Wellen in der Klein-Gordon

Wellen in der
Klein-Gordon-Gleichung
Vortrag im Bachelorseminar "Modellierung und Analysis
von Wellen" bei Prof. Dr. Michael Herrmann
Dirk Janßen
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Existenz periodischer Lösungen
1
2.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.2
Energieniveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3 Approximation periodischer Lösungen
8
Dirk Janssen
1
WWU
Einleitung
Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit Wellen in der Klein-Gordon-Gleichung.
Dabei wird diese zunächst in Kaptitel 1 auf die Existenz von periodischen
Lösungen untersucht. Im zweiten Kapitel wird eine Approximation der periodischen Lösungen bestimmt. Grundlage der Arbeit bilden folgende Quellen:
Vladimir I. Arnold: Gewöhnliche Diﬀerentialgleichungen, 2. Auflage, Springer, S. 140-149
Peter D. Miller: Applied Asymptotic Analysis, Graduate Studies in
Mathematics Volume 75, American Mathematical Society, S. 382-391
G. B. Whitham: Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience, S. 485-489
2
Existenz periodischer Lösungen
2.1
Grundlagen
Wir betrachten die nichtlineare Klein-Gordon-Gleichung:
'xx + V 0 (') = 0,
'tt
(1)
mit einer nichtlinearen Funktion V 0 ('), welche im weiteren Verlauf als Ableitung der potentiellen Energie V (') betrachtet wird.
Wir wollen die Klein-Gordon-Gleichung zunächst auf Existenz periodischer
Lösungen überprüfen. Dazu wählen wir:
'=
(✓),
✓ = x
(2)
!t
Damit ergibt sich für die Klein-Gordon-Gleichung:
(! 2
2 )
✓✓
=
V 0( )
(3)
Gleichung (3) ist äquivalent zu dem System:
0
1
2
=
2,
(! 2
2 )
0
2
=
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
V 0(
1)
(
1,
2)
2I ⇥R
(4)
1
Dirk Janssen
WWU
mit I ⇥ R als Phasenraum,
1
und
=
2
0
=
In diesem Phasenraum betrachten wir außerdem die folgenden Funktionen:
T = (! 2
2 )
2
2
kinetische Energie
2
V
potentielle Energie
E =T +V
gesamte Energie
Satz: Die Energie E ist eine Erhaltungsgröße für das System (4)
Beweis:
d
d✓
✓
(! 2
= (! 2
2.2
2 )
2 )
2
2 (✓)
2
+V(
2
0
2
+V0
0
1
1 (✓)
◆
V0
=
2
+V0
2
=0
Energieniveaulinien
Wir untersuchen nun die Lösungen von (4) im Phasenraum. Diese Phasenkurven liegen in den Niveaumengen der Energie. Wie betrachten diese Niveaumengen für feste Werte von E:
Ne =
⇢
(
1,
2 )| (!
2
2 )
2
2
2
+V(
1)
=e
Wir schauen uns die Phasenkurven für ausgewählte potentielle Energien an.
V1 (
1)
=
2
1
2
Um die Phasenkurven zu skizzieren stellen wir uns ein Kügelchen vor, das
in der Potentialsenke rollt. Wir betrachten eine Gesamtenergie E > 0. Da
die kinetische Energie nichtnegativ ist, ist die potentielle Energie nie größer
als die Gesamtenergie E. Das bedeutet übertragen auf unser Kügelchen, dass
es nie den Wert E übersteigt. Rollt das Kügelchen nun in der Potentialsenke hinunter, so erhöht sich dessen Geschwindigkeit (
2 ),
rollt es hinauf so
sinkt dessen Geschwindigkeit. Die Geschwindkeit istqim Betrag also umso
V ( 1 ))
größer, je kleiner die potentielle Energie ist (| 2 | = 2(E
). An den
(! 2 2 )
Punkten V (
1)
= E ist die Geschwindigkeit null. Gilt für die Gesamtenergie
E = 0, so ruht das Kügelchen in der Potentialsenke. Die Phasenkurve ist also
ein Punkt (0,0). Für E < 0 ist eine Bewegung des Kügelchen physikalisch
nicht möglich. Es gibt also keine Phasenkurven. Die Phasenkurven sind also
geschlossene, kreisförmige und symmetrische Kurven um den Punkt (0,0).
2
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
2
Dirk Janssen
Unsere Lösungen
WWU
1 (✓)
=
(✓) von (3) sind also periodisch. Die Phasenkur-
ven für drei unterschiedliche Energien E > 0 und die Energie E = 0 sehen
dementsprechend wie folgt aus:
V ( 1)
1
2
2
1
1
2
N3
N2
N1
1
Wir betrachten nun die potentielle Energie V2 (
1)
=
2
1
2
und möchten die
Phasenkurven für drei unterschiedliche Energien skizzieren (E > 0, E = 0
und E < 0). Für E > 0 rollt das Kügelchen (ob von links oder rechts kommend) den ”Potentialberg” hinauf und rollt auf der anderen Seite wieder hinunter. Die Geschwindigkeit sinkt in der Steigung und erhöht sich im Gefälle.
Für E = 0 nähert sich das Kügelchen mit sinkender Geschwindigkeit dem
Maximum, wird dieses allerdings nie erreichen. Ein sich im Gefälle befindliches Kügelchen ist in einem Punkt gestartet der biliebig nahe am Maximum
liegt. Für E < 0 rollt das Kügelchen mit sinkender Geschwindigkeit bis zum
Wert von E hinauf und rollt anschließend mit wachsender Geschwindigkeit
2
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
3
Dirk Janssen
WWU
wieder hinunter. Die Phasenkurven sehen für diese Gesamtenergien wie folgt
aus:
V(
1)
1
1
2
2
1
2
1
Die Phasenkurven sind also nicht geschlossen. Es existieren keine periodischen Lösungen.
Wir möchten ein letztes Potential betrachten: V (
2
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
1)
=
1
2
2
1
+
4
1
4
Dirk Janssen
WWU
Das Potiential und die Phasenkurven sehen dann wie folgt aus:
V(
1)
1
2
1
Die Steigung dieses Potential unterscheidet sich von der des ersten Potentials. Aufgrunddessen nähern sich die Phasenkurven einer "Rechteckform".
Die Phasenkurven sind also geschlossen und es existieren periodische Lösungen.
Wir möchten nun die Periode der Lösungen bestimmen. Unser Potential besitze nun eine Mulde im Intervall [a,b], wie in Abbildung 1. Also:
V (a) = V (b) = E
V (x) < E für a < x < b
V 0 (a) < 0 und V 0 (b) > 0
2
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
5
Dirk Janssen
V(
WWU
1)
E
a
b
1
Abbildung 1: Potentialmulde
2
a
b
1
Für unsere betrachte Energie E ist die Phasenkurve also geschlossen. Es existiert also eine periodische Lösung. Es gilt wieder E = (! 2
Die Auflösung nach
2
0
1
2
2 )
2
2
2
+V(
1 ).
ergibt:
=
2
=±
s
2(E V ( 1 ))
(! 2 2 )
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
(5)
6
Dirk Janssen
WWU
Sei T̄ die Periode der Lösung. Dann gilt:
T̄
=
2
Z
T̄
2
1 d✓ =
0
Z
b
1
a
d
1
d 1
d✓
=
1 (0)
Z bs
a
=
1 (T̄ )
= a und
(! 2 2 )
d
2(E V ( 1 ))
1
T̄
1( 2 )
=b
(6)
Die Grenzen a und b lassen sich bestimmen durch: V (b) = E und V (a) = E
T̄ ist also eine Funktion von !,  und E. Sei nun ! 2
V(
1)
=
4
1
+
1
2
2 = 1 und
2
1
Das T̄ -E-Diagramm hat dann folgende Gestalt:
T̄ (E)
E
Je größer die Energie also ist, desto kleiner ist die Periode.
2
EXISTENZ PERIODISCHER LÖSUNGEN
7
Dirk Janssen
3
WWU
Approximation periodischer Lösungen
Wir möchten nun die periodischen der Klein-Gordon-Gleichung approximieren. Dazu verwenden wir:
' = ✏ (✓),
✓ = x
(7)
!t
mit der Wellenzahl  und der Frequenz !
Wir überführen die Klein-Gordon-Gleichung in die Form:
✏(! 2
2 )
00
+ V 0 (✏ (✓)) = 0
Mit Taylorentwichlung von V 0 (✏ (✓)) um 0 ergibt sich:
0 = ✏(! 2
+ ✏2
00
2 )
+ V 0 (0) + V 00 (0)✏ (✓)
V 0 (✏ (✓))
V 0 (0)
✏2
(8)
V 00 (0)✏ (✓)
Außerdem setzen wir:
V 0 (0) = 0, V 00 (0) = 1 und G( ; ✏) :=
V 0 (✏ (✓))
V 0 (0)
✏2
V 00 (0)✏ (✓)
0
(9)
mit G(0; ✏) = 0 und G (0; ✏) = 0
Setzen wir nun (9) in (8) ein und teilen durch ✏, so ergibt sich:
(! 2
2 )
00
+
+ ✏G( ; ✏) = 0
(10)
Wir betrachten also den linearen harmonischen Oszillator mit einer kleinen
Störung (✏ ⌧ 1). Außerdem wählen wir für G:
G( ; ✏) = 4
3
Insgesamt möchten wir also periodische Lösungen der folgenden Diﬀerentialgleichung bestimmen:
(! 2
3
2 )
00
+
+ ✏4
APPROXIMATION PERIODISCHER LÖSUNGEN
3
=0
(11)
8
Dirk Janssen
WWU
Wir verwenden hierzu den Ansatz
(✓; ✏) =
!
2
2
 =
1
X
n (✓)✏
n=0
1
X
n
(12)
n✏
n
n=0
0
(0) = ↵
(13)
(0) = 0
und setzen (12) in Gleichung (11) ein, um anschließend die Koeﬃzienten
und
n
n
zu berechnen.
Für die Terme die unabhängig von ✏ sind ergibt sich:
0
00
0
+
0
(14)
=0
Wir suchen 2⇡-periodische Lösungen und wählen deshalb:
0
= 1. Mit den
Anfangsbedingungen (13) ergibt sich damit als Lösung von (14):
0 (✓)
= ↵ cos(✓)
Für die Terme die proportional zu ✏ sind ergibt sich eine Diﬀerentialgleichung
für
1:
0
Einsetzen von
0
0
00
1
00
1
+
1
=
4
3
0
1
00
0
(15)
in die Diﬀerentialgleichung (15) liefert:
+
1
=
=
4↵3 cos3 (✓) +
1 ↵ cos(✓)
3
↵ (3 cos(✓) + cos(3✓)) +
1 ↵ cos(✓)
(16)
Wir lösen diese Diﬀerentialgleichung mit Variation der Konstanten und wählen den Ansatz
mit der Bedingung
a0 (✓) cos(✓)
Ansatzes in (16) liefert:
+
1 (✓) = a(✓) cos(✓) + b(✓) sin(✓)
0
b (✓) sin(✓) = 0. Einsetzen unseres
a0 (✓) = ↵3 sin(✓)(3 cos(✓) + cos(3✓))
b0 (✓) =
3
1 ↵ cos(k✓) sin(✓)
↵3 cos(✓)(3 cos(✓) + cos(3✓)) +
APPROXIMATION PERIODISCHER LÖSUNGEN
1 ↵ cos
2 (✓)
(17)
(18)
9
Dirk Janssen
WWU
Um 2⇡-periodische Lösungen zu erhalten muss gelten:
Z 2⇡
1
a0 (✓) d✓ = 0
2⇡ 0
Z 2⇡
1
b0 (✓) d✓ = 0
2⇡ 0
Dies ist der Fall wenn:
1
= 3↵2
Setzen wir dies in (17) und (18) ein und integrieren anschließend so erhalten
wir a(✓), b(✓) und als Lösung für
1 (✓)
!2
2
1:
1 3
↵ (cos(3✓) cos(✓))
8
= 1 + 3↵2 ✏ + O(✏2 )
(19)
=
(20)
Insgesamt ergibt sich als Lösung von (11):
(✓) =
0 (✓)
+
1 (✓)✏
+ O(✏2 )
1
= ↵ cos(✓) + ↵3 (cos(3✓)
8
(21)
cos(✓))✏ + O(✏2 )
(✓)
↵
✓
-2⇡
-⇡
⇡
2⇡
-↵
3
APPROXIMATION PERIODISCHER LÖSUNGEN
10

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