Analysis (WTR) 1 Die Bestimmung von

Hessen – Leistungskurs Mathematik
2015 – A1: Analysis (WTR)
1
Die Bestimmung von Enzymaktivitäten in Serum, Plasma oder Harn hat in der medizinischen Diagnostik eine wichtige Bedeutung. Beispielsweise ist bei einem Herzinfarktpatienten die Serum-Enzymaktivität bestimmter Enzyme auch Tage nach dem Infarkt
noch erhöht, sodass eine Spätdiagnose über die Messung der Enzymaktivität möglich
ist.
Der Verlauf einer bestimmten Enzymaktivitätskurve lässt sich durch den Graphen einer
Exponentialfunktion der Schar fa, b, c mit f a, b, c (t) = a + b ⋅ t 2 ⋅ e c ⋅ t (a, b > 0 und c < 0)
approximieren (Material 1). Dabei steht t für die Zeit in Tagen seit Beginn einer Erkrankung und f(t) für die Enzymaktivität in Units (Substratumsatz pro Tag).
Bestimmen Sie die Parameter a, b und c unter Berücksichtigung der folgenden Angaben:
– Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn 80 Units.
– Bereits nach einem Tag ist die Enzymaktivität auf den Wert 740 Units gestiegen.
– Drei Tage nach Beginn hat sich die Enzymaktivität wieder weitgehend normalisiert
und beträgt nur noch 120 Units.
(9 BE)
2
Um einen Herzinfarkt zu diagnostizieren, misst man beispielsweise die Aktivität des
Enzyms Creatin-Kinase. Bei einem bestimmten Patienten kann die Aktivitätskurve für
dieses Enzym für 0 ≤ t ≤ 5 durch den Graphen der Exponentialfunktion f mit
f (t) = 100 + 4 600 ⋅ t 2 ⋅ e −2 ⋅ t angenähert werden, wobei t für die Zeit in Tagen nach dem
Infarkt steht und f(t) für die Enzymaktivität in Units. Ca. 3 Tage nach einem Herzinfarkt
befindet sich die Aktivität dieses Enzyms wieder im Normalbereich.
2.1
Zeigen Sie rechnerisch, dass gilt: f ''(t) = 9 200 ⋅ e −2 ⋅ t ⋅ (2t 2 − 4t + 1)
2.2
Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym CreatinKinase am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt, sowie jeweils die zugehörigen
Änderungsraten.
Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6 BE)
(6 BE)
2.3
In Material 2 wird die Ermittlung einer Stammfunktion von f durch eine bestimmte
Integrationsmethode angedeutet.
2.3.1 Geben Sie die Integrationsmethode an und leiten Sie durch Vervollständigung der
Rechnung eine Stammfunktion F von f her.
(5 BE)
3
2.3.2 Bestimmen Sie das Integral
menhang.
2.4
1
3
⋅
∫ f (t) dt und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusam(4 BE)
0
Die Entscheidung für die Diagnose Herzinfarkt liege bei einer Enzymaktivität des
Enzyms Creatin-Kinase von mindestens 192 Units.
Zeigen Sie, dass der Ansatz 100 + 4 600 ⋅ t 2 ⋅ e −2 ⋅ t = 192 zu der Gleichung
ln(t 2 ) = 2 ⋅ t − 3,91202 führt. Diese Gleichung lässt sich nicht algebraisch lösen.
Erläutern Sie die Darstellung in Material 3 und untersuchen Sie mithilfe der Graphen
näherungsweise, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann.
(10 BE)
2015-1
Material 1
Material 2
∫ (100 + 4 600 ⋅ t 2 ⋅ e −2 ⋅ t ) dt = 100 ⋅ t + ∫ 4 600 ⋅ t 2 ⋅ e −2 ⋅ t dt
1
1
600 ⋅ t 2 ⋅ e −2 ⋅ t dt = 4 600 ⋅ t 2 ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ e −2 ⋅ t − ∫ 9 200 ⋅ t ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ e −2 ⋅ t dt
∫ 4
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
u
v'
u
=
u'
v
−2 300 ⋅ t 2 ⋅ e −2 ⋅ t
+
∫
Material 3
2015-2
4 600 ⋅ t ⋅ e −2 ⋅ t
v
dt
Hinweise und Tipps
Teilaufgabe 1
r Bilden Sie aus den mit Spiegelstrichen versehenen Informationen jeweils eine Gleichung.
r Bestimmen Sie die Parameter (insbesondere b und c) durch geschickte Kombination der
Gleichungen.
r Wenden Sie die Logarithmenregeln an.
Teilaufgabe 2.1
r Benutzen Sie für die Ableitung die Produkt- und die Kettenregel.
Teilaufgabe 2.2
r Um welche Punkte handelt es sich, in denen die Kurve die größte bzw. kleinste Steigung
besitzt?
r Beachten Sie, dass der Exponentialterm nicht null werden kann.
r Vergessen Sie nicht, auch die Steigung in den Randpunkten des Intervalls zu bestimmen.
Teilaufgabe 2.3.1
r Die Integrationsmethode ist die Umkehrung der Produktregel der Differenziation.
r Vergessen Sie beim Vervollständigen der Rechnung nicht, was schon ermittelt wurde.
r Führen Sie einen weiteren Schritt der Produktintegration durch.
Teilaufgabe 2.3.2
r Benutzen Sie die Stammfunktion aus Aufgabe 2.3.1.
r Sachzusammenhang bedeutet, sich mit den Inhalten des Textes in Aufgabe 1 auseinanderzusetzen.
Teilaufgabe 2.4
r Verwenden Sie beim Logarithmieren die Logarithmenregeln.
r Vergleichen Sie die beiden Seiten der Logarithmusgleichung mit den beiden Graphen des
Materials.
r Was bedeuten die Schnittpunkte?
Lösung
1
In der Aufgabenstellung werden Aussagen über drei spezielle Punkte des Graphen von
fa, b, c gemacht. Dies wird in mathematischen Gleichungen ausgedrückt:
I fa, b, c(0) = 80
II fa, b, c(1) = 740
III fa, b, c(3) = 120
Gleichung I ergibt bei Einsetzen von t = 0 in die Funktionsgleichung a = 80.
Das Einsetzen von a = 80 und t = 1 bzw. t = 3 in die Funktionsgleichung führt auf die
Gleichungen:
II' 740 = 80 + b ⋅ e c
⇒ 660 = b ⋅ e c
3c
III ' 120 = 80 + 9b ⋅ e
⇒ 40 = 9b ⋅ e 3c
2015-3
Da laut Voraussetzung b > 0 ist, kann Gleichung III ' durch Gleichung II ' dividiert werden. Man erhält nach Kürzen des Faktors b und Umformen des Exponentialterms gemäß
den Potenzgesetzen:
40 9b ⋅ e 3c
=
660
b ⋅ ec
2
= 9 ⋅ e 3c − c
33
2
= e 2c
297
Logarithmieren der Gleichung ergibt:
2 ⎞
ln(e 2c ) = ln ⎛⎜
⎟
⎝ 297 ⎠
2 ⎞
2c = ln ⎛⎜
⎟
⎝ 297 ⎠
c=
ln
( 2972 ) ≈ −2,50029
2
Setzt man dieses c in II ' (oder III ') ein, so erhält man nach b aufgelöst:
660 = b ⋅ e −2,50029
b = 660 ⋅ e 2,50029 ≈ 8 042,78
r 2.1 Die Funktion mit dem Term f(t) = 100 + 4 600 ⋅ t2 ⋅ e –2t muss zweimal abgeleitet werden.
Hierfür bietet sich die Produktregel an. Die Produktregel besagt: Aus h(t) = u(t) ⋅ v(t)
r
folgt:
r
r
h'(t) = u'(t) ⋅ v(t) + u(t) ⋅ v'(t)
r
Für die Ableitung von e–2t muss die Kettenregel verwendet werden.
Damit gilt für die 1. Ableitung:
f '(t) = 4 600(2t ⋅ e–2t + t2 ⋅ e–2t ⋅ (–2)) = 4 600 ⋅ e–2t(2t – 2t2) = 9 200 ⋅ e–2t(t – t2)
Für die 2. Ableitung gilt:
f ''(t) = 9 200((1 – 2t)e–2t + (t – t2)e–2t ⋅ (–2))
= 9 200 ⋅ e–2t(1 – 2t – 2t + 2t2)
= 9 200 ⋅ e–2t(2t2 – 4t + 1)
r 2.2 Die Aktivitätskurve steigt bzw. fällt dort am stärksten, wo die Wendepunkte der Kurve
liegen. Man muss also zuerst einmal versuchen, die Wendepunkte zu bestimmen. Das
r
notwendige Kriterium hierfür ist f ''(t) = 0. Anschließend müssen die Ränder des Intervalls
r
auf mögliche Randextrema untersucht werden.
r
Es gilt:
f ''(t) = 0
9 200 ⋅ e −2t (2t 2 − 4t + 1) = 0
Da der Exponentialterm nicht null werden kann, muss gelten:
2t 2 − 4t + 1 = 0
2015-4

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