Lage zweier Geraden

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Lage zweier Geraden
In diesem Kapitel werden die beiden Geraden g: X = A + λ ⋅ u und h: X = B + μ ⋅ v
betrachtet, wobei A bzw. B die Aufpunkte und u bzw. v die Richtungsvektoren der
Geraden sind. Diese zwei Geraden können im Raum unterschiedliche Lagebeziehungen zueinander einnehmen.
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Parallel und identisch
Besitzen zwei Geraden an jeder Stelle den gleichen positiven Abstand, so heißen
sie zueinander parallel, in Zeichen: g P h. Hierfür lassen sich die folgenden sechs
notwendigen, im Einzelnen aber nicht hinreichenden, Kriterien finden.
WISSEN
Notwendige Kriterien für parallele Lage
1. Die beiden Richtungsvektoren u und v sind linear abhängig:
v = k ⋅ u ⇔ v − k ⋅ u = 0 für ein k ∈ 4
2. Der „Schnittwinkel“ der Geraden beträgt 0°:
⏐u v ⏐
⏐u v ⏐
cos0° = ⇔ 1 = ⇔ ⏐u⏐⋅⏐ v ⏐=⏐u v ⏐
⏐u⏐⋅⏐ v ⏐
⏐u⏐⋅⏐ v ⏐
3. Der Verbindungsvektor AB der Aufpunkte ist zu keinem der beiden Richtungs
vektoren u und v kollinear:
AB ≠ k ⋅ u und AB ≠ k ⋅ v für jedes k ∈ 4
4. Die dreireihige Determinante D aus dem Verbindungsvektor AB der Aufpunkte
und den beiden Richtungsvektoren u und v besitzt den Wert 0:
D = det(AB, u, v) = 0
Dies ist äquivalent zur Aussage, dass AB, u, v linear abhängig sind.
5. Die Geraden schneiden sich nicht, d. h., der Ansatz A + λ ⋅ u = B + μ ⋅ v führt zu
einem Widerspruch.
6. Punktprobe: A liegt nicht auf h. (Oder: B liegt nicht auf g.)
Ein hinreichendes Kriterium ist z. B. 1 und zugleich 6.
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Lage zweier Geraden
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WISSEN
Parallele Lage
Genau dann gilt g P h, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
■
■
Die beiden Richtungsvektoren von g und h sind linear abhängig.
Der Aufpunkt A von g liegt nicht auf h. (Oder: Der Aufpunkt B von h liegt nicht
auf g.)
In Einzelfällen kann es sich als geschickt erweisen, auch mithilfe der anderen Kriterien, z. B. im Sinne eines Ausschlussverfahrens, zu arbeiten.
a Welche Lage nehmen die beiden Geraden
⎛ 2 ⎞
⎛ 3 ⎞
⎛ 2⎞
⎛ −1 ⎞
g: X = ⎜⎜ 1⎟⎟ + λ ⋅ ⎜⎜ 1⎟⎟ und h: X = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ + μ ⋅ ⎜⎜ −2 ⎟⎟ ein?
⎝ 2⎠
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
⎝ −2 ⎠
Lösung:
⎛ −1⎞
⎛ 2⎞
Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig, da ⎜⎜ 1⎟⎟ = −0,5 ⋅ ⎜⎜ −2 ⎟⎟ .
⎝ −2 ⎠
⎝ 1⎠
Somit können die Geraden g und h entweder parallel zueinander liegen oder
identisch sein. Setzt man den Aufpunkt A(2 | 1 | 2) von g in h ein (Punktprobe), so erhält man die Gleichung
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞
⎛ 2⎞
⎜ 1 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ + μ ⋅ ⎜ −2 ⎟ ,
⎜ 2 ⎟ ⎜ 1⎟
⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
deren zugehöriges Gleichungssystem
einen Widerspruch für μ liefert:
(I) 2 = 3 + μ ⋅ 2
⇒ μ = −0,5
(II) 1 = −2 + μ ⋅ ( −2) ⇒ μ = −1,5
(III) 2 = 1 + μ ⋅ ( −2)
x3
g
h
x1
x2
Damit haben g und h keinen Punkt gemeinsam und müssen folglich zueinander
parallel liegen.
⎛ 2 ⎞
⎛ 3 ⎞
⎛ 2⎞
⎛ 3⎞
b Sind die Geraden g: X = ⎜⎜ −1⎟⎟ + λ ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ und h: X = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + μ ⋅ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ zueinander
⎝ 3⎠
⎝ 1⎠
⎝ −2 ⎠
⎝ 4⎠
parallel? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Lösung:
Die beiden Geraden sind nicht zueinander parallel. Für die Begründung
reicht es, eines der obigen sechs Kriterien zu einem Widerspruch zu führen.
Hier soll gezeigt werden, dass dies für mehrere Merkmale zutrifft.
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