Aufgaben zu Abstand, Spiegelung und Projektion

Aufgaben zu Abstand, Projektion und Spiegelung
⎛ 2⎞
⎛ t −1 ⎞
!
⎜
⎟
1. Gegeben ist die Menge der Geraden gt : x = 2 + s ⋅ ⎜ −1 ⎟ mit s, t ∈" und die Ebene
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2t + 3⎠
E: x1 – x2 – x3 + 4 = 0.
Bestimmen Sie aus der Menge der Geraden gt diejenige Gerade, die parallel zur Ebene E
verläuft und berechnen Sie deren Abstand zur Ebene E. (Abitur 2002 BI)
2. Der Koordinatenursprung und der Punkt A(2/2/2) liegen symmetrisch bezüglich der Ebene
F. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene F in Normalenform. (Abitur 2002 BI)
3. Gegeben ist die Ebene E: -4x1 + 12x2 – 3x3 + 12 = 0 und der Punkt A(7/-11/7).
Berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes A* von A bezüglich der Ebene E.
(Abitur 2002 BII)
4. Gegeben ist die Ebene E: x1 + x2 – x3 + 2 = 0 und die Gerade
⎛ 4⎞
⎛ 1⎞
!
⎜
⎟
g : x = −5 + s ⋅ ⎜ −5 ⎟ mit s ∈" .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ −2 ⎠
Ermitteln Sie die Gleichung der senkrechten Projektion g´ der Gerade g auf die Ebene E.
(Abitur 2003 BI)
⎛ 21 ⎞
⎛ 10 ⎞
!
⎜
⎟
5.0 Gegeben sind die Gerade h : x = 7 + s ⋅ ⎜ 4 ⎟ mit s ∈" und die
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ −21⎠
⎝ −11⎠
Ebene E: 2x1 + 3x2 – 6x3 + 7 =0. (Abitur 2005 BII)
5.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden h mit der Ebene E.
5.2 Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h*, die durch Spiegelung der Geraden h an
der Ebene E entsteht.
5.3 Bestimmen Sie je eine Gleichung für die beiden winkelhalbierenden Geraden w1 und w2
der Geraden h und h*.
⎛ −2 ⎞
⎛ −3⎞
!
6. Gegeben ist die Gerade g : x = ⎜ 2 ⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟ mit s ∈" .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ 3⎠
Bestimmen Sie den Punkt L der Geraden g, der dem Ursprung am nächsten liegt.
(Abitur 2005 BI)
7. Eine Lampe ist an einem im Punkt S befestigten Seil aufgehängt. Die Position der Lampe
kann für spezielle Lichteffekte durch Veränderung der Seillänge verändert werden.
Berechnen Sie den Abstand der Lampe von der Seitenkante OS, wenn die Lampe auf Höhe
der x1, x2-Ebene angebracht wird. Die Koordinaten der Punkte lauten: A(35/0/0),
B(35/35/0), C(0/35/0) und S(17,5/17,5/22). (Abitur 2010 BI)
8.1 Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs 0 von der durch die Punkte
A(1/-2/1) und B(1/2/3) festgelegten Geraden g.
Bestimmen Sie auch den Punkt L auf der Geraden g, der die geringste Entfernung vom
Ursprung hat. (Abitur 2011 BI)
(Teilergebnis: L(1;-0,8;1,6)
8.2 Die Punkte S1 und S2 liegen auf der Geraden g. Die Strecke [S1S2] bildet die Basis eines
gleichschenkligen Dreiecks mit dem Koordinatenursprung 0 als Spitze. Dieses Dreieck
besitzt die Flächenmaßzahl AΔ = 2 ⋅ 4, 2 .
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte S1 und S2. Runden Sie die Koordinaten der
Punkte S1 und S2 auf zwei Stellen nach dem Komma.
!!!"
(Zwischenergebnis: LS1 = 2 )
9. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes R, der durch Spiegelung des
⎛ 0,5 ⎞
⎛ 3 ⎞
!
⎜
⎟
Ursprungs 0 an der Geraden s : x = ⎜ 6 ⎟ + λ ⋅ ⎜ −1 ⎟ , λ ∈" hervorgeht.
⎜
⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎝ 0 ⎠
Lösungen
1.
g t in E einsetzen: 2 + s(t − 1) − (2 − s) − (2 + s(2t + 3)) + 4 = 0
⇒ 2 + st − s − 2 + s − 2 − 2st − 3s + 4 = 0 ⇒ −st + 3s + 2 = 0 ⇒ t = −3
Abstand von g -3 zu E ⇒ Abstand von P(2/2/2) zu E:
Abstandsformel:
-x1 + x2 + x3 − 4
−2 + 2 + 2 − 4
2
= 0 ⇒ d(P; E) =
=
3
3
3
2.
⎛ 2⎞
⎛ 1⎞
!!" !!!"
!!"
nF = OA = ⎜ 2 ⎟ ⇒ nF * = ⎜ 1⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 1⎠
⎛ 1⎞
!!!" 1 !!!"
Mittelpunkt von 0 und A bestimmen: OM = ⋅ OA = ⎜ 1⎟
⎜ ⎟
2
⎝ 1⎠
⎛ 1⎞ ⎡⎛ x1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎤
⎢
⎥
⇒ F : ⎜ 1⎟ ⋅ ⎢⎜ x 2 ⎟ − ⎜ 1⎟ ⎥ = 0 ⇒ F : x1 + x2 + x3 − 3 = 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠ ⎢⎣⎝ x 3 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎥⎦
3.
⎛ 7 ⎞
⎛ −4 ⎞
!
⎜
⎟
l : x = −11 + s ⋅ ⎜ 12 ⎟ l ∩ E = { L} ⇒ L(3 / 1 / 4)
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
⎝ −3⎠
Berechnung der Koordinaten des Spiegelpunktes A*:
⎛ 7 ⎞
⎛ −4 ⎞ ⎛ −1⎞
""""! """!
"""!
OA* = OA + 2 ⋅ AL = ⎜ −11⎟ + 2 ⋅ ⎜ 12 ⎟ = ⎜ 13⎟ ⇒ A * (−1 / 13 / 1)
⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
⎝ −3⎠ ⎝ 1 ⎠
4.
g ∩ E : 4 + s + (−5 − 5s) − (1 − 2s) + 2 = 0 ⇒ s = 0 ⇒ S(4 / −5 / 1)
Bestimme Koordinaten des Lotfußpunktes von P(3/0/3) (s = -1) auf die Ebene E:
⎛ 3⎞
⎛ 1⎞
!
1
2 2
⎜
⎟
l : x = 0 + t ⋅ ⎜ 1 ⎟ ⇒ l ∩ E = { L} ⇒ L(2 / − / 3 )
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3
3 3
⎝ 3⎠
⎝ -1⎠
⎛ 4⎞
!
⇒ g`: x = ⎜ −5 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎡⎛ 1 ⎞
⎤
⎡⎛ 2 ⎞ ⎤
⎢⎜ 2 3 ⎟
⎥
⎢⎜ -1 3 ⎟ ⎥
4
4
⎛ ⎞
⎢⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎥
⎢⎜
⎟⎥
!
2⎟ ⎜ ⎟⎥
1⎟⎥
⎢
⎢
⎜
⎟
⎜
⎜
+ s⋅ − -5 ⇒ g`: x = −5 + s ⋅ 4
⎢⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎜ 3 ⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎢⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎥
⎢⎜
1⎠
⎝
⎟⎥
⎢⎜ 3 2 ⎟
⎥
⎢⎜ 2 2 ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 3 ⎠
⎥⎦
⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎡⎛ -5 ⎞ ⎤
⎛ 4⎞
!
⎢
⎥
⇒ g`: x = ⎜ −5 ⎟ + s ⋅ ⎢⎜ 13⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢⎣⎝ 8 ⎠ ⎥⎦
⎝ 1⎠
5.1
h ∩ E : 2(21 + 10s) + 3(7 + 4s) − 6(−21 − 11s) + 7 = 0 ⇒ s = −2
⇒ S(1 / −1 / 1)
5.2
Spiegelung von P(21/7/-21) an der Ebene E:
⎛ 21 ⎞
⎛ 2⎞
!
⎜
⎟
l : x = 7 + t ⋅ ⎜ 3 ⎟ l ∩ E = { L} ⇒ L(13 / −5 / 3)
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ −21⎠
⎝ −6 ⎠
⎛ 21 ⎞
⎛ −8 ⎞ ⎛ 5 ⎞
""""! """!
""!
OP * = OP + 2 ⋅ PL = ⎜ 7 ⎟ + 2 ⋅ ⎜ −12 ⎟ = ⎜ −17 ⎟ ⇒ P * (5 / −17 / 27)
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ −21⎠
⎝ 24 ⎠ ⎝ 27 ⎠
⎡⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤
⎡⎛ 4 ⎞ ⎤
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
!
!
⎢
⎥
⎢
⎥
h* : x = ⎜ −1⎟ + s ⋅ ⎢⎜ −17 ⎟ − ⎜ −1⎟ ⎥ ⇒ h* : x = ⎜ −1⎟ + s ⋅ ⎢⎜ −16 ⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎢⎣⎝ 27 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝ 26 ⎠ ⎥⎦
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
⎡⎛ 2 ⎞ ⎤
⎛ 1⎞
!
⎢
⎥
⎜
⎟
⇒ h* : x = −1 + s ⋅ ⎢⎜ −8 ⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢⎣⎝ 13 ⎠ ⎥⎦
⎝ 1⎠
5.3
!"
!
h0 =
⎛ 10 ⎞
!!!"
1 ⎜
4 ⎟ h *0 =
⎟
237 ⎜
⎝ −11⎠
⎛ 2⎞
1 ⎜ ⎟
−8
237 ⎜ ⎟
⎝ 13 ⎠
! !!!"
!!" !"
⇒ rw1 = h 0 + h *0 =
⎛ 12 ⎞
⎛ 1⎞
⎛ 6⎞
"
1 ⎜ ⎟
−4 ⇒ w1 : x = ⎜ −1⎟ + s ⋅ ⎜ −2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
237 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
! !!!"
!!" !"
⇒ rw2 = h 0 − h *0 =
⎛ 8 ⎞
⎛ 1⎞
⎛ 2⎞
"
1 ⎜
12 ⎟ ⇒ w2 : x = ⎜ −1⎟ + s ⋅ ⎜ 3 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
237 ⎜
⎝ −24 ⎠
⎝ 1⎠
⎝ −6 ⎠
Alternative:
⎛ 13 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 12 ⎞
⎛ 6⎞
!!" !!"
!!!!"
rw1 = SL = ⎜ −5 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⇒ rw1 * = ⎜ −2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 1⎠
⎛ 2⎞
!!" !!"
rw2 = nE = ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎝ −6 ⎠
6)
Aufstellen einer Hilfsebene H, die senkrecht auf g steht und durch den Ursprung geht:
⎛ −3⎞ ⎡⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎤
⎢
⎥
H : ⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎢⎜ x2 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ ⎥ = 0 ⇒ H : −3x1 + x2 + 3x3 = 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎢⎣⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎥⎦
g ∩ H = { L} ⇒ −3(−2 − 3s) + 2 + s + 3(1 + 3s) = 0 ⇒ s = −
⎛ 5 27 14 ⎞
⇒ L⎜− /
/− ⎟
⎝ 19 19
19 ⎠
11
19
7)
Lampe ist im Diagonalenschnittpunkt D des Quadrats 0ABC angebracht
⎛ 17, 5 ⎞
! ! 1 ""!
d = 0 + ⋅ 0B = ⎜ 17, 5 ⎟ ⇒ D(17, 5 / 17, 5 / 0)
⎜
⎟
2
⎝ 0 ⎠
Berechnung des Abstandes des Punktes D zur Seitenkante OS
⇒ Hilfsebene H aufstellen, die senkrecht auf OS steht und durch D verläuft
⎛ 17, 5 ⎞ ⎡⎛ x1 ⎞ ⎛ 17, 5 ⎞ ⎤
⎢
⎥
⇒ H : ⎜ 17, 5 ⎟ # ⎢⎜ x2 ⎟ − ⎜ 17, 5 ⎟ ⎥ = 0 ⇒ H :17, 5x1 + 17, 5x2 + 22x3 − 612, 5 = 0
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ 22 ⎠ ⎢⎣⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎥⎦
H ∩ gOS
⎛ 17, 5 ⎞
!
= { L} gOS : x = λ ⋅ ⎜ 17, 5 ⎟
⎜
⎟
⎝ 22 ⎠
⇒ 17, 5 ⋅17, 5 λ + 17, 5 ⋅17, 5 λ + 22 ⋅ 22 λ − 612, 5 = 0 ⇒ λ =
1225
2193
⎛ 17, 5 ⎞ ⎛ 9, 775 ⎞
! 1225
⇒l =
⋅ ⎜ 17, 5 ⎟ = ⎜ 9, 775 ⎟
⎟ ⎜
⎟
2193 ⎜
⎝ 22 ⎠ ⎝ 12, 289 ⎠
⎛ 7, 725 ⎞
"""!
d(D;0S) = LD ⎜ 7, 725 ⎟ ≈ 230, 37 ≈ 16, 44
⎜
⎟
⎝ −12, 289 ⎠
8.1
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
!
!
⎢
⎥
gAB : x = ⎜ −2 ⎟ + s ⋅ ⎢⎜ 2 ⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎥ ⇒ gAB : x = ⎜ −2 ⎟ + s ⋅ ⎜ 4 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢⎣⎝ 3⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
⎝ 2⎠
Wähle beliebigen Punkt L auf g AB : L(1 / −2 + 4s / 1 + 2s)
1 ⎞ ⎛ 0⎞
⎛
""! "!
0L ⋅ rg = 0 ⇒ ⎜ − 2 + 4s ⎟ ⋅ ⎜ 4 ⎟ = 0 ⇒ −8 + 16s + 2 + 4s = 0 ⇒ 20s − 6 = 0 ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 + 2s ⎠ ⎝ 2 ⎠
⇒ s = 0, 3
1
⎛
⎞ ⎛ 1 ⎞
""!
⎜
⇒ 0L = −2 + 4 ⋅ 0, 3⎟ = ⎜ −0, 8 ⎟ ⇒ L(1 / −0, 8 / 1, 6)
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 1 + 2 ⋅ 0, 3 ⎠ ⎝ 1, 6 ⎠
⎛ 1 ⎞
""!
⇒ d(0; gAB ) = 0L = ⎜ −0, 8 ⎟ = 12 + (−0, 8)2 + 1, 6 2 = 4, 2
⎜
⎟
⎝ 1, 6 ⎠
8.2
!!!" !!" !!!" !!"
1 !!!!" !!" 1
AΔ = ⋅ S1S2 ⋅ 0L = ⋅ 2 ⋅ LS1 ⋅ 0L = LS1 ⋅ 0L = 2 ⋅ 4, 2
2
2
!!!"
⇒ LS1 = 2
0
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛
⎞
!!!"
S1 (1 / −2 + 4s / 1 + 2s) ⇒ LS1 = ⎜ −2 + 4s ⎟ − ⎜ −0, 8 ⎟ = ⎜ −1, 2 + 4s ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 1 + 2s ⎠ ⎝ 1, 6 ⎠ ⎝ −0, 6 + 2s ⎠
!!!"
LS1 = (−1, 2 + 4s)2 + (−0, 6 + 2s)2 = 16s 2 − 9, 6s + 1, 44 + 4s 2 − 2, 4s + 0, 36 =
= 20s 2 − 12s + 1, 8
⇒ 20s 2 − 12s + 1, 8 = 2 ⇒ 20s 2 − 12s + 1, 8 = 4 ⇒ 20s 2 − 12s − 2, 2 = 0
12 ± 144 − 4 ⋅ 20 ⋅ (−2, 2) 12 ± 320 12 ± 8 5
=
=
40
40
40
3+ 2 5
⇒ s1 =
⇒ S1 (1 / 0, 99 / 2, 49)
8
3− 2 5
s2 =
⇒ S2 (1 / −2, 59 / 0, 71)
8
⇒ s1/2 =
Alternative:
!!!!"
!!!!"
!!!" !!"
!!!" !!"
0S1 = 0L + 2 ⋅ AB 0 0S2 = 0L − 2 ⋅ AB 0

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