2015-1 Hessen – Grundkurs Mathematik 2015 – A1

Hessen – Grundkurs Mathematik
2015 – A1: Analysis (WTR / GTR)
Eine Käferpopulation besteht zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt aus 50 000 Exemplaren.
Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde dezimiert.
Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion k beschrieben werden:
k(t) = (50 + 25t) ⋅ e − 0,1t mit t ≥ 0
Dabei gilt Folgendes: 1 Einheit der Funktionswerte A 1 000 Käfer
1 Einheit der t-Werte A 1 Jahr
Im Material ist der Graph von k abgebildet.
1
Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von k die Extrem- und Wendepunkte
des Graphen innerhalb des betrachteten Intervalls unter Zuhilfenahme der ersten Ableitung k'(t) = (20 − 2,5t) ⋅ e − 0,1t .
Begründen Sie das Grenzwertverhalten des Graphen für t → + ∞ anhand des Funktionsterms von k.
(16 BE)
2
Beschreiben Sie unter Verwendung der Begriffe „Populationsgröße“ und „Wachstumsgeschwindigkeit“ die Entwicklung der Käferpopulation.
Deuten Sie dabei sowohl die Extrem- und Wendepunkte als auch den Grenzwert des
Graphen aus Aufgabe 1.
(8 BE)
3
Zeigen Sie, dass K mit K(t) = ( −250t − 3 000) ⋅ e − 0,1t eine Stammfunktion von k ist.
50
Berechnen Sie den Wert von
hang.
4
1 000
30
⋅
∫ k(t) dt und deuten Sie diesen im Sachzusammen(8 BE)
20
Die Funktion k beschreibt die Entwicklung der Käferpopulation nur für die ersten 55 Jahre recht gut. Ab dem Zeitpunkt t = 55 bleibt bei einer verbesserten Beschreibung die zu
diesem Zeitpunkt erreichte Wachstumsgeschwindigkeit konstant, sodass für t > 55 ein
lineares Wachstum vorliegt.
Berechnen Sie die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei t = 55 und bestimmen Sie
mithilfe der Funktionsgleichung, die ab diesem Zeitpunkt die Populationsgröße beschreibt, den voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation. (8 BE)
2015-1
Material
2015-2
Hinweise und Tipps
Teilaufgabe 1
r Es werden die Ableitungsfunktionen k' bis k ''' benötigt, um die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Extrem- und Wendepunkten zu überprüfen.
r Dabei ist die Gleichung der 1. Ableitungsfunktion in der Aufgabenstellung als Orientierungshilfe gegeben.
r Beachten Sie, dass die Extrem- und Wendepunkte gesucht sind und Sie daher die zugehörigen
y-Koordinaten durch Einsetzen in k(x) berechnen müssen.
r Zur Analyse des Grenzwertverhaltens der Funktion ist die Untersuchung der Struktur des
Termaufbaus sehr hilfreich.
Teilaufgabe 2
r Im Material liegt der Graph der Funktion vor und in Teilaufgabe 1 wurden die Koordinaten
bestimmter Punkte berechnet.
r Stellen Sie eine Zuordnung der Begriffe aus Wachstumsprozessen (Populationsgröße und
Wachstumsgeschwindigkeit) zu den „Standard-Begriffen“ einer Kurvendiskussion her.
r Populationsgröße A Funktionswert, Wachstumsgeschwindigkeit A Steigung
Teilaufgabe 3
r Berechnen Sie die Ableitung der Stammfunktion und vergleichen Sie sie mit k(x).
r Verwenden Sie für die Berechnung des Integrals die angegebene Stammfunktion.
r Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Nenner 30 und den Integralgrenzen 20 und
50?
r Denken Sie daran, dass eine Einheit der Funktionswerte 1 000 Käfern entspricht.
Teilaufgabe 4
r Es gilt hier, die Gleichung einer linearen Funktion zu bestimmen (lineares Wachstum).
r Dabei ist es hilfreich, von der Darstellung einer linearen Funktionsgleichung in Normalform
f(x) = mx + b auszugehen.
r Bestimmen Sie die Steigung k'(55) und die y-Koordinate k(55).
r Die Stelle mit dem Funktionswert null für diese lineare Funktion liefert den Wert für den
Zeitpunkt des Aussterbens der Käfer.
2015-3
Lösung
r1
r
r
Zunächst werden die 1., 2. und 3. Ableitung berechnet. Hierfür werden die folgenden
Ableitungsregeln benötigt: Produktregel, Kettenregel, konstante Faktorenregel, Summenbzw. Differenzregel.
k'(t) = 25 ⋅ e − 0,1t + (50 + 25t) ⋅ e − 0,1t ⋅ ( − 0,1)
= (25 − 5 − 2,5t) ⋅ e − 0,1t
= (20 − 2,5t) ⋅ e − 0,1t
r
Diese Gleichung entspricht der Angabe in der Aufgabenstellung.
k''(t) = −2,5 ⋅ e − 0,1t + (20 − 2,5t) ⋅ e − 0,1t ⋅ ( − 0,1)
= ( −2,5 − 2 + 0, 25t) ⋅ e − 0,1t
= ( − 4,5 + 0, 25t) ⋅ e − 0,1t
k'''(t) = 0, 25 ⋅ e − 0,1t + ( − 4,5 + 0, 25t) ⋅ e − 0,1t ⋅ ( − 0,1)
= (0, 25 + 0, 45 − 0,025t) ⋅ e − 0,1t
= (0,7 − 0,025t) ⋅ e − 0,1t
r
r
Die notwendige Bedingung für Extremstellen lautet: k'(t) = 0
Die Nullstellen von k' sind diejenigen Stellen der Funktion k, an denen ihre Steigung null
ist. An diesen Stellen hat der Graph von k waagrechte Tangenten.
k'(t) = 0
(20 − 2,5t) ⋅ e − 0,1t = 0
r
Funktionen vom Typ ex bzw. e– x haben keine Nullstellen.
Damit gilt:
20 − 2,5t = 0
2,5t = 20
t =8
Die Funktion k hat eine Stelle in ihrem Definitionsbereich t ≥ 0, an der die Funktion eine
waagrechte Tangente hat, und zwar an der Stelle t = 8.
Überprüfung der hinreichenden Bedingung für die Existenz von Extremstellen: k''(tn) ≠ 0
k''(8) = ( − 4,5 + 0, 25 ⋅ 8) ⋅ e − 0,1 ⋅ 8 ≈ −1,123 < 0
⇒ An der Stelle x = 8 liegt ein Maximum vor.
Berechnung der y-Koordinate des Extrempunktes:
k(8) = (50 + 25 ⋅ 8) ⋅ e − 0,1 ⋅ 8 ≈ 112
Somit liegt der einzige Extrempunkt von k, ein Hochpunkt, bei H(8 | 112).
Die notwendige Bedingung für Wendestellen lautet: k''(t) = 0
k''( t) = 0
( − 4,5 + 0, 25t) ⋅ e − 0,1t = 0
r
Aufgrund der oben genannten Eigenschaft der e-Funktion ist e– 0,1t ungleich null.
− 4,5 + 0, 25t = 0
0, 25t = 4,5
t = 18
2015-4

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