Lösungshinweis zu Übungsblatt 2

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Sommersemester 2015
24.04.2015
2 . Übung zur Analysis in mehreren Variablen
Abgabe: 08.05.2015, 12:13 Uhr, In der Vorlesung.
2.1 (3+3+3 Punkte)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen offen, abgeschlossen, beschränkt bzw. kompakt sind:
a) A = {(x, y) ∈ R2 | |xy| < 1}.
b) B = R × N.
c) C = {(x, y) ∈ R2 |
p
x2 + y 2 ∈ Q}.
Lösunsghinweise: A ist offen, denn zu (x, y) ∈ A gibt es ein > 0, so dass B (x, y) ⊂
A. Etwas genauer: (O.B.d.A) sei (x, y) aus dem ersten Quadranten) wähle 1 > 0 und
betrachte die Gerade parallell zur x-Achse mit der y-Koordinate y + 1 . Diese schneidet
den Graphen {(x, x1 ) | x ∈ R+ } im ersten Quadranten. Durch den Schnittpunkt lege man
eine Gerade paralell zur y-Achse. 2 sei die Differenz von x und dem x-Wert der zweiten
Gerade. Für = 12 min{1 , 2 } gilt dann B (x, y) ⊂ A.
A ist nicht abgeschlossen, denn zu (1, 1) ∈ R2 \ M ist in jeder -Umgebung ein Element
aus A (etwa (1, 1 − 2 )).
A ist nicht beschränkt. Z.B. ist (R, 0) ∈ A für jedes R > 0.
A ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.
B ist nicht offen. Z.B. ist in jeder Umgebung von (0, 1) ein Element aus R2 \ B, z.B.
(0, 1 − ) für klein genug.
B ist abgeschlossen, denn zu (x, y) ∈ R2 \ B ist B (x, y) ⊂ R2 \ B, wenn kleiner als der
kleinste Abstand von y zu einer natürlichen Zahl gewählt ist.
B nicht beschränkt. Z.B. ist (R, 1) ∈ B für jedes R ∈ R.
B ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.
C ist nicht offen. Z.B. ist in jeder Umgebung von (0, 0) ein Element aus R2 \ C, z.B. (0, )
für ∈ R \ Q klein genug (Q liegt dicht in R, vergleiche Zahlentheorie).
√
/ C ist ein √
Element aus C,
C ist nicht abgeschlossen, denn in jeder Umgebung von (0, 2) ∈
z.B. (0, q) wobei q die ersten n Stellen der Dezimalbruchentwicklung von 2 sind (R \ Q
ist dicht in R).
C ist nicht beschränkt, denn (0, R) ∈ C für R ∈ Q beliebig groß.
C ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.
2.2 (6 Punkte)
Es sei A ∈ R2×2 und b ∈ R2 . Untersuchen Sie, ob die Lösungsmenge
LA,b := {x ∈ R2 | Ax = b}
offen, abgeschlossen, beschränkt oder kompakt ist. Fallunterscheidungen!
Lösungshinweise: Zur Erinnerung (an Lineare Algebra). Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist entweder leer oder ein affiner Unterraum der Form
LA,b = x0 + Kern(A) = {x ∈ Rn | x = x0 + u mit Au = 0}
Hierbei ist x0 irgendeine Lösung des Gleichungssystems.
Sei zunächst Rang(A) = 2 (d.h. A ist invertiebar). Dann hat das LGS die eindeutige
Lösung A−1 b. Die einpunktige Menge LA,b ist daher abgeschlossen, beschränkt, kompakt
aber nicht offen (vergleiche Tutorium 2.1.a))
Ist Rang(A) = 0, dann ist A die Nullmatrix. Für b = 0 ist dann LA,b = R2 also offen,
abgeschlossen, unbeschränkt und nicht kompakt. Für b 6= 0 hat Ax = b keine Lösung, d.h.
LA,b = ∅ und damit offen, abgeschlossen, beschränkt und kompakt.
Ist Rang(A) = 1, dann gilt dimKern(A) = 1 (Rangsatz, vergleiche Lina). Die Lösungsmenge
ist entweder leer (falls b nicht im Bild von A liegt) – also offen, abgeschlossen, beschränkt
und kompakt – oder ein eindimensionaler affiner Teilraum und damit unbeschränkt (ist
xo ∈ LA,b , dann auch x0 + Ru mit R ∈ R beliebig groß und u ∈ Kern(A), u 6= 0) und
nicht kompakt.
Im letzten Fall ist LA,b = x0 +Kern(A) nicht offen, denn mit x0 ∈ LA,b und e 6= Kern(A),
> 0 ist A(x0 + e) = b + Ae 6= b, also x0 + e ∈
/ LA,b .
LA,b ist aber abgeschlossen, denn aus x ∈
/ LA,b (also Ax − b 6= 0) folgt für x + e mit
e ∈ R2 und klein genug, etwa < kAx−bk
2kAek
kA(x + e) − bk ≥ |kAx − bk − kAek| =
6 0
Hinweis: Im letzten Schritt wurde die untere Dreiecksungleichung verwendet: Für einen
normierten Raum gilt kx − yk ≥ |kxk − kyk| (folgt direkt aus der üblichen Dreiecksungleichung).
2.3 (4 Punkte)
Es sei
f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (exp(xy), cos(x)).
Bestimmen Sie f (R2 ).
Lösungshinweise: Es gilt f (R2 ) = R+ × [−1, 1], denn: (i) Für alle (x, y) ∈ R2 ist
exp(xy) ∈ R+ und cos(x) ∈ [−1, 1], also gilt f (R2 ) ⊂ R+ × [−1, 1]. (ii) Zu (a, b) ∈
R+ × [−1, 1] gibt es ein x ∈ R+ , so dass cos(x) = b. Für y = ln(a)
gilt exp(xy) = a. Also
x
+
2
ist R × [−1, 1] ⊂ f (R )
2.4 (3+3 Punkte)
a) Zu A1 ⊂ R2 sei A2 = A1 , A3 = Ao2 und A4 = A3 . Finden Sie eine Startmenge
A1 , so dass die Mengen A1 , A2 , A3 , A4 alle verschieden sind.
b) Zu B1 ⊂ R2 sei B2 = B1o , B3 = B2 und B4 = B3o . Finden Sie eine Startmenge
B1 , so dass die Mengen B1 , B2 , B3 , B4 alle verschieden sind.
Lösungshinweise: Es sei D := U1 (0) = {x ∈ R2 | kxk2 < 1} die offene Kugel um 0 mit
Radius 1. Wir wissen schon: ∂D = {x ∈ R2 | kxk2 = 1} und D = {x ∈ R2 | kxk2 ≤ 1},
also D ∪ ∂D = D.
a) Wir wählen z.B. A1 = (D \ {(0, 0)}) ∪ {(2, 0)}. Dann ist A2 = A1 = D ∪ {(2, 0)},
A3 = Ao2 = D und A4 = A3 = D.
b) Wir wählen B1 = (D\{(0, 0)})∪{(1, 0)}. Dann ist B2 = B1o = D\{(0, 0)}, B3 = B2 = D
und B4 = B3o = D.

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