Mathematisches Argumentieren und Beweisen ¨Ubersicht über den

Mathematisches Argumentieren
und Beweisen
Übersicht über den Vorlesungsinhalt
Hagen Knaf
Studiengang Angewandte Mathematik
Hochschule RheinMain
3. Januar 2016
1. Einführung
• Allgemeines zum Inhalt und den Zielen der Vorlesung.
• Präsentation
Weshalb mathematisches Beweisen lernen? .
(siehe Weshalb Beweise.pdf)
2. Mathematik lesen
2.1 Die Sprache der Mathematik
• Umgangs- und Fachsprache.
• Formulierung von mathematischen Inhalten mittels Text und mittels
Formeln.
• Wiederholung grundlegender Begriffe wie Menge, Relation, Abbildung
etc.
• Häufig verwendete mathematische Symbole.
• Präsentation
Bemerkungen zur mathematischen Sprache
(siehe MathSprache.pdf)
2.2 Hinweise zum Lesen von Mathematik
• Präsentation
Hinweise zum Lesen mathematischer Texte
(siehe Lesen.pdf)
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2.3 Definition – Satz – Beweis
3. Logik
3.1 Mathematische Aussagen
• Arbeitsdefinition für die Begriffe Aussage und mathematische Aussage.
• Beispiele.
3.2 Logische Operationen mit Aussagen
• Wahrheitswerte und Wahrheitstabellen.
• Die Negation ¬A einer Aussage A.
• Die Konjunktion A ∧ B zweier Aussagen A und B.
• Die Disjunktion A ∨ B zweier Aussagen A und B.
• Kombination logischer Operationen.
• Äquivalenz von Aussageformen.
• Logische
Rechenregeln.
• Dame-oder-Tiger-Beispiele.
• Die Implikation A ⇒ B.
• Negation, Inversion und Kontraposition von Implikationen.
• Notwendige und hinreichende Bedingungen.
• Die Äquivalenz A ⇔ B.
3.3 Quantoren
• Existenzaussagen und der Quantor ∃.
• Der Zusammenhang zwischen ∃ und ∨.
• Allaussagen und der Quantor ∀.
• Der Zusammenhang zwischen ∀ und ∧.
• Negation von Existenz- und Allaussagen.
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4. Mathematische Beweise
4.1 Was ist ein mathematischer Beweis?
• Arbeitsdefinition für den Beweisbegriff.
4.2 Der Beweisprozess
• Versuch den kreativen Prozess des Findens und Formulierens eines
Beweises etwas zu strukturieren.
• Abstraktion aus einem Anwendungskontext.
• Aufstellen einer mathematischen Behauptung.
• Finden eines Beweises: Spiel mit Beispielen, Verbindung zu bereits als
richtig bekannten Aussagen.
• Fließender Übergang zur Formulierung eines Beweises.
• Bei Erfolg:
prüfen, ...
Aufräumen, Beweisschritte ordnen, Voraussetzungen
• Aufschreiben der finalen Version des Beweises.
• Detaillierte Diskussion des Beispielproblems Wieviele 0en besitzt die
Zahl 100! am Ende?
4.3 Beweisarten
• Direkter Beweis.
• Fallunterscheidungen.
• Konstruktiver und strikt konstruktiver Beweis.
• Beweis durch Kontraposition.
• Widerspruchsbeweis.
• Vollständige Induktion.
• Beispiele für die verschiedenen Beweisarten.
4.4 Beweiswerkzeuge
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