Höhere Mathematik 3: Stochastik WS15/16 Prof. Dr. I. Veselić Übungsblatt 3 1. Ein Betrieb stellt zwei gleichartige Computertypen her, die sich im Hinblick auf ihre Zuverlässigkeit unterscheiden. Ein Computer vom Typ I übersteht mit der Wahrscheinlichkeit 0.95 die Garantiezeit ohne Reparatur, ein Computer des Typs II nur mit Wahrscheinlichkeit 0.8. Auf den Typ I entfallen 30% der Gesamtproduktion. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein beliebig ausgewählter Computer die Garantiezeit ohne Reparatur übersteht? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein während der Garantiezeit reklamierter Computer vom Typ I? 2. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem medizinischen Test bei Vorliegen einer bestimmten Erkrankung einen Hinweis auf diese Krankheit zu erhalten (Sensitivität des Tests), betrage 0.95. Die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Test eine gesunde Person als nicht infiziert einzustufen (Spezifität des Tests), betrage 0.98. Aus einer Bevölkerungsgruppe mit einem bekannten Anteil von 0.1% infizierter Personen (Prävalenz) werde eine zufällig ausgewählte Person getestet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem positiven Testergebnis die untersuchte Person tatsächlich infiziert ist (positiver prädikativer Wert)! 3. Ein Motor springe bei jedem Startversuch mit Wahrscheinlichkeit p an. Die einzelnen Startversuche seien unabhängig voneinander. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (a) der Motor erst beim zweiten Starten anspringt, (b) der Motor beim zweiten Starten anspringt, wenn er beim ersten Startversuch nicht angesprungen ist, (c) der Motor nicht mehr als zweimal gestartet werden muss, bis er anspringt. 4. Eine stolze Mutter hat zwei Kinder. (a) Sie antwortet auf die Frage, ob eines ihrer Kinder ein Junge ist, mit „Ja.“. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Mutter zwei Söhne hat. (b) Die Frage, ob sie einen Sohn hat, der ein Sonntagskind ist, beantwortet sie ebenfalls „Ja.“. Berechnen Sie erneut die Wahrscheinlichkeit, dass die Mutter zwei Söhne hat. 5. Für die Ereignisse A, B und C seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P (A) = 0.2, P (B) = 0.6, P (A \ B) = 0.08, P (A ∩ C) = 0.1, P (B ∩ C) = 0.3, P (A ∩ B ∩ C) = 0.06. (a) Entscheiden Sie, ob die Ereignisse A und B unabhängig sind. (b) Wie groß muss P (C) sein, damit A ∩ B und C unabhängig sind? (c) Sind mit dieser Wahl für P (C) die drei Ereignisse A, B, C unabhängig? (d) Das Ereignis D sei mit C unvereinbar. Wie groß muss P (D) sein, damit C und D unabhängig sind? 6. Bei der Stochastikklausur 2010 haben 54.5% aller Teilnehmer bestanden. Von denen, die bestanden haben, haben 46.6% die Note ausreichend, 45.9% befriedigend und 7.5% gut erreicht. Die Anteile der Maschinenbaustudenten an den Noten waren Note Anteil Maschinenbau 2 3 4 5 70% 47.5% 51.6% 57.7% (a) Wie groß war der Anteil der Maschinenbaustudenten an den Teilnehmern der Klausur? (b) Wie groß war der Anteil der Maschinenbauer, die bestanden haben? (c) Wie groß war der Anteil der Maschinenbauer, die Noten 2, 3, 4 erreicht haben? 7. Herr S. greift jeden Morgen in seine Sockenkiste und zieht zufällig zwei Socken heraus. Wenn er zwei nicht zueinander passende Socken erwischt, wird er auf dem Weg zum Mittagessen aussgelacht, ansonsten nicht. Am Wochenende wäscht er seine Wäsche, so dass jeweils am Montag vierzehn blaue und vierzehn graue einzelne Socken in der Sockenkiste sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Montag bis Freitag ausgelacht wird?