Signal

Formelsammlung
Signal- und Systemtheorie I
Institut für Kommunikationstechnik
Prof. Dr. H. Bölcskei
2015-16
1 Fouriertransformation zeitkontinuierlicher Signale
∞
Z
x(t) =
x̂(f ) e
2πif t
t
d
df
Z
∞
x(t) e−2πif t dt
x̂(f ) =
−∞
−∞
x(t − t0 )
d
t
e−2πif t0 x̂(f )
e2πif0 t x(t)
d
t
x̂(f − f0 )
x∗ (t)
d
t
x̂∗ (−f )
x(−t)
d
t
x(at)
d
t
x̂(−f )
1
f
x̂
|a|
a
(x ∗ y)(t)
d
t
x̂(f )ŷ(f )
x(t)y(t)
d
t
(x̂ ∗ ŷ)(f )
xe (t) = 21 (x(t) + x∗ (−t))
d
t
Re{x̂(f )}
xo (t) = 12 (x(t) − x∗ (−t))
d
t
iIm{x̂(f )}
Re{x(t)}
d
t
x̂e (f ) = 21 (x̂(f ) + x̂∗ (−f ))
iIm{x(t)}
d
t
tn x(t)
d
t
dn x(t)
dtn
x̂o (f ) = 21 (x̂(f ) − x̂∗ (−f ))
n n
d x̂(f )
i
2π
df n
d
t
(2πif )n x̂(f )
d
t
1
1
x̂(f ) + x̂(0)δ(f )
2πif
2
Z
t
x(τ ) dτ
−∞
Einige Fouriertransformationspaare
δ(t − t0 )
d
t
e−2πif t0
e2πif0 t
d
t
δ(f − f0 )
cos(2πf0 t)
d
t
sin(2πf0 t)
∞
X
δ(t − kT0 )
d
t
d
t
d
t
1
(δ(f + f0 ) + δ(f − f0 ))
2
i
(δ(f + f0 ) − δ(f − f0 ))
2
∞
1 X
k
δ f−
T0 k=−∞
T0
∞
X
k
ck δ f −
T0
k=−∞
k=−∞
∞
X
ck e2πikt/T0
k=−∞
1
σ(t)
d
t
sign(t)
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
dn δ(t)
dtn
d
t
tn
d
t
|t|
d
t
e−at σ(t),
Re{a} > 0
tn−1
e−at σ(t),
(n − 1)!
e−a|t| ,
Re{a} > 0
Re{a} > 0
sin(2πfc t)
πt

1, |t| ≤ T
0
x(t) =
0, |t| > T
0

1 − |t| , |t| ≤ T
0
T0
x(t) =
0,
|t| > T
1
1
+ δ(f )
2πif
2
1
πif
1
a + 2πif
1
(a + 2πif )n
2a
2
a
+ 4π 2 f 2
1, |f | ≤ f
c
x̂(f ) =
0, |f | > f
c
0
2
e−at ,
a>0
sin(2πT0 f )
πf
sin2 (πT0 f )
π 2 T0 f 2
r
π −π2 f 2 /a
e
a
(2πif )n
n n
i
d δ(f )
2π
df n
1
− 2 2
2π f
Dualität der Fouriertransformation
Die folgenden Korrespondenzen sind äquivalent.
x(t)
d
t
x̂(f )
x̂(t)
d
t
x(−f )
x̂(−t)
d
t
x(f )
Parsevalsche Beziehung
für aperiodische
Signale x ∈ L2 (R)
Z
Z
∞
∞
2
|x̂(f )|2 df
|x(t)| dt =
−∞
−∞
Poissonsche Summenformel (T > 0)
∞
∞
X
1 X
x̂(n/T )e2πint/T
x(t + nT ) =
T
n=−∞
n=−∞
2
2 Fourierreihen zeitkont. periodischer Signale
∞
X
x(t) = x(t + T ) =
d
2πikt/T
ck e
1
ck =
T
t
k=−∞
x(t) e−2πikt/T dt
0
x(t − T0 )
d
t
e−2πikT0 /T ck
e2πimt/T x(t)
d
t
ck−m
x∗ (t)
d
t
c∗−k
x(−t)
d
t
c−k
d
t
d
t
d
t
x(at),
Z
T
Z
a>0
T
x(τ )y(t − τ ) dτ
ck ,
T ck dk ,
0
x(t)y(t)
∞
X
Periode
T
a
x, y gleiche Periode
cl dk−l , x, y gleiche Periode
l=−∞
xe (t) = 12 (x(t) + x∗ (−t))
d
t
Re{ck }
xo (t) = 21 (x(t) − x∗ (−t))
d
t
iIm{ck }
Re{x(t)}
d
t
1
(c
2 k
+ c∗−k )
iIm{x(t)}
dx(t)
dt
d
t
1
(c
2 k
− c∗−k )
d
t
2πik
T
d
t
T
c
2πik k
Z
t
x(τ ) dτ mit c0 = 0
−∞
ck
Einige Fourierreihen1
d
t
d
t
1
(δ[k
2
d
t
i
(δ[k
2
d
t
d
t
d
t
e2πit/T
cos 2πt/T
sin 2πt/T
∞
X
δ(t − kT )
k=−∞

1, |t| ≤ T
1
x(t) =
0, T < |t| ≤
1
cos 2πt/T T
2
(Periode T2 )
δ[k − 1]
+ 1] + δ[k − 1])
+ 1] − δ[k − 1])
1
∀k
T
sin 2πkT1 /T
πk
2 (−1)k
π 1 − (2k)2
Parsevalsche Beziehung für periodische Signale x ∈ L2 ([0, T ])
Z
∞
X
1 T
2
|x(t)| dt =
|ck |2
T 0
k=−∞
1
Die Funktion δ[·] ist der Einsimpuls für diskrete Argumente bzw. δ(·) die Diracsche Deltafunktion für
kontinuierliche Argumente.
3
3 Fouriertransformation zeitdiskreter Signale
1
Z
x[n] =
x̂(θ) e
2πinθ
dθ
d
t
x̂(θ) =
0
∞
X
x[n] e−2πinθ
n=−∞
x[n − N0 ]
d
t
e−2πiN0 θ x̂(θ)
e2πinθ0 x[n]
d
t
x̂(θ − θ0 )
x∗ [n]
d
t
x̂∗ (−θ)
x[−n]
d
t
x̂(−θ)
(x ∗ y)[n]
d
t
x̂(θ)ŷ(θ)
x[n]y[n]
d
t
(x̂ ∗ ŷ)(θ) (siehe 2 )
xe [n] = 21 (x[n] + x∗ [−n])
d
t
Re{x̂(θ)}
xo [n] = 12 (x[n] − x∗ [−n])
d
t
iIm{x̂(θ)}
Re{x[n]}
d
t
x̂e (θ) = 12 (x̂(θ) + x̂∗ (θ))
iIm{x[n]}
d
t
nx[n]
n
X
x[k]
d
t
d
t
x̂o (θ) = 12 (x̂(θ) − x̂∗ (θ))
i dx̂(θ)
2π dθ
∞
X
1
1
δ(θ − k)
x̂(θ) + x̂(0)
1 − e−2πiθ
2
k=−∞
k=−∞
Einige Fouriertransformationen3
δ[n − N0 ]
d
t
e2πiθ0 n
d
t
cos(2πθ0 n)
sin(2πθ0 n)
∞
X
d
d
e−2πiN0 θ
P∞
k=−∞
1
2
t
i
2
t
δ[n − kN ]
d
t
σ[n]
d
t
d
t
d
t
sin(2πnα)
,
πn
2
|a| < 1
0 < α < 1/2
k=−∞
∞
X
δ(θ − θ0 − k)
!
δ(θ + θ0 − k) + δ(θ − θ0 − k)
!
δ(θ + θ0 − k) − δ(θ − θ0 − k)
k=−∞
∞
1 X
k
δ θ−
N k=−∞
N
∞
1 X
1
+
δ(θ − k)
1 − e−2πiθ 2 k=−∞
1
1 − ae−2πiθ

1, |θ| ≤ α
(1-periodisch)
0, α < |θ| ≤ 1/2
k=−∞
an σ[n],
∞
X
Bei dieser Faltung im periodischen Frequenzbereich handelt es sich um die periodische Faltung, defiR1
niert durch (x̂ ∗ ŷ)(θ) = 0 x̂(τ )ŷ(θ − τ )dτ
4

1, |n| ≤ N
1
x[n] =
0, |n| > N
t
d
1
sin (2N1 + 1)πθ
sin(πθ)
Parsevalsche Beziehung für aperiodische zeitdiskrete Signale
Z 1
∞
X
2
|x̂(θ)|2 dθ
|x[n]| =
0
n=−∞
Spektrum abgetasteter zeitkontinuierlicher Signale
Wird ein zeitkontinuierliches Signal xc (t) mit der Rate T1 abgetastet, so gilt zwischen
der zeitdiskreten Fouriertransformation des entstandenen zeitdiskreten Signals xd [n] =
xc (nT ) und der Fouriertransformation des zeitkontinuierlichen Signals die Beziehung
∞
1 X
θ−k
x̂d (θ) =
.
x̂c
T k=−∞
T
3
Bei den Beziehungen ist die 1–Periodizität im Frequenzbereich zu berücksichtigen. Die Funktion δ[·]
ist der Einsimpuls für diskrete Argumente bzw. δ(·) die Diracsche Deltafunktion für kontinuierliche
Argumente.
5
4 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
Merkregel: In den DFT-Formeln ist ein N -Punkte Signal stets als eine Periode eines
periodischen zeitdiskreten Signals zu betrachten.
N −1
1 X
x[n] =
x̂[k] e2πikn/N
N k=0
d
x[n − N0 ]
d
t
e−2πikN0 /N x̂[k]
e2πik0 n/N x[n]
d
t
x̂[k − k0 ]
x∗ [n]
d
t
x̂∗ [−k]
x∗ [−n]
d
t
x̂∗ [k]
d
t
x̂[k]ŷ[k]
d
t
N −1
1 X
x̂[m]ŷ[k − m]
N m=0
d
t
Re{x̂[k]}
d
t
iIm{x̂[k]}
Re{x[n]}
d
t
1
2
x̂[k] + x̂∗ [−k]
iIm{x[n]}
d
t
1
2
x̂[k] − x̂∗ [−k]
N
−1
X
x[m] y[n − m]
t
x̂[k] =
N
−1
X
x[n] e−2πikn/N
n=0
m=0
x[n]y[n]
xe [n] =
1
2
xo [n] =
1
2
x[n] + x∗ [−n]
x[n] − x∗ [−n]
Einige DFT Beispiele4
x[n] =
4
e2πik0 n/N
d
t
0
n
cos 2πk
N
2πk0
sin N n
d
t
N
(δ[k
2
+ k0 − N ] + δ[k − k0 ])
d
t
iN
(δ[k
2
+ k0 − N ] − δ[k − k0 ])
d
t
d
t
δ[n]




1, 0 ≤ n ≤ N1
1, N − N1 ≤ n ≤ N − 1



0, sonst
N δ[k − k0 ]
1
sin (2N1 + 1) πk
N
sin πk
N
In den Formeln gilt 0 ≤ n ≤ N − 1, 0 ≤ k ≤ N − 1 und 0 ≤ m ≤ N − 1.
6

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