Zum Verständnis des Faltungsintegrals: Antwort eines LTI-Systems auf Rechteckimpulse konstanter Impulsdichte g 0(t) s 0(t) 1/T 0 s 0(t) T LTI System g 0(t) 0 t 0 für T -> 0 wird - s 0(t) zum Diracstoß 0 - g 0(t) zur Impulsantwort t Zum Verständnis des Faltungsintegrals: Approximation des Ein- und Ausgangssignals durch Rechteckimpulse Orginalfkt. x(t) y(t) approximierte Fkt. approximierte Fkt. zu überlagernde Einzelantworten Orginalfkt. x(t) LTI System y(t) 4 3 1 2 3 4 5 6 7 0 2 t 1 5 6 7 t Zum Verständnis des Faltungsintegrals: gesucht: Antwort y(t) eines LTI-Systems auf ein beliebiges Eingangssignal x(t) Lösung: 1. Die Antwort auf einen Rechteckimpuls s0(t) = bekannt und durch g0(t) gegeben. 1 rect(t/T0) T0 sei 2. Das Eingangssignal x(t) kann nun approximiert werden, indem die einzelnen Impulse einer Rechteckimpulsfolge jeweils mit x(nT 0)·T0 gewichtetet und um nT0 verzögert werden: x(t) ≈ ∞ X n=−∞ x(nT0) · s0(t − nT0) · T0 . (1) 3. Da die Antwort des Systems auf s0(t) bekannt ist, kann auch die Antwort auf x(t) approximiert werden. Es gilt y(t) ≈ ∞ X n=−∞ x(nT0) · g0(t − nT0) · T0 (2) 4. Mit dem Grenzübergang T0 → 0 gehen die Funktionen s0(t) und g0(t) über in s0(t) ⇒ δ(t) g0(t) ⇒ g(t) , (3) (4) und die Summen in die Faltungsintegrale x(t) = Z∞ y(t) = −∞ Z∞ x(τ ) · δ(t − τ ) dτ x(τ ) · g(t − τ ) dτ . und (5) (6) −∞ g(t) wird als Impulsantwort oder Gewichtsfunktion bezeichnet. Zum Verständnis des Faltungsintegrals: Beispiel x(t) U0 0 x(τ ) U0 0 t0 t0 t τ * g(t) 1/t1 0 g(−τ ) −t1 0 t1 t0 t = τ y(t) U0 0 0 x(τ )g(−τ ) = g(t − τ ) 1 g(t0 + t1/2 − τ ) t1 U0 t1 t1 t0 (t0 + t1) t t1 t0 (t0 + t1) τ x(τ )g(t1 − τ ) x(τ )g(t0 + t1/2 − τ ) Beispiel zur Berechnung der Funktionswerte bei t = 0, t = t1 und t = t0 + t1/2 t1