2015-1 Berlin – Mathematik Grundkurs 2015 – Aufgabe 1.1

Berlin – Mathematik Grundkurs
2015 – Aufgabe 1.1: Analysis
Bienen
Die Funktion b mit b(t) = 60 − 54 ⋅ e− 0,25t beschreibt für 0 ≤ t ≤ 12 näherungsweise die
Anzahl der Bienen in einem Bienenvolk im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist t die
Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und b(t) die Anzahl der Bienen in Tausend.
a) Ermitteln Sie die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach 4 Wochen und nach
12 Wochen.
Begründen Sie, dass die Funktion b für t → ∞ einen Grenzwert hat. Geben Sie
diesen Grenzwert an.
Skizzieren Sie den Graphen von b für 0 ≤ t ≤ 12 mithilfe der ermittelten Werte im
Koordinatensystem in der Anlage.
BE
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b) Vom Imkerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand f(t) besonders schnell wächst (t in Wochen und f(t) in Tausend).
Die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in 1 000 Bienen pro Woche) wird
durch die Funktion v mit v(t) = f '(t) = 3 ⋅ e0,25t angegeben.
Ermitteln Sie für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigkeiten zu Beobachtungsbeginn und nach 6 Wochen.
Vergleichen Sie das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten.
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c) Ein Bienenvolk der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn 2 000 Bienen.
Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion f, die die Entwicklung des Bienenbestands beschreibt.
[Zur Kontrolle: f(t) = 12 ⋅ e0,25t − 10]
Zeichnen Sie den Graphen von f für 0 ≤ t ≤ 8 mithilfe von drei geeigneten Wertepaaren in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a ein.
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d) Die Funktion d mit d(t) = b(t) − f(t) beschreibt den Unterschied des Bienenbestands
zwischen der alten und der neuen Sorte.
Ermitteln Sie den Zeitpunkt t, bei dem der Unterschied in den ersten 6 Wochen am
größten ist.
Für die Berechnung von t genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.
e) Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt t, bei dem der Unterschied bei der alten und
der neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten bei beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigkeiten nicht konkret berechnet werden.
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Anlage
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Tipps und Hinweise zur Lösung von Aufgabe 1.1
Tipps zu Teilaufgabe a
Anzahl zu Beginn der Beobachtung und nach 4 bzw. 12 Wochen
r Berechnen Sie die Funktionswerte von b(t).
r Beachten Sie, dass b(t) die Anzahl in Tausend angibt.
Grenzwert von b für t → ∞
r Beachten Sie den Grenzwert von e− 0,25t für t → ∞.
r Was folgt daraus für die gesamte Funktion?
Skizze
r Zeichnen Sie die bekannten Punkte ein und verbinden Sie sie.
Tipps zu Teilaufgabe b
Wachstumsgeschwindigkeiten der neuen Sorte
r Berechnen Sie die Funktionswerte von v(t) zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 6.
Wachstumsgeschwindigkeiten der alten Sorte
r Die Wachstumsgeschwindigkeit wird durch b'(t) berechnet.
r Beachten Sie bei der Ableitung die Kettenregel.
Vergleich
r Vergleichen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit beider Sorten zu den Zeitpunkten t = 0 bzw.
t = 6.
Tipps zu Teilaufgabe c
Funktionsgleichung von f
r Es ist die 1. Ableitung von f(t) gegeben. Wie können Sie daraus die Funktion f(t) berechnen?
r Beachten Sie dabei die Regel
∫ e a ⋅ t dt = 1a ⋅ e a ⋅ t + C.
r C bestimmen Sie durch den angegebenen Bestand zum Zeitpunkt t = 0.
Zeichnung
r Berechnen Sie die Koordinaten dreier Punkte, zeichnen Sie diese ein und verbinden Sie sie.
r
r
r
r
Tipps zu Teilaufgabe d
Bestimmen Sie die Lage des relativen Maximums der Funktion d.
Verwenden Sie zur Berechnung der 1. Ableitung von d(t) die Kettenregel.
Die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums ist d'(t) = 0.
Für die Lösung der Gleichung benötigen Sie die logarithmischen Rechengesetze.
Tipps zu Teilaufgabe e
Für
eine zusammengesetzte Funktion f(x) = g(x) + h(x) gilt: f '(x) = g '(x) + h '(x)
r
r Beachten Sie, dass zu dem Zeitpunkt des größten Unterschieds d'(t) = 0 gilt.
r Was lässt sich daraus auf die Bestandteile von d '(t) schließen?
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Lösungen zu Aufgabe 1.1
r
r
a) Anzahl zu Beginn der Beobachtung und nach 4 bzw. 12 Wochen
Die Anzahl der Bienen wird durch die Funktionswerte der Funktion b angegeben. Dabei
gibt b(t) die Anzahl der Bienen in Tausend an.
b(t) = 60 − 54 ⋅ e − 0,25t
Zu Beginn der Beobachtung:
b(0) = 60 – 54 ⋅ e 0 = 60 − 54 = 6 ⇒ 6 000 Bienen
Nach 4 Wochen:
b(4) = 60 − 54 ⋅ e − 0,25 ⋅ 4 = 60 − 54 ⋅ e −1 ≈ 40,1 ⇒ 40 100 Bienen
Nach 12 Wochen:
b(12) = 60 − 54 ⋅ e − 0,25 ⋅ 12 = 60 − 54 ⋅ e −3 ≈ 57,3 ⇒ 57 300 Bienen
Grenzwert von b für t → ∞
Der Grenzwert von e− 0,25t für t → ∞ ist 0. Damit gilt:
lim b(t) = lim (60 − 54 ⋅ e − 0,25t ) = 60 − 54 ⋅ 0 = 60
t→∞
t→∞
Der Grenzbestand des Bienenvolkes beträgt 60 000 Bienen.
Skizze
r
r
b) Wachstumsgeschwindigkeiten der neuen Sorte
Die Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die Funktionswerte von v(t) zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 6 angegeben.
v(t) = f '(t) = 3 ⋅ e 0,25t
Zu Beginn der Beobachtung:
v(0) = 3 ⋅ e 0 = 3
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