5. Übungsblatt

Übungen Einführung in die Algebra, SS 2016
Blatt 5, 27.4.2016
17. Es seien G, G0 Gruppen und ϕ : G → G0 ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern
N . Wir bezeichnen mit U die Menge der Untergruppen von G, die N enthalten, und mit V
die Menge aller Untergruppen von G0 . Zeigen Sie, dass die Abbildung
U → V,
H 7→ ϕ(H)
bijektiv ist.
18. Es seien G und G0 (additiv geschriebene) abelsche Gruppen. Wir betrachten Abb(G, G0 )
mit der von der Additon von G0 induzierten wertweisen Verknüpfung +, also
(ϕ + ψ)(g) = ϕ(g) + ψ(g)
für alle ϕ, ψ ∈ Abb(G, G0 ) und alle g ∈ G. Zeigen Sie:
(a) Abb(G, G0 ) ist mit dieser Verknüpfung eine Gruppe.
(b) Die Menge Hom(G, G0 ) aller Gruppenhomomorphismen G → G0 ist eine Untergruppe
von Abb(G, G0 ).
19. Welche der folgenden Gruppen sind zueinander isomorph:
• R \ {0} (mit der Multiplikation).
• R (mit der Addition)
• S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} (mit der Multiplikation).
• R/Z.
20. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau einen surjektiven Gruppenhomomorphismus f : Z/9Z → Z/3Z mit f (x+
9Z) = x + 3Z für alle x ∈ Z.
(b) Es gibt Abbildungen g : Z/3Z → Z/9Z mit f ◦ g = IdZ/3Z (eine Rechtsinverse von f ),
aber keine Rechtsinverse von f ist ein Gruppenhomomorphismus.

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