Lösung zu Aufgabe 1 der Probeklausur

Lösung zu Aufgabe 1 der Probeklausur
Lösung zu Aufgabe 1
a) Formulieren Sie die Axiome der Inzidenz und das Parallelenaxiom.
(I1) Zu je zwei Punkten gibt es genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält.
(I2) Jede Gerade enthält mindestens zwei Punkte. Die Ebene enthält mindestens
drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. 1 Punkt
(P) Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser liegt, gibt es höchstens
eine Gerade durch diesen Punkt, die parallel zur ersten Gerade ist. 1 Punkt
b) Wie bestimmt man zu zwei gegebenen Punkten A und B in der Poincaré-Halbebene
die Gerade, die diese enthält?
Die Punkte A und B haben die kartesischen Koordinaten (a1 , a2 ) bzw. (b1 , b2 ).
1.Fall a1 = b1 Dann ist die Gerade gegeben durch `a1 = {(x, y) ∈ R2 | x = a1 =
b1 , y > 0} 3 A, B. 1 Punkt
2.Fall a1 6= b1 . In diesem Fall ist die EUKLIDISCHE Verbindungsgerade von A und
B nicht senkrecht zur x-Achse. Folglich schneidet die EUKLIDISCHE Mittelsenkrechte der EUKLIDISCHEN Strecke AB die x-Achse. Den Schnittpunkt nennen wir
M . Die Gerade durch A und B ist nun der EUKLIDISCHE Halbkreis um M mit
EULIDISCHEM Radius |AM |, `M,|AB| . Dieser Halbkreis enthält auch B, weil M
auf der EUKLIDISCHEN Mittelsenkrechten von AB liegt und somit von A und B
denselben EUKLIDISCHEN Abstand hat. 1 Punkt
Die Fallunterscheidung ist vollständig.
c) Beweisen Sie, dass die von Ihnen angegebene Gerade die richtige und einzige ist.
zum 1.Fall: `a1 ist eine Gerade der Poincaré-Halbebene, die A und B per Definition
enthält. Geraden `a mit a 6= a1 enthalten A, B per Definition nicht. Da auf Halbkreisen zu einer gegebenen x-Koordinate maximal ein Punkt mit dieser x-Koordinate
liegt, kann es keine Gerade vom Typ `b,r geben, die A und B enthält.
Somit ist `a1 die richtige und einzige Gerade, die A, B enthält. 1 Punkt
zum 2.Fall: Es wurde schon unter b) gezeigt, dass A, B ∈ `M,|AB| gilt. 1 Punkt
Da a1 6= b1 ist, kann keine Gerade vom Typ `a die Punkte A, B zugleich enthalten.
Der Mittelpunkt eines EUKLIDISCHEN Halbkreises durch A und B muss auf der
EUKLIDISCHEN Mittelsenkrechten der EUKLIDISCHEN Strecke AB liegen, da
er von A und B denselben EUKLIDISCHEN Abstand hat. Damit dieser Halbkreis
eine Gerade in der Pointcaré-Halbebene ist, muss der Mittelpunkt zusätzlich auf der
x-Achse liegen. Somit ist genau `M,|AB| die gesuchte Gerade und keine weitere. 1
Punkt
d) Zeigen Sie, dass die Pointcaré-Halbebene mit den dort definierten Geraden die Inzidenzaxiome erfüllt.
(I1) wurde in b) und c) gezeigt.
1
`a 3 (a, 1), (a, 2) für alle a ∈ R.
√
√
√
√
`b,r 3 (b + 12 2r, 21 2r), (b − 12 2r, 12 2r) für alle b ∈ R, r ∈ R+ .
Folglich enthalten alle Geraden mindestens zwei verschiedene Punkte. 1 Punkt
Weiter gilt (0,1), (0,2), (1,1) sind drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen
Geraden liegen. Denn die (0,1) und (0,2) liegen auf `0 und diese enthält nicht (1,1).
1 Punkt
Damit ist auch (I2) erfüllt.
e) Erfüllt sie das Parallelenaxiom? Begründen Sie Ihre Antwort.
Die Geraden `0 , `2 sind parallel und `2 3 (2, 1). Die Geraden `0 , `2,1 sind parallel und
`2,1 3 (2, 1).
Also gibt es mehr als eine Parallele zu `0 durch den Punkt (2,1).
Damit ist das Parallelenaxiom nicht erfüllt. 1 Punkt
2

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