Kugel - Begleitendes Lernsystem

Beispiel)
 6
 2
 −2 
 −10 
JJK  
JJK  
 


Gegeben sind die Geraden g: X =  9  + s ⋅  0  und h: X =  −3  + t ⋅  1  . Zeige, dass
 4
 − 1
 −7 
 4 
 
 
 


die Geraden windschief sind und berechne den kürzesten Abstand. Die Ebene ε enthält
die Gerade g und ist parallel zur Geraden h. Ermittle die Gleichung der Kugel s, welche
die Ebene ε im Punkt A(4|9|5) berührt und durch den Punkt P(7|9|2) geht.
[ s : ( x − 1)2 + ( y − 3) 2 + ( z + 1) 2 = 81] Stelle die Gleichung der Tangentialebene τ im Punkt
B der Kugel auf und berechne den Schnittwinkel und die Schnittgerade mit der Ebene
ε ! Zeige schließlich noch, dass die Gerade h eine Tangente der Kugel s ist!
Zeigen das die Geraden windschief sind:
Überprüfen der Richtungsvektoren:
Richtungsvektoren:
Schnittpunkt der Geraden:
g ∩ h = {S }
 2
 −10 
  = k ⋅

 0
 1 
 −1
 4 
 


k = −0, 2
2 = −10k
k =0
0=k
−1 = 4 k
k = −0, 25
 6
 2   −2 
 −10 
 
   


 9  + s ⋅  0  =  −3  + t ⋅  1 
 4
 −1  −7 
 4 
 
   


6 + 2s = −2 − 10t
9
= −3 + t
| +3
4 − s = −7 + 4t
t = 12
Die Geraden g und h sind windschief!
ε:
 2   −10   1 
K   
ε ( g ) h : n =  0  ×  1  =  2 
 −1  4   2 
  
  
Aufstellen der Ebene
1   6 
ε : x + 2 y + 2 z =  2  ⋅  9 
 2  4
   
ε : x + 2 y + 2 z = 32
6 + 18 + 8 = 32
Berechnung des Abstandes zwischen
g und h mit Hilfe der HNF:
HNF:
HNF:
x + 2 y + 2 z − 32
12 + 22 + 22
=d
6 + 2s = −2 − 10 ⋅12 | −6
2s = −128
|: 2
s = −64
4 − (−64) = −7 + 4 ⋅12
68 = 41(falsch)
Skizze:
P(−2 | −3 | −7)
−2 + 2 ⋅ (−3) + 2 ⋅ (−7) − 32
=d
12 + 2 2 + 22
d = 18 kürzester Abstand d=18
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©2006
Ersteller: Dipl. –Ing. (FH) Jörg Lammer
Version Schuljahr 2005/2006
Maturabeispiele
G-1
Aufstellen der Geraden durch den
Punkt A in Richtung der Ebene ε !
Berechnung des Mittelpunktes M1:
Berechnung der Ebene ε 1:
 4
1 
JJK  
 
n : X =  9  + t ⋅ 2
5
 2
 
 
 4   7  
1
1     
M 1 = ⋅ ( A + B ) = ⋅  9  +  9  
2
2    
 5   2  
M 1 (5,5 | 9 | 3,5)
Gerade n mit Ebene
ε1 ∩ n = { M }
x = 4+t
y = 9 + 2t
z = 5 + 2t
ε1 : x − z = 2
ε 1 schneiden:
x =1
y =3
z =1
M (1| 3 |1)
einsetzen:
4 + t − (5 + 2t ) = 2
4 − 5 − t = 2 | +1
−t = 3
t = −3
 7  4  3   1 
JJJK       3  
AB =  9  −  9  =  0  =  0 
 2   5   −3   −1 
       
 1   5, 5 
ε1 : x − z =  0  ⋅  9  5,5 − 3, 5 = 2
 −1  3,5 
   
ε1 : x − z = 2
Radius berechnen:
Aufstellen der Kugelgleichung s:
3
 
r = MA =  6  = 32 + 62 + 62 = 9
 6
 
s :( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z + 1) 2 = 81
Aufstellen der Tangentialebene
 6  2
  3  
n = MB =  6  =  2 
 3  1 
   
 2  7
2 x + 2 y + z =  2  ⋅  9 
1   2 
   
τ : 2 x + 2 y + z = 34
τ
in B:
τ
x + 2 y + 2 z = 32
2 x + 2 y + z = 34
Berechnung der Schnittgeraden zw.
ε:
τ:
und
z = t : x + 2 y = 32 − 2t 
−
2 x + 2 y = 34 − t 
14 + 18 + 2 = 34
− x = −2 − t
x = 2+t
2 + t + 2 y = 32 − 2t
2 y = 30 − 3t
y = 15 − 1,5t
ε
| ⋅(−1)
| −2 − t
|: 2
2
 1 
JJK  


X =  15  + t ⋅  −1,5 
0
 1 
 


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Maturabeispiele
G-2
Berechnung des Schnittwinkels:
h soll Tangente der Kugel s sein:
1   2 
   
 2 ⋅ 2
 2  1 
   
cos ϕ =
2
2
1 + 2 + 22 ⋅ 2 2 + 22 + 12
2+2+2
cos ϕ =
3⋅3
8
cos ϕ =
9
ϕ = 27, 26°
h ∩ s = {T } :
( x − 1)2 + ( y − 3)2 + ( z + 1)2 = 81
 −2 
 −10  x = −2 − 10t
 
X =  −3  + t ⋅  1  y = −3 + t
 −7 
 4  z = −7 + 4t
 


2
(−2 − 10t − 1) + (−3 + t − 3) 2 + (−7 + 4t + 1) 2 = 81
(−3 − 10t ) 2 + (−6 + t ) 2 + (−6 + 4t )2 = 81
9 + 60t + 100t 2 + 36 − 12t + t 2 + 36 − 48t + 16t 2 = 81
81 + 117t 2 = 81
117t 2 = 0
t=0
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T (−2 | −3 | −7)
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Maturabeispiele
G-3

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