Abitour AnaGeo Gk - Gymnasium Odenkirchen

Abi–Tour Analytische Geometrie Grundkurs
Abürzungen: PF / NF / KF = Normalen–/ Koordinaten-/ Normalenform
SV / RV /NV =Stütz–/Richtungs–/Normalenvektor; SP/KP = Skalar–/Kreuzprodukt
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Welche Lagebeziehung zwischen zwei Geraden gibt es ?
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E in Parameterform im IR3.
Wie untersucht man sie auf Schnittpunkte?
Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P. Wie bildet man eine Normalenform der
Ebene, die senkrecht zu g durch P verläuft?
Wie bestimmt man die Länge eines Vektors?
Wie zeigt man mithilfe von Vektoren, dass ein Viereck ABCD ein Quadrat ist?
Wie zeigt man, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen?
Wie zeigt man, dass ein Punkt P im Parallelogramm ABCD liegt?
Wie zeigt man, dass drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen?
Wie zeigt man, dass vier A, B, C und D Punkte in einer Ebene liegen?
Wie zeigt man, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene steht,
die in Parameterform gegeben ist (ohne eine KF zu berechnen)?
Wie zeigt man, dass ein ebenes Viereck ABCD ein Drachenviereck ist?
Wie zeigt man, dass ein Viereck ABCD ein Parallelogramm ist?
Wo schneidet E: 2x1 –4x2 +x3 = 6 die Koordinatenachsen?
Wie bestimmt man das Volumen einer quadratischen Pyramide?
Wie stellt man mit Hilfe der Parameterform einer Ebene eine Normalenform dieser
Ebene auf?
Wie prüft man, ob ein Dreieck ABC gleichschenklig /gleichseitig /rechtwinklig ist?
Die Geraden g und h beschreiben die Flugbahnen zweier Flugzeuge.
Wie untersucht man die Möglichkeit einer (Beinahe-)Kollision?
Wie bestimmt man den Mittelpunkt einer Strecke?
Wie zeigt man, dass zwei Geraden g und h identisch sind?
Wie überprüft man die Lagebeziehung zweier Ebenen in Koordinatenform?
Wie überprüft man ob eine Pyramide gerade ist?
Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Ebene mit der y-Achse?
Gegeben sei eine Pyramide ABCS mit Volumen V.
Wo liegen alle Punkte S’ die mit ABC das gleiche Volumen V haben?
Beschreibe die Lage der Ebene x=2.
Wie spiegelt man einen Punkt P an einer Ebene F?
Ermittle eine PF der Geraden y = 2x +1
10
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Stelle g: x
in der Form y=mx+n dar.
2
2
Welche besondere Lage hat die Ebene E mit der Gleichung x1–x2 = 0?
Wie weist man nach, dass zwei Geraden windschief zueinander verlaufen?
Spiegele den Punkt P(1|2|3) an der Ebene y=5
A(1|2|3); B(–1|2|4); Berechne OA OB
Wie lang ist der Vektor mit den Koordinaten 8, –4 und 1?
A(1|2|3); n  OA ; Ermittle eine KF der Ebene mit NV n durch P(4|0|–1)
Gib den Ansatz für eine PF der Ebene durch P, Q und R an.
Gib einen Normalenvektor für die Ebene z=0 an.
Wann sind zwei Geraden parallel?
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Abi–Tour Analytische Geometrie Grundkurs Lösungen I
Schnitt, windschief, echt parallel oder identisch
Ebene und Gerade gleichsetzen (ggf. Parameter ändern!): p  r  u  s  v  q  t  w
LGS aus den drei Koordinatengleichungen lösen und die Lösung für t in g einsetzen.
Man benutzt den RV der Geraden als NV und berechnet E: n x n OP .
Man zieht die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten:
v
AB
5.
v12
v 22
3
v 32 im IR bzw. v
v12
DC  Parallelogramm; zudem AB AD
zudem AB
v 22 im IR
2
0  Rechteck;
AD  Quadrat
6.
Das Skalarprodukt der Vektoren muss den Wert 0 haben.
7.
Man macht die Punktprobe OP OA r AB s AD ; Wenn sich für r und s Werte
jeweils zwischen 0 und 1 ergeben, liegt P im Parallelogramm, sonst nicht.
8.
AB und AC (oder AB und BC ) und müssen kollinear sein.
Man bildet aus A, B und C eine Ebenengleichung und macht die Punktprobe für D:
9.
OD  OA  r  AB  s  AC .
Man zeigt, dass das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden mit
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jedem der beiden Richtungsvektoren der Ebene den Wert 0 hat.
11.
Es muss gelten AB = AD und CD = CB oder BA = BC und DA = DC
(Zwei Paare gleich langer, nebeneinander liegender Seiten.)
12. Man zeigt entweder, dass AB = DC gilt oder dass AD = BC gilt. (Nicht Beides!)
13. Sx(3|0|0), Sy(0|–1,5|0) und Sz(0|0|6)
1
14. V= ·G·h, wobei G die Fläche des Quadrats und h die Pyramidenhöhe ist.
3
15. E: n x c ; einen NV n erhält man als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren; c ergibt
sich als SP des NV mit dem SV der Ebene.
Man bildet die drei Seitenvektoren des Dreiecks und zeigt, dass zwei (gleichsch.) /alle
16. drei (gleichseitig) gleich lang sind. Falls das SP zweier Seitenvektoren 0 ist, liegt ein
rechtwinkliges Dreieck vor.
Man untersucht die Lage der Geraden zueinander. Bei sich schneidenden Geraden
17.
vergleicht man, ob die Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt den Schnittpunkt erreichen.
1
(OA OB)
18. Man bildet jeweils das arithmetische Mittel der Koordinaten: OMAB
2
Man zeigt, dass die Richtungsvektoren kollinear sind und dass der SV der einen
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Geraden die Gleichung der anderen Geraden erfüllt.
Wenn die Ebenengleichungen äquivalent sind, sind die Ebenen identisch.
20. Sind nur die NV kollinear, sind die Ebenen echt parallel.
Ansonsten schneiden sie sich in einer Schnittgeraden.
Ist S die Pyramidenspitze und M der Mittelpunkt der Grundfläche, so muss
21.
MS ein NV der Ebene sein, in der die Grundfläche liegt.
22. Man setzt in der Koordinatenform x=z=0 und berechnet y.
Da die Grundfläche gleich bleibt, ändert sich das Volumen nicht, wenn auch die Höhe
23. gleich bleibt. Dies ist für alle Spitzen der Fall, die auf den beiden Ebenen parallel zu
ABC durch S und S’ liegen, wobei S’ das Spiegelbild von S an der Ebene EABC ist.
24. Ebene parallel zur yz–Ebene durch x=2 auf der x–Achse.
Man berechnet zunächst den Schnittpunkt F der Lotgeraden mit der Ebene und
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berechnet dann den Spiegelpunkt P‘ mit OP' OP 2 PF oder OP' OF PF .
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Abi–Tour Analytische Geometrie Grundkurs Lösungen II
0
1
x
t
1
2
2
2
m= ; x=0  = –2  P(0|–2)  n= –2; y = 5 x – 2
5
Die Ebene verläuft parallel zur z–Achse/senkrecht zur xy–Ebene, (durch den
Ursprung,) durch die 1. Winkelhalbierende der xy–Ebene.
Die Geraden sind nicht parallel (RV nicht kollinear) und es
gibt keinen Schnittpunkt.
P’(1|8|3)
1·(–1)+2·2+3·4 =15
82
42
12
34. x+2y+3z = 1
35. x OP r PQ
0
36.
81
9
s PR
0
1
37. Wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind.

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