Übungen zum Seminar Grundlagen der Mathematik Blatt 3 Universität Ulm Britta Dorn Kerstin Döbel Viel Spaß beim Beweisen! 1 Aufgabe 1 (2 + 1 = 3 Punkte) Beweise folgende Aussagen direkt: a) Seien a, b ∈ R \ {0}. Aus a + 1 a = b folgt a3 + 1 a3 = b3 − 3b. b) Wenn n ∈ N eine ungerade Zahl ist, dann ist auch n2 eine ungerade Zahl. Aufgabe 2 (1 + 2 + 4 = 7 Punkte) Beweise folgende Aussagen durch Kontraposition: a) Sei n ∈ N. Wenn n2 gerade ist, dann ist auch n gerade. b) Für alle x mit 0 < x < ∞, gilt 3x−4 2x+4 > −1. c) Ist x2 durch 3 teilbar, dann ist auch x durch 3 teilbar. Hinweis: Denke an Teilen mit Rest! 1 Die Riemannsche Vermutung (nach Bernhard Riemann) ist eine Annahme über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Ihre Bedeutung liegt darin, dass ihre Nullstellen im Komplexen Auskunft über Primzahlen, deren Verteilung und viele derer Eigenschaften geben. Ob die Vermutung zutrifft oder nicht, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Ein Beweis, der nicht streng ist, ist nichts. Henri Poincaré (1854 - 1912) Universität Ulm Britta Dorn Kerstin Döbel Übungen zum Seminar Grundlagen der Mathematik Blatt 3 Aufgabe 3 (2 + 3 = 5 Punkte) Beweise folgende Aussagen indirekt: √ a) 3 ist irrational √ b) 21 ist irrational. Hinweis: Du kannst nachstehende Bemerkung benutzen. Sie ist eine Verallgemeinerung der Aufgabe 2 c) (wir werden sie gemeinsam im Tutorium beweisen). Du darfst sie natürlich nicht für den Beweis der Aufgabe 2 c) verwenden Bemerkung: Sei a eine Primzahl. Wenn a|x2 (sprich: a teilt x2 ), dann teilt a auch x. Bonusaufgabe 1 (+ 5 Punkte) Beweise folgende Aussage: √ Wenn a eine Primzahl ist, dann ist a eine irrationale Zahl. Hinweis: √ Führe einen indirekten Beweis und stelle a als gekürzten Bruch xy dar. Zeige: Gilt ay 2 = x2 , so gilt a teilt x2 . Nun kannst du obige Bemerkung verwenden. Wenn a ein Teiler von x und y ist, dann steht dies im Widerspruch dazu, dass xy ein gekürzter Bruch war. Ein Beweis, der nicht streng ist, ist nichts. Henri Poincaré (1854 - 1912)