Mathematisches Argumentieren und Beweisen Übersicht über den Vorlesungsinhalt Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 3. Januar 2016 1. Einführung • Allgemeines zum Inhalt und den Zielen der Vorlesung. • Präsentation Weshalb mathematisches Beweisen lernen? . (siehe Weshalb Beweise.pdf) 2. Mathematik lesen 2.1 Die Sprache der Mathematik • Umgangs- und Fachsprache. • Formulierung von mathematischen Inhalten mittels Text und mittels Formeln. • Wiederholung grundlegender Begriffe wie Menge, Relation, Abbildung etc. • Häufig verwendete mathematische Symbole. • Präsentation Bemerkungen zur mathematischen Sprache (siehe MathSprache.pdf) 2.2 Hinweise zum Lesen von Mathematik • Präsentation Hinweise zum Lesen mathematischer Texte (siehe Lesen.pdf) 1 2.3 Definition – Satz – Beweis 3. Logik 3.1 Mathematische Aussagen • Arbeitsdefinition für die Begriffe Aussage und mathematische Aussage. • Beispiele. 3.2 Logische Operationen mit Aussagen • Wahrheitswerte und Wahrheitstabellen. • Die Negation ¬A einer Aussage A. • Die Konjunktion A ∧ B zweier Aussagen A und B. • Die Disjunktion A ∨ B zweier Aussagen A und B. • Kombination logischer Operationen. • Äquivalenz von Aussageformen. • Logische Rechenregeln. • Dame-oder-Tiger-Beispiele. • Die Implikation A ⇒ B. • Negation, Inversion und Kontraposition von Implikationen. • Notwendige und hinreichende Bedingungen. • Die Äquivalenz A ⇔ B. 3.3 Quantoren • Existenzaussagen und der Quantor ∃. • Der Zusammenhang zwischen ∃ und ∨. • Allaussagen und der Quantor ∀. • Der Zusammenhang zwischen ∀ und ∧. • Negation von Existenz- und Allaussagen. 2 4. Mathematische Beweise 4.1 Was ist ein mathematischer Beweis? • Arbeitsdefinition für den Beweisbegriff. 4.2 Der Beweisprozess • Versuch den kreativen Prozess des Findens und Formulierens eines Beweises etwas zu strukturieren. • Abstraktion aus einem Anwendungskontext. • Aufstellen einer mathematischen Behauptung. • Finden eines Beweises: Spiel mit Beispielen, Verbindung zu bereits als richtig bekannten Aussagen. • Fließender Übergang zur Formulierung eines Beweises. • Bei Erfolg: prüfen, ... Aufräumen, Beweisschritte ordnen, Voraussetzungen • Aufschreiben der finalen Version des Beweises. • Detaillierte Diskussion des Beispielproblems Wieviele 0en besitzt die Zahl 100! am Ende? 4.3 Beweisarten • Direkter Beweis. • Fallunterscheidungen. • Konstruktiver und strikt konstruktiver Beweis. • Beweis durch Kontraposition. • Widerspruchsbeweis. • Vollständige Induktion. • Beispiele für die verschiedenen Beweisarten. 4.4 Beweiswerkzeuge 3