Blatt 7

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 7
Abgabe bis Fr, 3.6., 8:15 Uhr
Aufgabe 1.
Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
(a) Eine Teilmenge Y ⊆ X ist genau dann zusammenhängend (als Teilraum), wenn
für je zwei offene Teilmengen U, V ⊆ X aus Y ⊆ U ∪ V und U ∩ V ∩ Y = ∅ bereits
Y ⊆ U oder Y ⊆ V folgt.
(b) Ist Y ⊆ X zusammenhängend, so auch der Abschluss Y ⊆ X.
Aufgabe 2.
Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
(a) Sind Y, Z ⊆ X zusammenhängend mit Y ∩ Z 6= ∅, so ist auch Y ∪ Z zusammenhängend.
(b) Die folgenden Relationen ∼ und ≈ auf X sind Äquivalenzrelationen:
x∼y
:⇔
es gibt eine zusammenhängende Teilmenge Y ⊆ X mit x, y ∈ Y,
x≈y
:⇔
es gibt einen Weg w in X von x nach y.
(c) X ist die disjunkte Vereinigung maximaler zusammenhängender Teilmengen und
die disjunkte Vereinigung maximaler wegzusammenhängender Teilmengen ist.
Aufgabe 3. Wir betrachten
Y := {(x, sin(π/x)) : 0 < x ≤ 1} und X := Y ∪ ({0} × [−1, 1]).
Zeigen Sie: (a) Y = X und (b) X ist zusammenhängend.
Aufgabe 4.
Sei X ein topologischer Raum.
(a) Sei w ein Weg in X. Wie in der Vorlesung sei w(t) = w(1 − t) und ιx (t) = x für
alle t ∈ [0, 1] und x ∈ X. Geben Sie Homotopien H und K an mit
w ∗ ιw(1) ∼H w
und w ∗ w ∼K .ιw(0)
Beschreiben Sie anschaulich, wie sich die Wege Ht und Kt mit wachsendem t
ändern.
(b) Seien v und w Wege in X, die frei homotop sind. Zeigen Sie, dass es dann Wege
u0 von v(0) nach w(0) und u1 von v(1) nach w(1) und eine Homotopie K mit
v ∗ u1 ∼K u0 ∗ w gibt. Beschreiben Sie anschaulich, wie Kt jeweils verläuft.
Zusatzaufgabe 5.
Zeigen Sie für die Räume Y und X aus Aufgabe 3:
(a) Für keine a < b gibt es eine stetige Abbildung w : [a, b] → X mit w((a, b]) ⊆ Y
und w(a) ∈ {0} × [−1, 1].
±
±
(Hinweis: Finden Sie t±
n ∈ (a, b] mit tn → a und w(tn ) → (0, ±1).)
(b) X ist nicht wegzusammenhängend.
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