Geraden und Ebenen
Geraden und Ebenen
Definition 5.6 (Parallelität, Orthogonalität, Windschiefe von Geraden)
1
2
Zwei Geraden in Rn sind parallel (orthogonal), wenn ihre
Richtungsvektoren l.a. (orthogonal zueinander) sind.
Zwei Geraden in Rn sind zueinander windschief, wenn sie nicht
parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Beispiele: vgl. Vorlesung bzw. später nach Definition 5.13
Satz 5.7
In R2 gibt es keine windschiefe Geraden, d.h. in R2 sind Geraden entweder
parallel oder sie schneiden sich.
~ kann irgendeine
u~0 kann irgendeinen Punkt auf E bezeichnen und mit ~v , w
Basis der Richtung die Richtungsvektoren liefern. Die Richtung selbst ist
wieder eindeutig zu E bestimmt. Animation
Bemerkung: Daraus folgt natürlich: Liegen 2 Geraden in R3 in einer
Ebene, so sind sie entweder parallel oder sie schneiden sich.
~ ).
E ist (2-dim.) UVR von Rn , wenn ~0 2 E ,d.h. E = sp(~v , w
Beweis: Die impliziten Gleichungen ax + by = c und ãx + b̃y = c̃ für die
beiden Geraden formen ein LGS, dessen Lösung die Schnittpunkte der
Geraden sind.
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In E liegen die beiden sich in u~0 schneidenden Geraden g : u~ = u~0 + ~v
und h : u~ = u~0 + µ~
w . Man kann also Ebenen durch zwei sich schneidende
Geraden beschreiben. Aus den PDen der Geraden kann sofort die PD der
Ebene als E : u~ = u~0 + ~v + µ~
w (zurück) gewonnen werden.
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◆
a b
Hat die Koe↵matrix
Maximalrang 2, so ist das LGS lösbar, d.h.
ã b̃
es gibt einen Schnitt, hat es Rang 1, so sind die die Normalenvektoren
(a, b) und (ã, b̃) der beiden Geraden l.a., also auch die senkrecht auf ihnen
stehenden Richtungsvektoren l.a., d.h. die Geraden parallel.
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Geraden und Ebenen
Satz 5.9
Zwei Geraden oder Ebenen sind gleich, wenn sie einen Punkt gemeinsam
haben und ihre Richtungen übereinstimmen.
Definition 5.8 (Ebene)
~ 2 Rn mit l.u. ~v , w
~ gibt mit
E ⇢ Rn heißt Ebene, wenn es u~0 , ~v , w
E = {~
u 2 Rn | u~ = u~0 + ~v + µ~
w,
, µ 2 R}.
u~ = u~0 + ~v + µ~
w , , µ 2 R heißt eine Parameterdarstellung (PD) von E .
~ ) heißt Richtung von E , die Vektoren ~v , w
~ Richtungsvektoren. , µ
sp(~v , w
heißen Parameter.
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Ein Beispiel in den Übungen bzw. später.
Ebenen können auch als Verbindungsebenen dreier Punkte (welche nicht
auf einer Geraden liegen), charakterisiert werden.
~ sind nicht eindeutig zu E bestimmt.
Klar: u~0 , ~v , w
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Hat man also zwei Ebenen-PD, so muss man zum Beweis der
Ebenengleichheit zeigen, dass es einen Punkt gibt, der in beide PDen passt
und sodann noch verifizieren, dass die Richtung einer der Ebenen in der
Richtung der anderen Ebene enthalten ist (woraus wegen der
Dim.gleichheit der Richtungen schon die Richtungsgleichheit folgt).
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Definition und Satz 5.10 (Verbindungsebene)
2
Zu drei verschiedenen Punkten ~a, ~b, ~c 2
die nicht auf einer Geraden
~
liegen (d.h. b ~a, ~c ~a l.u.) gibt es genau eine Ebene E mit ~a, ~b, ~c 2 E
(Verbindungsebene von ~a, ~b, ~c ):
u~ = ~a + (~b ~a) + µ(~c ~a),
, µ 2 R.
Rn ,
3
Multipliziert man eine implizite Darstellung einer Ebene E ⇢ R3 mit
6= 0, so ergibt sich eine andere implizite Darstellung von E .
Umgekehrt unterscheiden sich zwei implizite Darstellungen von E nur
um einen Faktor 6= 0.
Eine implizite Darstellung ax + by + cz = d einer Ebene E ⇢ R3 mit
|(a, b, c)> | = 1 heißt Hessesche Normalform (HNF) von E .
n~ := (a, b, c)> heißt dann Einheitsnormalenvektor von E .
Notation der HNF oft mit u~ := (x, y , z)> in der Form
h~
u , n~i = d.
Eine implizite Darstellung ↵x + y + z = kann durch Normierung
(= Division durch |(↵, , )|) in HNF gebracht werden.
Für eine HNF ax + by + cz = d gilt
Beweis: Dass die angegebene Ebene es tut, ist klar. Dass sie die einzige
ist, kann man per Theorie der LGSe zeigen.
|d| = min{|(x, y , z)> | | (x, y , z)> 2 E } =: dist(0, E ).
Aufgaben
1) Beschreiben die PDen E : u~ = (1, 0, 0)> + (1, 1, 0)> + µ(0, 1, 0)>
und F : u~ = ( 2, 0, 0)> + µ(4, 2, 0)> die gleichen Ebenen?
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Das Minimum wird angenommen in d · n~ 2 E . Also ist |d| der
Abstand dist(0, E ) der Ebene E zum Nullpunkt.
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Definition und Satz 5.11 (Implizite Darstellung, HNF für Ebenen in R3 )
(x, y , z) 2 E ,
>
>
ax + by + cz = d , h(x, y , z) , (a, b, c) i = d.
Dabei ist (a, b, c)> orthogonal (=: normal) zu jedem Vektor der
Richtung von E und heißt deshalb Normalenvektor von E . Die
(lineare) Gleichung heißt implizite Darstellung (ID) von E .
1
Rezept: PD ! ID
Ist u~ = u~0 + ~v + µ~
w , µ 2 R PD von E , so bilde Skalarprodukt mit
~ orthogonalem Vektor n~. Diesen sieht man oder man setzt
zu ~v , w
~ . Dann
n~ := ~v ⇥ w
h~
u , n~i = hu~0 , n~i + h ~v + µ~
w , n~i .
|
{z
}
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=0
Mit u~ = (x, y , z)> , n~ = (a, b, c)> , hu~0 , n~i =: d ergibt sich
ax + by + cz = d.
Hierbei auch gezeigt: Der aus den gewählten Zahlen a, b, c gebildete
Vektor (a, b, c)> ist orthogonal zu allen Richtungsvektor von E .
Vorsicht: Eine lineare Gleichung wie x + y = 1 kann eine Gerade in
R2 oder eine Ebene in R3 beschreiben, je nachdem, ob man dadurch
eine Menge in R2 oder R3 bezeichnet.
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Beweis: Analog Geradenfall, daher werden 2) und 3) nicht ausgeführt.
Zu einer Ebene E ⇢ R3 gibt es a, b, c, d 2 R, (a, b, c) 6= (0, 0, 0) mit
>
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2) Beschreibe die Ebene, die A = (3, 1, 2), B = (2, 1, 0), C = (0, 0, 1)
enthält.
3) Parametrisiere das Parallelogramm mit den drei Ecken A, B, C (aus 2)
und D als A gegenüberliegender Ecke.
1
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Rezept: ID ! PD
Betrachte implizite Gl. als LGS in x, y , z, führe für zwei Unbekannte
einen Parameter ein und löse nach dritter Unbekannten auf. . . .
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0 1
0 1
0 1
1
1
0
@
A
@
A
@
2 + µ 1 A , , µ 2 R, hat
Beispiel: Die Ebene E : u~ = 0 +
2
0
1
0 1
2
o↵ensichtlich als einen Normalenvektor n~ = @ 1 A. Es ist
1
* 0 1 1 0 2 1+
hu~0 , n~i = @ 0 A , @ 1 A = 4. Damit lautet eine implizite Darstellung
2
1
* 0 2 1+
u~, @ 1 A = 4
1
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2
Beispiele:
E:
z=
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2 R, ist orthogonal zu
Auch Winkelmessungen sind bei Geraden/Ebenen möglich:
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Definition 5.14 (Schnittwinkel zw. Geraden/Ebenen)
Ist h~
u , n~i = d HNF einer Ebene E in R3 und p~ ein Punkt in R3 , dann
gilt für den Abstand dist(~
p , E ) zwischen E und p~:
dist(~
p , E ) = |d
h~
p , n~i|.
1
Ist ↵ der Winkel zwischen den Richtungsvektoren zweier sich
schneidender Geraden g und h in Rn , so bezeichnet
:= min(↵, ⇡ ↵) den Schnittwinkel zwischen g und h.
2
Ist ↵ der Winkel zwischen den Normalenvektoren zweier sich
schneidender Ebenen E und F in R3 , so bezeichnet
:= min(↵, ⇡ ↵) den Schnittwinkel zwischen E und F .
3
Ist ↵ der Winkel zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden g und
dem Normalenvektor einer Ebene E in R3 , so bezeichnet := | ⇡2 ↵|
den Schnittwinkel zwischen g und E .
Beweis: Absolut analog zum Beweis von Satz 5.5.
In allg. Form ein bereits in 5.6 für Geraden angesprochenes Thema . . .
Definition 5.13 (Parallelität, Orthogonalität von Ebenen/Geraden)
Geraden und Ebenen in Rn heißen parallel, wenn ihre Richtungen
gleich sind.
Geraden in Rn heißen orthogonal, wenn der Richtungsvektor der einen
Gerade orthogonal zum Richtungsvektor der anderen ist.
Ebenen in R3 heißen orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren
orthogonal sind. Parallelität von Ebenen bedeutet in R3 auch, dass
die Normalenvektoren l.a. sind.
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6z = 1 sind parallel.
Die Gerade h : u~ = (1, 0, 3) + ( 1, 1, 2),
obigem E , denn ( 1, 1, 2), ( 2, 2, 4) l.a.
Satz 5.12
1
3y
Die Gerade g : u~ = (1, 0, 3) + (1, 2, 0), 2 R, ist parallel zu obigem
G , denn (1, 2, 0) 2 sp((0, 1, 0), (1, 0, 0)).
4
Eine HNF erreicht
p man, wenn man diese Gleichung durch
|( 2, 1, 1)| = 6 dividiert.
2x + 2y + 4z = 6 und F : 3x
G : u~ = (1, 0, 1) + (0, 1, 0) + µ(1, 0, 0), , µ 2 R und
H : u~ = (0, 0, 2) + (1, 1, 0) + µ(2, 0, 0), , µ 2 R sind parallel,
denn es gilt sp((0, 1, 0), (1, 0, 0)) = sp((1, 1, 0), (2, 0, 0)).
bzw.
2x + y
Eine Gerade g in Rn heißt parallel (orthogonal) zu einer Ebene E in
Rn , wenn die Richtung von g enthalten in der Richtung (orthogonal
zur Richtung, d.h. allen Richtungsvektoren) von E ist.
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Beispiele:
Winkel zw. g : u~ = (1, 0) + (1, 1) und h : u~ = (1, 2) + (0, 1):
Berechne Winkel ↵ zwischen (1, 1) und (0, 1): cos(↵) = p12 . Damit
↵ = 3⇡
4 . Bei Wahl des Richtungsvektors (0, 1) für h hätte sich
ergeben. Nun = min(↵, ⇡ ↵) = ⇡4 .
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⇡
4
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Unter welchem Winkel schneidet g : u~ = (1, 0, 0) + (0, 0, 5) die
xy -Ebene?
Diese hat den Normalenvektor (0, 0, 1). Der Winkel zwischen
(0, 0, 5) und (0, 0, 1) ist ⇡. Der Schnittwinkel zwischen Gerade und
Ebene ist daher ein rechter: | ⇡2 ⇡| = ⇡2 .
SATZ 5.15 IST NICHT PRÜFUNGSRELEVANT IM WS 15/16
Satz 5.15 (Abstandsmessung zwischen Punkten, Geraden, Ebenen in R3 )
1
Der Abstand zwischen einem Punkt p~ und einer Geraden
g : u~ = u~0 + ~v , 2 R, in R3 ist
dist(~
p, g ) =
2
|(~
p
u~0 ) ⇥ ~v |
.
|~v |
Ist eine Gerade g oder Ebene G in R3 parallel zu einer Geraden h
oder Ebene H in R3 , so hat jeder Punkt auf g bzw. G den gleichen
Abstand zu h bzw. H. Ermittle Abstand dann mit 1. bzw. Satz 5.12.
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3
Sind die Geraden g : u~ = u~0 + ~v , 2 R und h : u~ = ~ũ0 + µ~ṽ , µ 2 R
in R3 windschief, dann gilt für ihren Abstand:
dist(g , h) =
|hu~0
u~˜0 , ~v ⇥ ~ṽ i|
.
|~v ⇥ ~ṽ |
Beweis:
Zu 1) Idee per Bild in der Vorlesung (falls Thema behandelt wird).
Zu 2) Exemplarisch für den Fall Ebene-Ebene. Alle anderen Fälle analog.
Sei u~ = u~0 + ~v + µ~
w PD von G und h~
u , n~i = d HNF von E . Sind G und
E parallel, dann n~?~v , n~?~
w . Für ein beliebiges u~ = u~0 + ~v + µ~
w 2 G gilt
dist(~
u , E ) = |h~
u0 + ~v + µ~
w , n~i
d| = |h~
u0 , n~i
d|.
Das ist parameterunabhängig. Damit hat jeder Punkt in G den gleichen
Abstand von E .
Zu 3) Idee per Bild in der Vorlesung (falls Thema behandelt wird).
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