1 In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 is

Leistungskurs Mathematik (Sachsen): Abiturprüfung 2015
Teil A (ohne Rechenhilfsmittel)
1
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten
genau eine Antwort richtig. Kreuzen Sie das jeweilige Feld an.
1.1 Welcher Term beschreibt eine mögliche Stammfunktion der Funktion f mit
f (x) = 2 ⋅ x 3 (x ∈ Df)?
k
k
k
k
k
1
⋅ x4
2
3⋅ x
4
⋅ x5
5
8⋅ x4
5⋅ x5
1.2 Wie groß ist der Anstieg des Graphen der Funktion h mit h(x) = 2 ⋅ x – ln x (x ∈ Dh)
an der Stelle x = 1?
k
k
k
k
k
–1
2–e
1
e
3
1.3 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(3 | 4 | –2) und B(–2 | 4 | 3).
Welche Lage besitzt die Gerade g bezüglich der x-z-Koordinatenebene?
k Die Gerade g schneidet die x-z-Koordinatenebene im Koordinatenursprung.
k Die Gerade g verläuft parallel zur x-z-Koordinatenebene.
k Die Gerade g schneidet die x-z-Koordinatenebene im Punkt P(3 | 0 | –2).
k Die Gerade g liegt in der x-z-Koordinatenebene.
k Die Gerade g schneidet die x-z-Koordinatenebene senkrecht.
1.4 Für jeden Wert von t (t ∈ 0, t > 0) ist ein Punkt Bt(0 | t | 4) gegeben.
Der Abstand des Punktes A(4 | 0 | 0) von Bt ist dt.
Für welchen Wert von t gilt: dt = 9?
k
k
k
k
k
t=3
t=7
t=9
t = 49
t = 81
2015-1
1.5 In einer Urne befinden sich fünf gelbe und drei blaue Kugeln.
Es werden nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen zufällig gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E wird mit
P(E) = 83 ⋅ 72 ⋅ 16 ⋅ 1 berechnet.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt das Ereignis E?
k Es werden zwei gelbe und zwei blaue Kugeln gezogen.
k Es werden zuerst alle drei blauen und dann eine gelbe Kugel gezogen.
k Es werden zuerst drei gelbe und dann eine blaue Kugel gezogen.
k Es werden vier blaue Kugeln gezogen.
k Es werden nur gelbe Kugeln gezogen.
Erreichbare BE-Anzahl: 10
2
Gegeben sind die in 0 definierten Funktionen f, g und h durch f(x) = x2 – x + 1,
g(x) = x3 – x + 1 und h(x) = x4 + x2 + 1.
2.1 Die Abbildung zeigt den Graphen
einer der drei Funktionen.
Geben Sie an, um welche Funktion
es sich handelt.
Begründen Sie, dass der Graph die
anderen beiden Funktionen nicht
darstellt.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
2.2 Die erste Ableitungsfunktion von h
ist h'. Bestimmen Sie den Wert von
1
∫ h'(x) dx.
0
3
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Betrachtet wird die Pyramide ABCDS mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 4 | 2), C(8 | 0 | 2),
D(4 | – 4 | 0) und S(1 | 1 | – 4). Die Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm.
3.1 Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
3.2 Die Kante AS steht senkrecht auf der Grundfläche ABCD.
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt 24 ⋅ 2.
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
2015-2
Tipps und Hinweise
Teilaufgabe 1.1
r Formen Sie die Wurzel in eine Potenz um und verwenden Sie die Potenzregel zum
Bilden von Stammfunktionen. Beachten Sie, dass der konstante Faktor erhalten bleibt.
r Sie können auch die Ableitungen der gegebenen Stammfunktionen bilden, um auf f
zu kommen.
Teilaufgabe 1.2
r Der Anstieg m des Graphen entspricht der 1. Ableitung der Funktion h an der Stelle 1:
m = h'(1)
Teilaufgabe 1.3
r Sie können bereits aus den gleichen y-Koordinaten der beiden Punkte auf den Verlauf
der Geraden g schließen.
r Eine andere Möglichkeit ist das Ermitteln des Richtungsvektors von g, z. B. AB, und
eine Schlussfolgerung daraus.
Teilaufgabe 1.4
r Der Abstand entspricht der Länge der Strecke AB t . Ermitteln Sie diese in Abhängigkeit von t und setzen Sie den Wert mit 9 gleich. Beachten Sie die Einschränkung von
t in der Aufgabenstellung.
Teilaufgabe 1.5
r Sie können aus jeder Einzelwahrscheinlichkeit im Produkt P(E) schlussfolgern,
welche Kugeln der Reihe nach gezogen wurden.
Teilaufgabe 2.1
r Schließen Sie vom Grad der ganzrationalen Funktionen auf den Verlauf oder berechnen Sie Funktionswerte an bestimmten Stellen und kontrollieren Sie diese.
Teilaufgabe 2.2
r Nutzen Sie die Tatsache, dass eine Stammfunktion von h'(x) die Funktion h(x) ist.
Teilaufgabe 3.1
r Es genügt nachzuweisen, dass ein Innenwinkel 90° ist.
r Nutzen Sie zum Nachweis das Skalarprodukt von Vektoren.
Teilaufgabe 3.2
r Die Volumenformel lautet V = 13 A G ⋅ h, wobei h der Strecke AS entspricht.
2015-4
Teilaufgabe 4.1
r Lesen Sie zur Berechnung des Erwartungswertes die Wahrscheinlichkeiten für die
jeweiligen Werte der Zufallsgröße aus dem Diagramm ab.
Teilaufgabe 4.2
r Sie können aus einem Baumdiagramm die zugehörigen Ergebnisse herausfinden und
deren Wahrscheinlichkeiten addieren.
r Einfacher finden Sie die drei möglichen Summen durch Überlegung.
Teilaufgabe 5.1
r Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes unter Anwendung der notwendigen Bedingung: f ''(xW) = 0
r Kontrollieren Sie, ob der Wendepunkt die gegebene Geradengleichung erfüllt.
Teilaufgabe 5.2
r Zerlegen Sie die Verschiebung in je eine Verschiebung in Richtung der x- bzw.
y-Achse und schlussfolgern Sie daraus auf die neue Funktion.
Lösungen
1
Vorbemerkung: Als Lösung ist nur das Kreuz im jeweils richtigen Feld verlangt; im Folgenden sind zusätzlich Rechnungen und Begründungen für die
richtige Antwort angegeben.
1.1 Richtige Antwort: Kreuz in Feld 3
3
f (x) = 2 x 3 = 2x 2
F(x) = 2 ⋅
1
5
2
5
x2 =
4 5
x
5
1.2 Richtige Antwort: Kreuz in Feld 3
h(x) = 2x − ln x
1
x
1
h'(1) = 2 − = 1
1
h'(x) = 2 −
2015-5
1.3 Richtige Antwort: Kreuz in Feld 2
A(3 | 4 | –2), B(–2 | 4 | 3)
⎛ −5 ⎞
a g = AB = ⎜ 0 ⎟ ⇒ g x-z-Ebene
⎜ 5⎟
⎝ ⎠
Man kann dies bereits erkennen an yA = yB = 4.
1.4 Richtige Antwort: Kreuz in Feld 2
A(4 | 0 | 0), Bt(0 | t | 4), t ∈ 0, t > 0
d t = AB t = 16 + t 2 + 16 = 32 + t 2 = 9
32 + t 2 = 81
t 2 = 49
mit t > 0: t = 7
1.5 Richtige Antwort: Kreuz in Feld 2
5 × gelb ⎫
8 Kugeln
3 × blau ⎬⎭
4 × Ziehen ohne Zurücklegen
3
2
1
P(E) =
⋅
⋅
⋅ 1
8
7
6
gelbe Kugel (sicheres Ereignis)
1. blaue 2. blaue 3. blaue
Kugel
Kugel
Kugel
2
f(x) = x2 – x + 1; g(x) = x3 – x + 1; h(x) = x4 + x2 + 1
2.1 Es handelt sich um Funktion g.
Begründung: f wäre eine nach oben geöffnete Parabel (liegt nicht vor).
g ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit einem lokalen
Minimum und einem lokalen Maximum.
h wäre eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die symmetrisch
zur y-Achse verläuft (liegt nicht vor); h kann auch nur positive
Funktionswerte annehmen.
Andere Möglichkeit:
P(–1 | 1) liegt auf g (und auf dem Graphen).
f(–1) = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1
h(–1) = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1
Also kann es nur g sein.
2015-6

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