Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 Anne Henke Julian Külshammer Sam Thelin WS 2015/2016 Gruppenübung 1 Schriftliche Aufgaben Aufgabe 1 (8 Punkte) Seien X, Y, Z Mengen. Zeigen Sie die folgenden Mengengleichheiten: (a) X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) ∩ (X \ Z), (b) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Aufgabe 2 (8 Punkte) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion: (a) n X j=0 j2 = n(n + 1)(2n + 1) , 6 (b) 2n > n2 für n ≥ 5. Aufgabe 3 (6 Punkte) Welche der folgenden Aussagen sind für alle n ∈ N wahr? Begründen Sie Ihre Antwort. (a) n2 − 3n − 4 = 0 genau dann, wenn n = 4. (b) n = 4 genau dann, wenn n2 − 3n − 4 = 0. (c) Gilt n2 + 5n + 4 = 0, dann ist n = 3. (d) Gilt n2 − 5n + 4 = 0, dann ist n = 1. Zusatzaufgabe (wird bei schriftlicher Abgabe korrigiert) Aufgabe 4 Seien A und B Teilmengen einer Menge M mit A ⊆ B. Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge X von M gilt: X = (X ∩ (M \ A)) ∪ (X ∩ B) 1 Votieraufgaben Aufgabe 5 Sei X die Menge {∅, {0, ∅}, {0}, {{1, 0}}, 0}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? (a) ∅ ∈ X. (b) {∅} ∈ / X. (c) {1, 0} ∈ X. (d) {{0, ∅}} ⊆ X. Aufgabe 6 Sei X eine Menge und seien A, B, C, D Teilmengen von X. Zeigen Sie die folgenden Aussagen, falls möglich, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. (a) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D). (b) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D). Aufgabe 7 Sind die folgenden Beweise korrekt oder nicht? Falls ein Beweis falsch ist, erklären Sie warum. (a) Die natürliche Zahl 1 ist klein. Wenn n klein ist, dann ist auch n + 1 klein. Daher folgt mittels vollständiger Induktion, dass alle natürlichen Zahlen klein sind. (b) Betrachten Sie Gruppen von n Personen. Falls n = 0 oder n = 1 ist, dann tragen alle Personen in dieser Gruppe Pullis in der gleichen Größe. Als Induktionsannahme P (n) nehmen wir an, dass für jede Gruppe von n Personen, alle Personen in dieser Gruppe Pullis gleicher Größe tragen. Betrachten Sie eine Gruppe M1 , M2 , . . . , Mn , Mn+1 von n + 1 Personen. Nach Induktionsannahme tragen alle Personen in der Gruppe M1 , M2 , . . . , Mn Pullis gleicher Größe. Ebenfalls nach Induktionsannahme tragen alle Personen in Gruppe M2 , M3 , . . . , Mn+1 Pullis gleicher Größe. Daher folgt, dass in jeder Gruppe mit n + 1 Menschen, alle Menschen dieser Gruppe Pullis gleicher Größe tragen. Mittels vollständiger Induktion tragen deshalb alle Menschen Pullis gleicher Größe. Aufgabe 8 (a) Beweisen Sie, nur unter Benutzung der Definitionen der Fakultätsfunktion und des Binomialkoeffizienten, dass für natürliche Zahlen m, n mit 1 ≤ m ≤ n gilt: n n n+1 + = . m−1 m m (b) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen 0 ≤ m ≤ n n der Binomialkoeffizient eine natürliche Zahl ist. m http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/LAAG-Henke-WS1516/ Abgabe: 20./21. Oktober 2015 in den Übungen 2