Übungsblatt 5
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 10.05.2016, Abgabe: Di., 17.05.2016
Aufgabe 17: (Halbgruppen und Gruppen)
[6 Punkte]
Zeigen Sie, dass es sich bei den folgenden Beispielen um Halbgruppen mit neutralem Element handelt:
(a) Σ = { −1, 1 } zusammen mit der Multiplikation · als Verknüpfung;
(b) M(A) zusammen mit der Verkettung ◦ als Verknüpfung, wobei A 6= ∅ eine beliebige Menge ist.
Zeigen Sie, dass (Σ, ·) eine kommutative Gruppe ist, und, dass (M(A), ◦) eine nicht kommutative Halbgruppe
ist, falls A mindestens zwei Elemente hat.
Aufgabe 18: (Permutationsgruppen)
[8 Punkte]
(a) Sei A 6= ∅ eine Menge. Zeigen Sie, dass (S(A), ◦) eine Gruppe bildet.
(b) Für n ∈ N setzen wir Sn := S({ 1, 2, . . . , n }). Ein Element σ ∈ Sn notieren wir üblicherweise in der Form
!
1
2 ... n
σ=
.
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
Berechnen Sie für σ, τ ∈ S5 , die gegeben sind als
!
123 4 5
σ=
,
325 1 4
τ=
1 2 3 4 5
2 4 5 1 3
!
,
die Permutationen σ ◦ τ , τ ◦ σ und σ −1 .
Aufgabe 19: (Transpositionen)
[10 Punkte]
Für n ∈ N und j, k ∈ { 1, 2, . . . , n } bezeichnen wir τj,k ∈ Sn mit τj,k (j) = k, τj,k (k) = j und τj,k (m) = m für
−1
alle m ∈ { 1, 2, . . . , n } \ { j, k } als Transposition. Bestimmen Sie τj,k
. Zeigen Sie per Induktion nach n, dass
sich jede Permutation σ als Produkt von Transpositionen schreiben lässt.
Hinweis: Als Induktionsanfang können Sie n = 2 betrachten. Für den Induktionsschluss beachten Sie: Ist
σ ∈ Sn+1 , so ist σ(n + 1) = n + 1 oder (σ ◦ τk,n+1 )(n + 1) = n + 1 für k ∈ { 1, 2, . . . , n } mit σ(k) = n + 1.
Aufgabe 20: (Symmetriegruppen)
[10 Punkte]
Sei 4 ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene, dessen Eckpunkte wir gegen den Uhrzeigersinn mit A, B und C
bezeichnen. Wir bezeichnen mit id die identische Abbildung der Ebene in sich. Mit ρ2π/3 bzw. ρ4π/3 bezeichen wir
die Drehungen der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt von 4 um 2π/3 bzw. 4π/3. Schließlich
bezeichnen wir mit σA , σB bzw. σC die Spiegelungen der Ebene an der Winkelhalbierenden durch A, B bzw. C.
Dann bildet die Menge G = { id, ρ2π/3 , ρ4π/3 , τA , τB , τC } zusammen mit der Verkettung als Verknüpfung eine
Gruppe. Berechnen Sie alle Verknüpfungen f ◦ g für f, g ∈ G und stellen Sie diese dar in Form einer Tabelle:
◦
id
ρ2π/3
ρ4π/3
τA
τB
τC
id
ρ2π/3
ρ4π/3
τA
τB
τC
τC
Aufgabe 21: (Euklidischer Algorithmus)
[6 Punkte]
Berechnen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ggT(112, 63) und finden Sie ganze Zahlen α, β ∈ Z, so
dass ggT(112, 63) = α · 126 + β · 63 ist.
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