Einfach zusammenhängende Gebiete. Riemannscher Abbildungssatz

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Einfach zusammenhängende Gebiete. Riemannscher Abbildungssatz
14.1 Definition. Ω ⊆ C sei offen, Γ, Γ1 Zyklen in C. Bekanntlich heißt Γ1 homolog zu Γ, falls
IndΓ1 (z) = IndΓ (z)
∀z ∈
/ Ω.
Wir nennen Γ nullhomolog in Ω, falls
IndΓ (z) = 0 ∀ z ∈
/ Ω.
Wir schreiben: Γ1 ∼ Γ in Ω bzw. Γ ∼ 0 in Ω.
14.2 Definition. Eine geschlossene Kurve γ in der offenen Menge Ω ⊆ C heißt nullhomotop,
falls γ homotop ist zu der Punktkurve“ γ̃(t) ≡ z0 für ein z0 ∈ Ω.
”
Ein Gebiet Ω heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve in Ω nullhomotop
ist.
14.3 Bemerkungen.
(a)
(b)
Wissen: Aus Homotopie folgt Homologie. Aus Nullhomotopie folgt Nullhomologie: Die
Punktkurve hat Windungszahl Null.
Jedes sternförmige Gebiet ist einfach zusammenhängend, denn man kann jede Kurve auf
den Sternpunkt zusammenziehen:
H(t, s) = sa + (1 − s)γ(t),
(c)
a : Sternpunkt.
γ nullhomolog in Ω '⇒ γ nullhomotop in Γ.
Beispiel: Es sei Ω = C \ {− 12 , 12 }, A = −1 − i, B = 1 − i, C = 1 + i, D = −1 + i und
γ = AD + DB + BC + CD + DA + AC + CB + BA.
(d)
(e)
(f)
Dann ist Indγ ( 12 ) = Indγ (− 21 ) = 0, aber γ nicht nullhomotop.
In einem einfach zusammenhängenden Gebiet gelten der Cauchysche Integralsatz bzw. der
Residuensatz für jeden geschlossenen Weg, denn dort ist jeder geschlossene Weg nullhomolog, also die Voraussetzung von Satz 13.5 erfüllt.
Ist Ω ⊆ C einfach zusammenhängend und U homöomorph zu Ω, so ist U einfach zusammenhängend.
Es folgt: Jedes zur Einheitskreisscheibe E = {z ∈ C : |z| < 1} homöomorphe Gebiet in C
ist einfach zusammenhängend.
14.4 Riemannscher Abbildungssatz. Jedes einfach zusammenhängende Gebiet Ω '= C in C
ist biholomorph abbildbar auf dem Einheitskreis E.
14.5 Definition. Ein Randpunkt β eines einfach zusammenhängenden Gebiets Ω in C heißt
einfacher Randpunkt, falls gilt: Zu jeder Folge (α1 , α2 , . . .) mit αj → β existiert ein stetiger Weg
γ mit Parameterintervall [0, 1] und eine Folge (t1 , t2 , . . .) in [0, 1[ mit
(i)
γ(t) ∈ Ω für 0 ≤ t < 1
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(ii) γ(tj ) = αj
(iii) γ(1) = β (dies folgt natürlich sofort aus der Stetigkeit).
14.6 Bemerkung.
(a)
(b)
(c)
Klar: Hat Ω z.B. glatten Rand, so ist jeder Randpunkt einfach.
Ist die Bedingung erfüllt, so existiert zu jeder offenen Umgebung V von β in Ω ein T ∈ [0, 1]
derart, dass der Weg γ für T ≤ t ≤ 1 in V verläuft. Wir sehen:
Ist Ω = E \ R≥0 so ist jeder der Punkte β mit 0 ≤ β < 1 nicht einfach.
14.7 Satz. Ist Ω einfach zusammenhängend und beschränkt mit nur einfachen Randpunkten, so
hat die nach dem Riemannschen Abbildungssatz existierende biholomorphe Abbildung κ : Ω →
E eine Fortsetzung zu einer invertierbaren bistetigen Abbildung κ : Ω → E, wobei κ(∂Ω) = ∂E.
14.8 Satz. Ist Ω ⊆ C Gebiet, so sind äquivalent:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ω ist homöomorph zu E.
Ω ist einfach zusammenhängend.
C \ Ω ist zusammenhängend.
Jeder geschlossene Weg ist nullhomolog.
Für jeden (stückweise stetig differenzierbaren) geschlossenen Weg γ in Ω und jedes f ∈
H(Ω) ist
!
f (z) dz = 0.
γ
(f)
(g)
(h)
Jedes f ∈ H(Ω) hat eine Stammfunktion.
Jedes nullstellenfreie f ∈ H(Ω) hat eine holomorphe Logarithmusfunktion.
Jedes nullstellenfreie f ∈ H(Ω) hat eine holomorphe Quadratwurzel.
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