Kongruenzabbildung β : E −→ E gibt,
so dass
β (△) = △′ .
Hinweis. Benutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 2 als Anschauung.

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