Homotope Kurven

HOMOTOPIE VON WEGEN
Sei G ein Gebiet in C. Seinen γ0,1 : [a, b] → G zwei stetige Wege mit
γ0 (a) = γ1 (a) = x und γ0 (b) = γ1 (b) = y. Eine Homotopie zwischen γ0
und γ1 ist eine stetige Abbildung h : [0, 1] × [a, b] → G, so dass für alle
s ∈ [0, 1] h(s, a) = x und h(s, b) = y gilt, und so dass h(0, t) = γ0 (t)
und h(1, t) = γ1 (t) für alle t ∈ [a, b] gilt. Die Kurven γ0 und γ1 heißen
dann homotop.
Eine Homotopie ist also eine stetige Familie von Kurven γs (t) :=
h(s, t), die alle dieselben Anfangs- und Endpunkte haben. Alle C 1
Rechteckbilder die wir konstruiert haben, liefern uns Homotopien zwischen den beiden horizontalen Randkurven, wenn vertikale Randkurven
jeweils auf einen Punkt abgebildet werden. Z.B. sind je zwei Kurven
mit gleichen Anfangs- und Endpunkten in einem konvexen Gebiet homotop.
SATZ
0.1. Seien
γ0,1 : [a, b] → G homotop. Sei f ∈ O(G). Dann gilt
R
R
f (z) dz = γ1 f (z) dz.
γ0
Beweis. Wir betrachten eine Homotopie h zwischen γ0 und γ1 und die
Kurven γs (t) := h(s, t) Nach dem letzten Lemma aus “Integration entlang stetiger Wege” und der uniformen Stetigkeit von h schlieen wir:
Für jedes s ∈ [0, 1] gibtR es ein > 0,Rso dass für jedes t ∈ [0, 1] mit
|t − s| ≤ die Gleichheit γs f (z) dz = γt f (z) dz gilt.
R
Also ist die Abbildung I : [0, 1] → C, I(s) := γs f (z) lokal konstant. Da [0, 1] zusammenhängend ist, ist die Abbildung I konstant,
insbesondere, I(0) = I(1).
Ein Gebiet G heißt einfach zusammenhängend, wenn je zwei Kurven
mit gleichen Anfangs- und Endpunkten in G homotop sind. Wir sehen:
Folgerung 0.2. Ist G einfach zusammenhängend, so ist es homologisch
trivial.
Beweis. Jede geschlossene Kurve ist nach Annahme homotop zur Punktkurve. Also verschwindet das Integral jeder holomorphien Funktion
in G entlang jeder geschlossenen Kurve in G.
Diese Folgerung kann man umkehren. In der Tat werden wir bald folgenden “Riemannschen Abbildungssatz beweisen, den man nicht hoch
genug schätzen kann:
1
SATZ 0.3. Sei G ⊂ C ein Gebiet das ungleich C ist. Dann sind
äquivalent:
(1) G ist biholomorph zu der Einheitscheibe D.
(2) G ist homöomorph zu D.
(3) G ist einfach zusammenhängend.
(4) G is homologisch trivial.
Die Folgerung (1) nach (2) ist trivial. Die Folgerung (2) nach (3) ist
auch sehr leicht und soll in einer Hausaufgabe bewiesen werden. Die
Implikation (3) nach (4) haben wir gerade bewiesen. Die Hauptlast des
Beweises liegt in der sehr erstaunlichen Implikation (3) nach (4), deren
Beweis uns längere Zeit beschäftigen wird.
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