Grundlagen der Analysis: Logik, Mengenlehre, Arithmetik

Grundlagen der Analysis:
Logik, Mengenlehre, Arithmetik
Rainer Schimming, Greifswald
Inhalt:
Zusammenfassung
1. Logik
1.1. Aussagenlogik
1.2. Prädikatenlogik
1.3. Aufbau einer mathematischen Theorie
2. Mengenlehre
2.1. Der Mengenbegriff
2.2. Rechnen mit Mengen
2.3. Produktmenge, Korrespondenz, Abbildung
2.4. Operationen und Relationen
2.5. “Größenvergleich” von Mengen
3. Arithmetik ( = Zahlenlehre)
3.1. Natürliche Zahlen
3.2. Ganze und rationale Zahlen
3.3. Reelle Zahlen
3.4. Ungleichungen
3.5. Summen und Produkte
3.6. Wurzeln, Potenzen mit rationalem Exponenten
Zusammenfassung
Der vorliegende Preprint ist eine Skripte der Anfangs-Abschnitte 1. Logik, 2. Mengenlehre, 3.
Arithmetik der Vorlesung “Analysis” des Verfassers. Es sollen die im Analysis–Kurs benötigten
elementaren Kenntnisse über Aussagen, Mengen, Korrespondenzen, Abbildungen, Operationen,
Relationen, die Zahlbereiche IN, ZZ, Q
I , IR u. a. bereitgestellt werden. Die Skripte wird die
Vorlesungen und Übungen begleiten und unterstützen; sie kann auch im Selbststudium genutzt
werden.
Der Verfasser dankt Frau Dipl.-Math. Gesina Wandt für die technische Herstellung der Skripte.
Den Kollegen Peter Schreiber und Lutz Habermann sei für Hinweise gedankt, die zu einer
Verbesserung des Textes geführt haben.
1
1
1.1
Logik
Aussagenlogik
Definition 1. Die Logik betrachtet Regeln des Denkens, insbesondere des korrekten Folgerns
oder Schließens.
Definition 2. Eine Aussage ist ein sprachlicher Ausdruck, welcher entweder wahr oder falsch
ist, d. h. einen Wahrheitswert wahr oder falsch besitzt.
Beispiele.
Aussage
Berlin ist eine Stadt.
2·2=4
3 teilt 8
2H2 + O2 −→ 2H2 O
Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe
zweier Primzahlen.
Wahrheitswert
wahr
wahr
falsch
wahr
Verwendete Sprache
Umgangssprache
Mathematische Formelsprache
Kombination beider
Chemische Formelsprache
unbekannt
Gegenbeispiele. Die folgenden sprachlichen Ausdrücke sind keine Aussagen:
Gib her!
Wie spät ist es?
3 teilt x.
Definition 3. Eine Aussageoperation bildet aus gegebenen Aussagen A, B, C, . . . eine neue
Aussage X. Sie heißt extensional, falls der Wahrheitswert von X nur von den Wahrheitswerten
von A, B, C, . . . (aber nicht von deren Inhalt!) abhängt, intensional sonst. Die Anzahl der
Eingänge A, B, C, . . . heißt Stellenzahl der Aussageoperation.
Beispiele intensionaler Aussageoperationen:
A weil B (Beziehung Ursache – Wirkung)
A wichtiger als B (Wertung)
Definition 4.
Die Aussagenlogik betrachtet Aussagen hinsichtlich ihrer Wahrheitswerte,
insbesondere extensionale Aussageoperationen.
2
Definition 5. Extensionale Aussageoperationen mit einem eigenen Symbol:
Aussageoperation umgangssprachlich
symbolisch
Negation
nicht A
¬A
Konjunktion
A und B
(sowohl A als auch B)
A∧B
Disjunktion
A oder B
(oder beides)
A∨B
Subjunktion
wenn A, so B
A −→ B
(A nur dann, wenn B;
B immer dann, wenn A)
Bisubjunktion
A genau dann, wenn B
A ←→ B
Definition 6. Die Zuordung von Wahrheitswerten wahr oder falsch zu Aussagenvariablen
A, B, C . . . heißt eine Belegung dieser Variablen. Die Wahrheitswerttabelle einer extensionalen
Aussageoperation gibt für alle Belegungen der Eingänge A, B, C . . . die Belegung des Ausgangs
X an. Es sei abgekürzt falsch = 0, wahr = 1.
Definition 7. Die Wahrheitswert–Tabellen zu ¬, ∧, ∨, −→, ←→ lauten per definitionem:
A ¬A
0
1
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∧B
0
0
0
1
A∨B
0
1
1
1
A −→ B
1
1
0
1
A ←→ B
1
0
0
1
Satz 1. Alle einstelligen extensionalen Aussageoperationen sind beschrieben durch die folgenden
Wahrheitswerttabellen:
A Kontradiktion Identität Negation Tautologie
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Alle
A
0
0
1
1
zweistelligen extensionalen Aussageoperationen sind beschrieben durch
B Kontr. A ∧ B ¬(A −→ B) A ¬(B −→ A) B ¬(A ←→ B) A ∨ B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
3
¬(A ∨ B) A ←→ B
1
1
0
0
0
0
0
1
¬B
1
0
1
0
B −→ A
1
0
1
1
¬A
1
1
0
0
A −→ B
1
1
0
1
¬(A ∧ B) Taut.
1
1
1
1
1
1
0
1
Definition 8. Die extensionale Aussageoperation (jeder Stellenzahl), deren Ausgang immer
falsch ist, heißt Kontradiktion, . . . immer wahr ist, heißt Tautologie.
Definition 9. Seien H, K aus Aussagenvariablen A, B, C . . . und aus ¬, ∧, ∨, −→, ←→
regelrecht aufgebaute Ausdrücke.
Aus H folgt K, H =⇒ K, falls H −→ K für alle Belegungen von A, B, C . . . wahr (d. h. eine
Tautologie) ist.
H ist (logisch) äquivalent zu K, H ⇐⇒ K, falls H ←→ K für alle Belegungen von A, B, C . . .
wahr (d. h. eine Tautologie) ist.
Bemerkungen.
1. Was hier “regelrecht” heißt, läßt sich präzisieren, indem man beschreibt, wie entsprechende
Ausdrücke rekursiv (d. h. schrittweise) aufgebaut sind.
2. =⇒ und ⇐⇒ treffen die intuitiven Vorstellungen vom logischen Folgern bzw. von der
logischen Gleichwertigkeit.
3. Beachte: −→ und ←→ sind Operationen mit Aussagen; =⇒ und ⇐⇒ sind dagegen Relationen zwischen Ausdrücken.
Satz 2. Aussagenlogische Gesetze.
Äquivalenzen:
Kommutativgesetze
A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A
A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A
A ←→ B ⇐⇒ B ←→ A
Assoziativgesetze
(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (B ∨ C)
(A ←→ B) ←→ C ⇐⇒ A ←→ (B ←→ C)
Distributivgesetze
(A ∨ B) ∧ C ⇐⇒ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
(A ∧ B) ∨ C ⇐⇒ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
Verschmelzungsgesetze
A ∧ (A ∨ B) ⇐⇒ A
A ∨ (A ∧ B) ⇐⇒ A
Doppel–Negations–Regel ¬¬A ⇐⇒ A
De Morgansche Regeln
¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
Kontrapositionsregel
A −→ B ⇐⇒ ¬B −→ ¬A
4
Darstellungen der Subjunktion
Darstellung der Bisubjunktion
Schlußregeln:
Abtrennungsregel
Kettenschlußregel
Abschwächungsregeln
A −→ B ⇐⇒ ¬A ∨ B ⇐⇒ ¬(A ∧ ¬B)
A ←→ B ⇐⇒ (A −→ B) ∧ (B −→ A)
(A −→ B) ∧ A =⇒ B
(A −→ B) ∧ (B −→ C) =⇒ (A −→ C)
A =⇒ A ∨ B
A =⇒ (B −→ A)
A ∧ B =⇒ A
Tautologien:
Gesetz vom
ausgeschlossenen Dritten
A ∨ ¬A ist immer wahr
Gesetz vom
ausgeschlossenen Widerspruch ¬(A ∧ ¬A) ist immer wahr
Beweis der Doppel–Negations–Regel:
A ¬A ¬¬A ¬¬A ←→ A
0
1
0
1
1
0
1
1
. . . der Abtrennungsregel:
A B A −→ B (A −→ B) ∧ A
0 0
1
0
0 1
1
0
1 0
0
0
1 1
1
1
((A −→ B) ∧ A) −→ B
1
1
1
1
. . . des Gesetzes vom ausgeschlossenen Widerspruch:
A ¬A A ∧ ¬A ¬(A ∧ ¬A)
0
1
0
1
1
0
0
1
Geschichte.
“Rechnen mit Gedanken” ist eine alte Idee bzw. ein Programm, z. B. von
den Philosophen R. Lullus (1480) und G. W. Leibniz (1666) formuliert. Logik im heutigen
Sinne datiert seit 1847; in dem Jahr erschienen die beiden Bücher
G. Boole: The Mathematical Analysis of Logic.
A. de Morgan: Formal Logic.
5
1.2
Prädikatenlogik
Problem. Sprachliche Ausdrücke enthalten außer Konstanten typischerweise auch Variablen
für Objekte (z. B. Mengen, Zahlen, Funktionen, . . . ). Dafür ist eine Logik zu entwickeln!
Definition 1. Eine Aussageform oder ein Prädikat ist ein sprachlicher Ausdruck A(x, y, . . . ),
der endlich viele Variablen x, y, . . . enthält und zu einer Aussage wird, wenn alle Variablen mit
Werten belegt werden. Die Anzahl der Variablen heißt die Stellenzahl der Aussageform. Eine
Aussage ist per definitionem eine 0–stellige Aussageform.
Beispiele.
Stellenzahl Variable(n) Aussageform
0
keine
2·2=4
1
x
3 teilt x.
Wahr z. B. für x = 9.
Falsch z. B. für x = 8.
2
x, y
x teilt y.
3
x, y, z
x+y =z
Definition 2. Eine Quantifizierung von Variablen erzeugt aus einer Aussageform eine solche
niedrigerer Stellenzahl.
Definition 3. Quantifizierungen mit einem eigenen Symbol:
Quantifizierung
umgangssprachlich
Generalisierung
für alle x
(für jedes x, für beliebiges x)
Partikularisierung
symbolisch
∀xA(x,
. . . ) oder
V
xA(x, . . . )
es gibt (mindestens) ein x
∃xA(x,
. . . ) oder
W
(es existiert (mindestens) ein x)
xA(x, . . . )
verstärkte Partikularisierung es gibt genau ein x
(es existiert genau ein x;
es gibt ein und nur ein x)
∃!xA(x, . . . )
Beispiele. Quantifizierungen ohne eigenes Symbol:
umgangssprachlich
durch ∀, ∃ ausgedrückt
es gibt höchstens ein x mit A(x) ∀x1 ∀x2 (A(x1 ) ∧ A(x2 ) −→ x1 = x2 )
(es gibt kein x mit A(x) oder
es gibt genau ein x mit A(x))
es gibt mehrere x mit A(x)
∃x1 ∃ x2 (A(x1 ) ∧ A(x2 ) ∧ x1 6= x2 )
(es gibt mehr als ein x mit A(x))
6
Beispiele. Aussagen, die Quantifizierungen enthalten:
1. Gruppenaxiome:
∀x ∀y ∀z : (x · y) · z = x · (y · z)
∃e ∀x : e · x = x · e = x
∀x ∃y : x · y = y · x = e
2. Sprichwörter.
umgangssprachlich
Hunde, die bellen, beißen nicht
Wenn zwei sich streiten,
freut sich der Dritte
symbolisch
∀x(A(x) ∧ B(x) −→ ¬C(x)), wobei
A = ist ein Hund, B = bellt, C = beißt
∀x ∀y(A(x, y) −→ ∃zB(z)), wobei
A = streiten sich, B = freut sich
Genauer: ∀x ∀y(A(x, y) −→ ∃z : z 6= x ∧ z 6= y ∧ B(z))
Satz Prädikatenlogische Gesetze.
Kommutativgesetze
∀x∀yA(x, y, . . . ) ⇐⇒ ∀y∀xA(x, y, . . . )
∃x∃yA(x, y, . . . ) ⇐⇒ ∃y∃xA(x, y, . . . )
∀x(A(x, . . . ) ∧ B(x, . . . )) ⇐⇒ (∀xA(x, . . . )) ∧ (∀x(B(x, . . . ))
∃x(A(x, . . . ) ∨ B(x, . . . )) ⇐⇒ (∃xA(x, . . . )) ∨ (∃x(B(x, . . . ))
De Morgansche Regeln
¬∀xA(x, . . . ) ⇐⇒ ∃x¬A(x, . . . )
¬∃xA(x, . . . ) ⇐⇒ ∀x¬A(x, . . . )
Abschwächungsregeln
∃x∀yA(x, y, . . . ) =⇒ ∀y∃xA(x, y, . . . )
∃!xA(x, . . . ) =⇒ ∃xA(x, . . . )
Vereinbarung. Es sei erlaubt, ∀x ∀y . . . durch ∀x, y, . . . abzukürzen, ∃x ∃y . . . durch ∃x, y, . . .
abzukürzen usw.. Der Doppelpunkt : diene als Trennzeichen anstelle von Klammern.
Definition 4. Die Prädikatenlogik 1. Stufe betrachtet Individuen x, y, z, . . . und Prädikate
A(x), A(x, y, . . . ), A(x, y, z, . . . ), . . . . Genau die Individuen können dort quantifiziert werden.
Die Prädikatenlogik 2. Stufe betrachtet Individuen, Prädikate und zusätzlich Prädikate von
Prädikaten. Genau die Individuen und die Prädikate können dort quantifiziert werden. Usw.
Beispiele. Gesetze der Prädikatenlogik 2. Stufe:
Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten: ∀A ∀x(A(x) ∨ ¬A(x)).
Ersetzbarkeitseigenschaft der Gleichheitsrelation: ∀A ∀x, y(x = y −→ (A(x) ←→ A(y))).
Geschichte.
Die Klassenlogik von Aristoteles, eine der ersten wissenschaftlichen Theo7
rien (nach heutiger Auffassung) überhaupt, ist eine Aussagen– und Prädikatenlogik in anderer
Form als der heute üblichen. G. Frege’s Begriffschrift (1859) ist ebenfalls eine alternative
Aussagen– und Prädikatenlogik, die sich nicht durchgesetzt hat, weil sie sehr unhandlich ist.
Die Prädikatenlogik in der heutigen Form geht auf C. S. Peirce und G. Peano (2. Hälfte
des 19. Jahrhunderts) zurück.
1.3
Aufbau einer mathematischen Theorie
Die Fachsprache einer mathematischen Theorie setzt sich aus der Umgangssprache und einer
speziellen Symbol– oder Formelsprache zusammen.
Definition 1.
Man unterscheidet zwei Arten sprachlicher Ausdrücke: Ein Term ist ein
Ausdruck, der als ein mathematisches Objekt interpretiert werden kann. Eine Formel ist ein
Ausdruck, der als eine Aussage oder Aussageform interpretiert werden kann.
Im folgenden besprechen wir wichtige Arten von Bausteinen einer mathematischen Theorie:
Axiom, Definition, Satz, Beweis.
Vorläufige Definition. Ein Axiom ist eine als wahr angenommene Aussage. Ein Axiomensystem besteht aus endlich vielen Axiomen und wird an den Anfang einer Theorie gesetzt.
Definition 2. Ein Axiomensystem ist eine implizite Definition der Grundbegriffe einer Theorie
im folgenden Sinn: Es führt die Grundbegriffe ein und regelt deren Beziehungen untereinander.
Beispiele.
1. Axiomensystem für die Gleichheit = :
x, y, z, . . . bezeichnen mathematische Objekte, A, B, C, . . . bezeichnen Aussageformen. x = y
bedeutet: x ist gleich y.
Reflexivität: ∀x : x = x
Transitivität: ∀x, y, z : x = y ∧ y = z −→ x = z
Symmetrie: ∀x, y : x = y −→ y = x
Leibnizsche Ersetzbarkeit: ∀A ∀x, y : x = y −→ (A(x) = A(y))
2. Einige Axiome der ebenen Geometrie:
Es gibt Punkte P , Q, R . . . und Geraden g, h, k . . . . P ∈ g bedeutet: Der Punkt P liegt auf
der Geraden g. (Die Gerade g geht durch den Punkt P .)
1. ∀g ∃P, Q : P ∈ g ∧ Q ∈ g ∧ P 6= Q.
2. ∀P, Q mit P 6= Q ∃!g : P ∈ g ∧ Q ∈ g.
3. ∀g ∃P : P ∈
/ g.
8
Definition 3. Eine Definition hat die Form
Definiendum := Definiens.
Dabei ist das Definiendum, d. h. das zu Definierende, ein abkürzender neuer Name; das
Definiens, d. h. das Definierende, ist ein durch bekannte sprachliche Mittel gegebener Ausdruck. Sind hier beide Seiten Formeln, so bevorzugt man die Symbolik
Definiendum :⇐⇒ Definiens.
Zusätze.
1. Es ist auch erlaubt, die Reihenfolge zu vertauschen:
Definiens =: Definiendum bzw. Definiens ⇐⇒: Definiendum.
2. Umgangssprachlich wird eine Definition ausgedrückt durch heißt, wird genannt, per definitionem ist . . . (oder auch im Konjunktiv: heiße, werde genannt, per definitionem sei . . . ).
3. Das genau dann, wenn in einer Definition ersetzen wir meist durch falls.
4. Das Definiendum wird üblicherweise durch eine besondere Schriftart hervorgehoben.
Beispiele.
heißt Mittelwert der Zahlen a, b.
A := a+b
2
Die kleinste positive Nullstelle der Sinusfunktion heißt Kreiszahl π.
Zwei Vektoren a, b sind orthogonal, a ⊥ b, falls a · b = 0.
Definition 4. Jedes Axiom ist auch ein Satz. Ein Beweis in einer Theorie ist eine endliche
Folge von Formeln derart, daß sich jede Formel vermöge einer Schlußregel aus den vorhergehenden Formeln und aus schon bewiesenen Sätzen ergibt. Die letzte Formel eines Beweises ist
ein Satz der Theorie; dieser wird durch den zugehörigen Beweis bewiesen.
Bemerkungen.
1. Demgemäß ist eine mathematische Theorie rekursiv (d. h. schrittweise) aufgebaut:
Satz 0. Stufe := Axiom,
Satz 1. Stufe := Aus Axiomen hergeleitet,
Satz 2. Stufe := Aus Axiomen und Sätzen 1. Stufe hergeleitet,
usw.
2. Wiederholung: Wichtige Schlußregeln:
Abtrennungsregel (A −→ B) ∧ A =⇒ B,
Kettenschlußregel (A −→ B) ∧ (B −→ C) =⇒ (A −→ C),
De Morgansche Regeln ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B, ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B,
Prädikatenlogische Abschwächungsregel ∃x∀yA(x, y, . . . ) =⇒ ∀y∃xA(x, y, . . . ),
Prädikatenlogische De Morgansche Regeln ¬∀xA(x, . . . ) ⇐⇒ ∃x¬A(x, . . . ),
¬∃xA(x, . . . ) ⇐⇒ ∀x¬A(x, . . . ).
9
3. Ein nur als Zwischenresultat angesehener Satz heißt auch Hilfssatz oder Lemma. Ein als
besonders wichtig angesehener Satz heißt auch Hauptsatz oder Theorem. Ein zu einem Satz
hinzugefügter Satz heißt auch Korollar.
Definition 5. In einem Satz der Form A −→ B oder ∀x(A(x) −→ B(x)) heißt A bzw. A(x)
Voraussetzung oder Prämisse und heißt B bzw. B(x) Behauptung oder Konklusion.
Geschichte. Die heutige Auffassung von einer mathematischen Theorie, insbesondere über
den axiomatischen Aufbau, geht auf D. Hilbert (1862–1843) zurück. Diese moderne Auffassung ist auch Vorbild für Theorien in den Naturwissenschaften.
2
2.1
Mengenlehre
Der Mengenbegriff
Definition 1. Mengendefinition nach G. Cantor (1895):
Eine Menge ist die Zusammenfassung unterscheidbarer einzelner Objekte, genannt Elemente,
zu einem Ganzen.
x ∈ M heißt: x ist Element der Menge M (M enthält x). x ∈
/ M heißt ¬x ∈ M .
“Axiom.” Mengenbildungsprinzip.
Zu einer “sinnvollen” einstelligen Aussageform A existiert
M = {x|A(x)} := Menge aller x, für die A(x) wahr ist.
Beispiele.
Einermenge {a} := {x|x = a},
Zweiermenge {a, b} := {x|x = a ∨ x = b},
Dreiermenge {a, b, c} := {x|x = a ∨ x = b ∨ x = c},
usw.
Die leere Menge ∅ := {x|x 6= x} enthält kein Element.
Für die sogenannten Zahlbereiche sind besondere Symbole reserviert:
IN = Menge der natürlichen Zahlen,
ZZ = Menge der ganzen Zahlen,
Q
I = Menge der rationalen Zahlen,
IR = Menge der reellen Zahlen.
10
Gegenbeispiel. Antinomie von B. Russel 1902: M := {x|x ∈
/ x} definiert keine Menge M ,
d. h. die Aussageform A(x) := x ∈
/ x ist nicht “sinnvoll”.
Beweis. Übung.
Definition 2. Sei E eine Menge 6= ∅, genannt Grundbereich. A eine einstellige Aussageform.
Man definiert
∀x ∈ E : A(x) :⇐⇒ ∀x : x ∈ E −→ A(x)
∃x ∈ E : A(x) :⇐⇒ ∃x : x ∈ E ∧ A(x)
{x ∈ E|A(x)} :⇐⇒ {x|x ∈ E ∧ A(x)}
Bemerkung. Der Übergang von E und A zu
M := {x ∈ E|A(x)}
heißt auch klassisches Definitionsschema. Es wurde von Aristoteles eingeführt. Dabei heißt
E die Gattung, A das artbildende Merkmal, M die Art.
Beispiele für das klassische Definitionsschema:
1. M = {x ∈ IR|f (x) = 0} ist die Lösungsmenge der Bestimmungsgleichung f (x) = 0 im
Bereich der reellen Zahlen.
2. Intervalle reeller Zahlen
[a, b] := {x ∈ IR|a ≤ x ≤ b},
]a, b[:= {x ∈ IR|a < x < b},
[a, b[:= {x ∈ IR|a ≤ x < b},
]a, b] := {x ∈ IR|a < x ≤ b}.
Definition 3. Veranschaulichung von Mengen nach L. Euler.
Ein Mengendiagramm ordnet Mengen M , N, . . . Punktmengen in der Ebene zu mit gleichen
Verhältnissen bezüglich gemeinsamer / nicht gemeinsamer Elemente.
Beispiele. Mögliche Diagramme für zwei Mengen M , N :
M=N
M
M
N
M
M
N
11
N
N
Geschichte.
Georg Cantor (1845–1918) ist der Begründer der Mengenlehre; ab 1874
publizierte er darüber. Seine Ideen waren damals revolutionär und setzten sich nur gegen
Widerstände durch. Die Antinomie von B. Russell (1901) sowie bald darauf entdeckte weitere
Antinomien der “naiven Mengenlehre” machten einen axiomatischen Aufbau notwendig. Es gibt
verschiedene Varianten der axiomatischen Mengenlehre; meist beruft man sich auf die von E.
Zermelo und A. Fraenkel (1904–1908).
2.2
Rechnen mit Mengen
Axiom. Extensionalitätsprinzip.
Zwei Mengen sind gleich, falls sie dieselben Elemente haben.
D. h. M = N , falls ∀x : x ∈ M ←→ x ∈ N .
Definition 1. M ist Teilmenge (Untermenge) von N , M ⊆ N , falls jedes Element von M
auch Element von N ist, d. h. ∀x : x ∈ M −→ x ∈ N . M ist echte Teilmenge von N , M ⊂ N ,
falls M ⊆ N und M 6= N . Die Relation ⊆ zwischen Mengen heißt Inklusion, ⊂ heißt echte
Inklusion. Die Menge aller Teilmengen von M heißt Potenzmenge von M und wird mit 2M
bezeichnet.
Beispiele.
1. {a} ⊆ {a, b} ⊆ {a, b, c} ⊆ . . . .
2. Echte Inklusionen der Zahlbereiche: IN ⊂ ZZ ⊂ Q
I ⊂ IR.
3. Für jede Menge M gilt ∅ ⊆ M .
4. Für eine Einermenge M = {a} ist 2M = {∅, {a}}. Für eine Zweiermenge M = {a, b} mit
a 6= b ist 2M = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Satz 1. Gesetze für die Inklusion:
Reflexivität
M ⊆M
Transitivität
M ⊆ N und N ⊆ L −→ M ⊆ L
Antisymmetrie M ⊆ N und N ⊆ M −→ M = N
Gesetze für die echte Inklusion:
Irreflexivität nicht M ⊂ M
Transitivität M ⊂ N und N ⊂ L −→ M ⊂ L
Asymmetrie M ⊂ N −→ nicht N ⊂ M
Beweis für ⊆:
Reflexivität: ∀x (x ∈ M −→ x ∈ M ) =⇒ M ⊆ M .
Transitivität: M ⊆ N und N ⊆ L =⇒ ∀x : (x ∈ M −→ x ∈ N ) ∧ (x ∈ N −→ x ∈ L) =⇒
∀x (x ∈ M −→ x ∈ L) =⇒ M ⊆ L.
12
Antisymmetrie: M ⊆ N und N ⊆ M =⇒ ∀x : (x ∈ M −→ x ∈ N ) ∧ (x ∈ N −→ x ∈ L) ⇐⇒
∀x (x ∈ M ←→ x ∈ N ) ⇐⇒ M = N .
Definition 2. Der Durchschnitt zweier Mengen M und N ist M ∩N := {x|x ∈ M und x ∈ N }
Die Vereinigung von M und N ist M ∪ N := {x|x ∈ M oder x ∈ N }
Die Differenz von M und N ist M \ N := {x|x ∈ M und x ∈
/ N}
Zwei Mengen M, N heißen elementfremd oder disjunkt, falls M ∩ N = ∅.
Satz 2. Gesetze für Durchschnitt und Vereinigung:
Kommutativgesetze
M ∩N =N ∩M
M ∪N =N ∪M
Assoziativgesetze
(M ∩ N ) ∩ L = M ∩ (N ∩ L)
(M ∪ N ) ∪ L = M ∪ (N ∪ L)
Distributivgesetze
(M ∪ N ) ∩ L = (M ∩ L) ∪ (N ∩ L)
(M ∩ N ) ∪ L = (M ∪ L) ∩ (N ∪ L)
Verschmelzungsgesetze M ∩ (M ∪ N ) = M
M ∪ (M ∩ N ) = M
13
Beweis des 1. Distributivgesetzes: Für alle x ist
x ∈ (M ∪ N ) ∩ L ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x∈M ∪N ∧x∈L
(x ∈ M ∨ x ∈ N ) ∧ x ∈ L
(x ∈ M ∧ x ∈ L) ∨ (x ∈ N ∧ x ∈ L)
x∈M ∩L∨x∈N ∩L
x ∈ (M ∩ L) ∪ (N ∪ L)
Gemäß dem Extensionalitätsprinzip ist (M ∪ N ) ∩ L = (M ∩ L) ∪ (N ∩ L).
Definition 3.
Komplement.
Für die Teilmenge M eines festen Grundbereiches E heißt M := E \ M auch
E
M
M
Satz 3. Gesetze für das Komplement.
M = M, ∅ = E, E = ∅, M ∪ M = E, M ∩ M = ∅,
De Morgansche Regeln: M ∩ N = M ∪ N , M ∪ N = M ∩ N .
Beweis der 1. De Morganschen Regel: Für alle x ist
x ∈ M ∩ N ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
¬(x ∈ M ∩ N )
¬(x ∈ M ∧ x ∈ N )
(¬x ∈ M ) ∨ (¬x ∈ N )
x∈M ∨x∈N
x∈M ∪N
Aus dem Extensionalitätsprinzip folgt die Behauptung M ∩ N = M ∪ N .
2.3
Produktmenge, Korrespondenz, Abbildung
Idee. Zweiermenge {x, y} = ungeordnete Zusammenfassung von x, y. {x, y} = {y, x}.
Geordnetes Paar (x, y) = geordnete Zusammenfassung von x, y. (x, y) 6= (y, x).
n–tupel (x1 , x2 , . . . , xn ) = geordnete Zusammenfassung von x1 , x2 , . . . , xn .
14
Definition 1. Das geordnete Paar aus zwei Elementen x, y ist (x, y) := {{x, y}, {x}}. Für
n ≥ 3 sind n–tupel rekursiv definiert durch
(x1 , x2 , . . . , xn ) := ((x1 , x2 , . . . , xn−1 ), xn ).
Spezialfälle.
n n–tupel
2 geordnetes Paar
3 Tripel
4 Quadrupel
5 Quintupel
Satz 1. “Axiom” des geordneten Paares bzw. n–tupels.
(x, y) = (x0 , y 0 ) ←→ x = x0 und y = y 0 .
(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x01 , x02 , . . . , x0n ) ←→ x1 = x01 und x2 = x02 . . . und xn = x0n .
Beweis. Übung.
Definition 2. Das Produkt (Mengenprodukt, Produktmenge) zweier Mengen M und N sei
M × N := {(x, y)|x ∈ M und y ∈ N }.
Das Produkt (Mengenprodukt, Produktmenge) von Mengen M1 , M2 , . . . , Mn sei
M1 × M2 × · · · × Mn := {(x1 , x2 , . . . , xn )|x1 ∈ M1 und x2 ∈ M2 . . . und xn ∈ Mn }.
Die n–te Potenz von M sei
M n := M × M × · · · × M (n–mal).
Man setzt außerdem noch M 1 = M .
Beispiele.
1. IRn ≡ IR×IR×· · ·×IR (n–mal) = {(x1 , x2 , . . . , xn )|x1 , x2 , . . . , xn ∈ IR} heißt n–dimensionaler
reeller Zahlenraum.
2. [0, 1] := {x ∈ IR|0 ≤ x ≤ 1} heißt Einheitsintervall
[0, 1] × [0, 1] heißt Einheitsquadrat.
[0, 1]n = [0, 1] × [0, 1] × · · · × [0, 1] (n–mal) heißt n–dimensionaler Einheitswürfel.
15
Satz 2. Gesetze für das Mengenprodukt:
Distributivgesetze (M1 ∩ M2 ) × N = (M1 × N ) ∩ (M2 × N )
(M1 ∪ M2 ) × N = (M1 × N ) ∪ (M2 × N )
(M1 \ M2 ) × N = (M1 × N ) \ (M2 × N )
N × (M1 ∩ M2 ) = (N × M1 ) ∩ (N × M2 )
N × (M1 ∪ M2 ) = (N × M1 ) ∪ (N × M2 )
N × (M1 \ M2 ) = (N × M1 ) \ (N × M2 )
Monotoniegesetz M1 ⊆ M2 −→ M1 × N ⊆ M2 × N und N × M1 ⊆ N × M2
Beweis. Übung.
Definition 3. Eine Korrespondenz oder Zuordnung F aus einer Menge M 6= ∅ in eine Menge
N 6= ∅ ist eine Teilmenge der Produktmenge: F ⊆ M × N .
Der Definitionsbereich von F ist D(F ) := {x|∃y : (x, y) ∈ F },
der Wertebereich von F ist W(F ) := {y|∃x : (x, y) ∈ F }.
Wenn (x, y) ∈ F , so heißt x hier ein Original oder Urbild, y ein Wert oder Bild.
Bemerkung. F ⊆ M × N enthält genau die (x, y), für die y ∈ N dem x ∈ M zugeordnet
wird. Ein endliches F = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )} ist gleichwertig zu einer Wertetabelle
x
x1
x2
..
.
y
y1
y2
xn
yn
Die obige Definition verallgemeinert die Vorstellung von F als einer Art von Wertetabelle.
Mengendiagramme:
M
N
x
F
M
y
16
x1
x2
x3
F
y1
y2
y3
N
Beispiele. M = {x1 , . . . , x5 }, N = {y1 , . . . , y4 },
F = {(x1 , y2 ), (x2 , y1 ), (x3 , y3 ), (x4 , y3 )}.
y1
x1
x2
x3
x4
x5
y2
y4
y3
Definition 4. Operationen mit Korrespondenzen:
Die inverse Korrespondenz oder Umkehrkorrespondenz zu F ⊆ M × N ist
F −1 := {(y, x)|(x, y) ∈ F }.
Die Komposition oder Verkettung von F ⊆ M × N und G ⊆ N × P ist
G ◦ F := {(x, z)|∃y : (x, y) ∈ F und (y, z) ∈ G}.
Mengendiagramme:
F
N
M
x
y
F−1
G
F
N
M
x
F
P
G
y
17
z
Obiges Beispiel. M = {x1 , . . . , x5 }, N = {y1 , . . . , y4 },
F = {(x1 , y2 ), (x2 , y1 ), (x3 , y3 ), (x4 , y3 )} =⇒ F −1 = {(y2 , x1 ), (y1 , x2 ), (y3 , x3 ), (y3 , x4 )}.
Satz 3. Gesetze für Inversion
Rollentausch von D und W
Doppelte Inversion
Assoziativgesetz
Inversionsgesetz
und Komposition:
D(F −1 ) = W(F ), W(F −1 ) = D(F ),
(F −1 )−1 = F ,
(H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ),
(G ◦ F )−1 = F −1 ◦ G−1 .
Beweis des Assoziativgesetzes:
H
G
F
N
M
x
F
H
G
z
y
(x, u) ∈ (H ◦ G) ◦ F ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Q
P
u
∃y : (x, y) ∈ F und (y, u) ∈ H ◦ G
∃y : (x, y) ∈ F und (∃z : (y, z) ∈ G und (z, u) ∈ H)
∃y∃z : (x, y) ∈ F und (y, z) ∈ G und (z, u) ∈ G
∃z : (∃y : (x, y) ∈ F und (y, z) ∈ G) und (z, u) ∈ H
∃z : (x, z) ∈ G ◦ F und (z, u) ∈ H
(x, u) ∈ H ◦ (G ◦ F )
Gemäß der Definition der Mengengleichheit ist (H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ).
Definition 5. Erste Einteilung von Korrespondenzen:
Eine Korrespondenz F ⊆ M × N heißt . . . falls . . .
in N
auf N
aus M
D(F ) ⊆ M , W(F ) ⊆ N
D(F ) ⊆ M , W(F ) = N
von M
D(F ) = M , W(F ) ⊆ N
D(F ) = M , W(F ) = N
18
Beispiele.
in N und nicht auf N
F = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 )}
auf N
F = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x2 , y3 )}
F = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y1 )}
F = {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )}
aus M
und nicht von M
von M
Definition 6. Zweite Einteilung von Korrespondenzen:
F ⊆ M × N heißt eindeutig, falls (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ F −→ y1 = y2 ,
. . . mehrdeutig sonst.
F ⊆ M × N heißt eindeutig umkehrbar, falls (x1 , y), (x2 , y) ∈ F −→ x1 = x2 ,
. . . mehrdeutig umkehrbar sonst.
F heißt eineindeutig, falls F eindeutig und eindeutig umkehrbar ist.
Zusätze.
1. F ist eindeutig genau dann, wenn ∀x ∈ D(F ) ∃! y ∈ W(F ) : (x, y) ∈ F ,
F ist eindeutig umkehrbar genau dann, wenn ∀y ∈ W(F ) ∃! x ∈ D(F ) : (x, y) ∈ F .
2. Ist F eindeutig, so schreibt man anstatt (x, y) ∈ F auch y = F (x). Sind F , G eindeutig, so
ist in der neuen Schreibweise (G ◦ F )(x) = G(F (x)).
19
Beispiele.
mehrdeutig umkehrbar
eindeutig umkehrbar
mehrdeutig
eineindeutig
eindeutig
Definition 7. Eine Abbildung F : M −→ N , x 7→ y ist eine eindeutige Korrespondenz von
M in N . Eine Abbildung heißt injektiv oder eine Injektion, falls sie eindeutig umkehrbar ist,
. . . surjektiv oder eine Surjektion, falls sie auf N ist,
. . . bijektiv oder eine Bijektion, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Bemerkungen.
1. Eine Injektion ist eindeutig (weil jede Abbildung eindeutig ist) und eindeutig umkehrbar,
also sogar eineindeutig.
2. Man verwendet, nach Bourbaki, zwei verschiedene Abbildungspfeile: −→ für Mengen und
7→ für Elemente.
Spezialfälle.
1. Für M 6= ∅ heißt id = idM := {(x, x)|x ∈ M } die identische Abbildung von M auf sich.
F = id genügt x = F (x).
2. Für M, N 6= ∅ und festes c ∈ N heißt F = {(x, c)|x ∈ M } eine konstante Abbildung. Man
schreibt dann F (x) = const = c.
3. Die sogenannten Projektionen von der Produktmenge M1 × M2 auf die Faktoren
pr1 : M1 × M2 −→ M1 , (x1 , x2 ) 7→ x1 ,
pr2 : M1 × M2 −→ M2 , (x1 , x2 ) 7→ x2
sind Surjektionen.
4. Die sogenannten Einbettungen der Faktoren M1 , M2 in die Produktmenge M1 × M2
i1 : M1 −→ M1 × M2 , x1 7→ (x1 , c2 ) mit festem c2 ∈ M2 ,
i2 : M2 −→ M1 × M2 , x2 7→ (c1 , x2 ) mit festem c1 ∈ M1
sind Injektionen.
20


Abbildungen
Abbildung






Injektionen
Injektion
Satz 4. Die Komposition von
ist wieder eine
.
Surjektionen
Surjektion






Bijektionen
Bijektion
Das Inverse einer Bijektion ist wieder eine Bijektion.
Beweis. Übung.
Definition 8. Die Menge aller Abbildungen F : M −→ N wird mit N M bezeichnet.
Beispiele.
1. Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung IN −→ IR, n 7→ an . Also ist
IRIN = Menge aller reellen Zahlenfolgen.
2. Eine reelle Funktion f mit Definitionsbereich [a, b] ist eine Abbildung [a, b] −→ IR,
x 7→ y = f (x). Also ist
IR[a,b] = Menge aller reellen Funktionen mit Definitionsbereich [a, b].
Geschichte. Ein intuitives Verständnis von Korrespondenzen und Abbildungen hat es schon
sehr lange gegeben. Die obige Definition des geordneten Paares, welche die mengentheoretische präzise Bestimmung von Korrespondenzen und Abbildungen ermöglicht, stammt von
K. Kuratowski (1896–1980). “Abbildungen” hießen früher auch “Funktionen”. Die moderne
Terminologie wurde vor allem durch das Lehrbuch der Autorengruppe N. Bourbaki (ab 1939)
eingeführt bzw. befestigt.
2.4
Operationen und Relationen
Vorläufige Definition. Eine (zweistellige) Operation O erzeugt aus zwei Elementen x, y ein
Element z = xOy. Eine n–stellige Operation erzeugt aus n Elementen x1 , x2 , . . . , xn ein Element
z.
Eine (zweistellige) Relation R ist eine Beziehung zwischen zwei Elementen x, y; man schreibt
xRy. Eine n–stellige Relation ist eine Beziehung zwischen n Elementen x1 , x2 , . . . , xn .
Definition 1. Eine (zweistellige) Operation in einer Menge E 6= ∅ ist eine Abbildung O :
E × E −→ E, (x, y) 7→ z = O(x, y) ≡ xOy. Eine n–stellige Operation in E 6= ∅ ist eine
Abbildung O : E n −→ E, (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ z = O(x1 , x2 , . . . , xn ). Insbesondere ist eine
einstellige Operation O eine Abbildung E −→ E, x 7→ z = O(x).
Beispiele.
21
Menge E 6= ∅
Operation in E
Menge der Terme der Aussagenlogik
2M für eine beliebige Menge M
IN, ZZ, Q
I , IR
ZZ, Q
I , IR
Q
I \ {0}, IR \ {0}
¬, ∧, ∨, −→, ←→
∩, ∪, \
+, ·
−
:
Definition 2. Eine (zweistellige) Relation in einer Menge E 6= ∅ ist eine Teilmenge R ⊆ E×E.
Für (x, y) ∈ R schreibt man auch xRy. Eine n–stellige Relation in E 6= ∅ ist eine Teilmenge
R ⊆ E n.
Bemerkung. R ⊆ E ×E enthält genau die (x, y), für welche x, y anschaulich in der Beziehung
R zueinander stehen.
Beispiele.
Menge E 6= ∅
Relation in E
beliebig
Gleichheit =
Zahlbereiche IN, ZZ, Q
I , IR natürliche Ordnungsrelationen ≤, <, ≥, >
Definition 3. Eigenschaften einer Relation R ⊆ E × E
R heißt . . .
. . . falls ∀x, y, z ∈ E:
reflexiv
irreflexiv
transitiv
symmetrisch
antisymmetrisch
linear
konnex
xRx
¬xRx
xRy und yRz −→ xRz
xRy −→ yRx
xRy und yRx −→ x = y
xRy oder yRx
xRy oder yRx oder x = y
R heißt . . .
. . . falls R . . .
reflexive Halbordnung
irreflexive Halbordnung
reflexive Ordnung
irreflexive Ordnung
reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.
irreflexiv und transitiv ist.
lineare reflexive Halbordnung ist.
konnexe irreflexive Halbordnung ist.
Beispiele.
Menge E 6= ∅
2M
IN, ZZ, Q
I , IR
reflexiv irreflexiv
Halbordnung
Ordnung
⊆, ⊇
≤, ≥
⊂, ⊃
<, >
Definition 4. Sei E 6= ∅, ≤ eine reflexive Halbordnung in E, M ⊆ E.
22
Besonderes Element von E
Definierende Eigenschaft(en)
s ist obere Schranke von M
∀x ∈ M : x ≤ s
s ist untere Schranke von M
∀x ∈ M : x ≥ s
g ≡ sup M ist obere Grenze oder Supremum 1. g ist obere Schranke von M und
oder kleinste obere Schranke von M
2. g ≤ s für jede obere Schranke s von M
g ≡ inf M ist untere Grenze oder Infimum
oder größte untere Schranke von M
1. g ist untere Schranke von M und
2. g ≥ s für jede untere Schranke s von M
m ≡ max M ist größtes Element
oder Maximum von M
1. m ist obere Schranke von M und
2. m ∈ M
m ≡ min M ist kleinstes Element
1. m ist untere Schranke von M und
oder Minimum von M
2. m ∈ M
M heißt nach oben beschränkt, falls M eine obere Schranke besitzt, . . . nach unten beschränkt,
falls M eine untere Schranke besitzt, . . . beschränkt, falls M sowohl nach oben als auch nach
unten beschränkt ist.
Diskussion von g = sup M :
1. bedeutet ∀x ∈ M : x ≤ g
2. bedeutet ∀x ∈ M : x ≤ s −→ g ≤ s
Kontraposition von 2. lautet: s < g −→ ∃x ∈ M : x > s.
Diskussion von g = inf M :
1. bedeutet ∀x ∈ M : x ≥ g
2. bedeutet ∀x ∈ M : x ≥ s −→ g ≥ s
Kontraposition von 2. lautet: s > g −→ ∃x ∈ M : x < s.
Satz 1.
1. Es gibt jeweils höchstens ein (d. h. ein oder kein) sup M , inf M , max M , min M .
2. Existiert max M , so existiert auch sup M und es ist dann max M = sup M ; existiert min M ,
so existiert auch inf M und es ist dann min M = inf M .
3. Es gilt sup M = min{s|s ist obere Schranke von M },
inf M = max{s|s ist untere Schranke von M }.
Beweis. Übung.
Beispiele.
Sei ≤ die natürliche reflexive Ordnung in IR, M eine Teilmenge von IR wie angegeben:
23
M
sup M
inf M
max M
min M
{0}
0
0
0
{1, 2, . . . , n}
n
1
n
IN
/
1
/
[a, b]
b
a
b
]a, b[
b
a
/
IR+ := {x ∈ IR|x > 0}
/
0
/
IR
/
/
/
/ bedeutet hier: Ein solches Element existiert nicht.
0
1
1
a
/
/
/
Definition 5. Eine Äquivalenzrelation ∼ in einer Menge E 6= ∅ ist eine reflexive, transitive
und symmetrische Relation in E. D. h. ∀x, y, z ∈ E :
x ∼ x,
x ∼ y und y ∼ z −→ x ∼ z,
x ∼ y −→ y ∼ x.
Bemerkung. x ∼ y liest man: x ist äquivalent (zu) y. Oft sagt man auch anstelle von
äquivalent: ähnlich, gleichartig, vom gleichen Typ, . . . .
Beispiele.
Menge E 6= ∅
Äquivalenzrelation in E
beliebig
Gleichheit =
Menge der Terme der Aussagenlogik logische Äquivalenz ⇐⇒
Menge der geometrischen Figuren
Kongruenz ∼
= in der Geometrie
(Zwei Figuren heißen kongruent, F1 ∼
= F2 , falls es eine
Bewegung gibt, welche F1 in F2 transformiert.)
Definition 6. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation in E. Die Teilmenge von E
[x] := {y ∈ E|x ∼ y}
heißt die Äquivalenzklasse von x ∈ E.
Satz 2. Es gilt [x] = [y] genau dann, wenn x ∼ y.
Beweis. (−→) [x] = [y] =⇒ y ∈ [x] =⇒ x ∼ y.
(←−) Sei x ∼ y. z ∈ [x] =⇒ z ∼ x ∼ y =⇒ z ∼ y =⇒ z ∈ [y]. Also [x] ⊆ [y]. Analog
[y] ⊆ [x]. Zusammen [x] = [y].
24
Definition 7.
Eine Zerlegung oder Partition einer Menge E 6= ∅ ist eine Menge P von
Teilmengen X, Y, · · · ⊆ E, genannt Klassen, so daß
1. ∅ ∈
/ P. D. h. ∅ ist keine Klasse.
2. ∀X, Y ∈ P : X ∩ Y = ∅ oder X = Y . D. h. die Klassen sind paarweise disjunkt.
S
S
3.
P = E, wobei P := Vereinigung aller Klassen X ∈ P. D. h. jedes x ∈ E ist in
einer Klasse X enthalten.
Ein x ∈ X heißt ein Repräsentant der Klasse X ∈ P.
Mengendiagramm.
E
X
Y
x
Bemerkungen. Logisch äquivalent zu 2. ist X ∩ Y 6= ∅ −→ X = Y .
Für 3. sagt man auch: Die Zerlegung P überdeckt E.
Beispiele.
Menge E
Zerlegung P
Menge aller Schüler x, y, . . . einer Schule
Menge der Klassen X, Y, . . .
im üblichen Sinn
IR
Menge der Invervalle [n, n + 1[ mit n ∈ ZZ
ZZ
Menge der Restklassen [0], [1], . . . [n − 1]
modulo einer festen Zahl n ∈ IN.
Dabei ist [r] := {kn + r|k ∈ ZZ}
für r = 0, 1, . . . , n − 1
r heißt der Rest bei Division
von m = kn + r durch n.
Satz 3. Ist ∼ eine Äquivalenzrelation in E, so ist die Menge der Äquivalenzklassen, genannt
Faktormenge,
P = E/∼ := {[x]|x ∈ E}
eine Zerlegung von E.
Beweis.
1. Jede Klasse ist 6= ∅, denn x ∈ [x].
2. [x] ∩ [y] 6= ∅ =⇒ ∃z ∈ [x] ∩ [y] =⇒ ∃z : z ∈ [x] ∧ z ∈ [y] =⇒ ∃z : x ∼ z ∧ z ∼ y
=⇒ x ∼ y =⇒ [x] = [y]
25
3. Die Klassen überdecken E, denn jedes x ist in einer Klasse, nämlich [x], enthalten.
Satz 4. Ist P eine Zerlegung von E, so ist die durch
x ∼ y :⇐⇒ ∃X ∈ P : x, y ∈ X
definierte Relation ∼, genannt Klassengleichheit, eine Äquivalenzrelation in E.
Beweis.
1. Reflexivität: x ∼ x, da x in der Klasse von x liegt.
2. Transitivität: x ∼ y und y ∼ z bedeutet ∃X ∈ P : x, y ∈ X und ∃Y : P : y, z ∈ Y . Da
y ∈ X ∩ Y 6= ∅ muß X = Y gelten. Aus x, z ∈ X folgt x ∼ z.
3. Symmetrie: x ∼ y =⇒ x liegt in der Klasse von y =⇒ y liegt in der Klasse von x =⇒ y ∼ x.
Satz 5. Hauptsatz über Äquivalenzrelationen:
Äquivalenzrelationen ∼ in E und Zerlegungen P von E entsprechen einander eineindeutig
vermöge
P := E/∼ :≡ {[x]|x ∈ E} mit [x] := {y ∈ E|x ∼ y}
und
x ∼ y :⇐⇒ ∃X ∈ P : x, y ∈ X.
Zum Beweis wäre noch zu zeigen: Die Zuordnungen
Äquivalenzrelation ∼ 7→ Faktormenge P = E/∼
Zerlegung P 7→ Klassengleichheit ∼.
sind Umkehrungen voneinander.
Beispiel.
E = Menge konkreter Dinge, ∼ = Gleichfarbigkeit. Dann ist
[x] = Farbe von x ≡ {y ∈ E | y gleichfarbig zu x},
P = E/∼ = { Rot, Grün, Blau, . . . } = Menge der Farben.
2.5
“Größenvergleich” von Mengen
Idee. Zwei Mengen X, Y sind gleichmächtig, d. h. haben im anschaulichen Sinn gleichviele
Elemente, falls man jedem x ∈ M bijektiv ein y ∈ N zuordnen kann.
M ist mächtiger als N , d. h. M hat im anschaulichen Sinn mehr Elemente als N , falls nicht
M aber eine echte Teilmenge M1 von M gleichmächtig zu N ist.
Definition 1. Eine Menge M ist gleichmächtig zu einer Menge N , M ∼ N , falls es eine
Bijektion F : M −→ N gibt. M ist mächtiger als N , M > N , oder auch N < M , falls nicht
M ∼ N , aber ein M1 ⊂ M mit M1 ∼ N existiert.
26
Beispiele.
1. ZZ ∼ IN vermöge der Bijektion
ZZ = { 0, 1, –1, 2, –2, 3,
↓ ↓
↓
↓
↓
↓
IN = { 1 2
3
4
5
6
2. IR ∼] − 1, 1[ vermöge der Bijektion
–3, . . . }
↓
7 ...}
x 7→ y = tanh x
y
1
x
−1
Satz 1. Eigenschaften der Gleichmächtigkeit:
1. Reflexivität: M ∼ M ,
2. Transitivität: M ∼ N und N ∼ L −→ M ∼ L,
3. Symmetrie: M ∼ N −→ N ∼ M
Folgerung. In jedem nichtleeren Mengensystem (d. h. Menge von Mengen) ist ∼ eine
Äquivalenzrelation.
Beweis.
1. Die identische Abbildung M −→ M , x 7→ x ist eine Bijektion also M ∼ M .
2. M ∼ N und N ∼ L =⇒ ∃ Bijektion F : M −→ N und ∃ Bijektion G : N −→ L
=⇒ ∃F, G : G ◦ F ist Bijektion M −→ L =⇒ M ∼ L.
3. M ∼ N =⇒ ∃ Bijektion F : M −→ N =⇒ ∃F : F −1 ist Bijektion N −→ M
=⇒ N ∼ M .
Satz 2. Eigenschaften der Relation < zwischen Mengen:
Irreflexivität: nicht M < M ,
Transitivität: M < N und N < L −→ M < L.
Folgerung. In jedem nichtleeren Mengensystem ist < eine irreflexive Halbordnung.
Satz 3. Für jede Menge M ist die Potenzmenge von M mächiger als M selbst: M < 2M .
Indirekter Beweis. Angenommen M ∼ 2M =⇒ ∃ Bijektion F : M −→ 2M , x 7→ F (x).
Betrachten dann M0 := {x ∈ M |x ∈
/ F (x)} und x0 := F −1 (M0 ).
27
Die Annahme x0 ∈ M0 führt auf x0 ∈
/ F (x0 ) = M0 . Die entgegengesetzte Annahme x0 ∈
/ M0
führt auf x0 ∈ F (x0 ) = M0 . Da sich in jedem Fall ein Widerspruch ergibt, gilt nicht M ∼ 2M .
Es ist aber M ∼ P := {{x} | x ∈ M } ⊂ 2M .
Folgerung. Zu jeder Menge M gibt es Mengen größerer Mächtigkeit.
Definition 2. Eine Menge M heißt unendlich, falls sie zu einer ihrer echten Teilmengen M1
gleichmächtig ist, d. h. M1 ⊂ M und M1 ∼ M , endlich sonst.
Beispiele. ∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}, . . . sind endliche Mengen.
Die Zahlbereiche IN, ZZ, Q
I , IR sind unendliche Mengen. Beispielsweise ist
IN ∼ {2n|n ∈ IN} vermöge n 7→ 2n,
IR ∼ {x ∈ IR|x > 0} vermöge x 7→ ex .
Geschichte. Die Begriffe “gleichmächtig” und “mächtiger als” waren zunächst die wichtigsten
Innovationen in Cantor’s Mengenlehre (ab 1874). Er führte auch die “Mächtigkeit” als Verallgemeinerung der Elementeanzahl auf beliebig große Mengen ein. Die Mächtigkeiten heißen
auch Kardinalzahlen und man kann mit ihnen rechnen. Die obige Definition einer unendlichen
bzw. endlichen Menge stammt von R. Dedekind (1887).
3
Arithmetik (= Zahlenlehre)
3.1
Idee.
Natürliche Zahlen
1 = Klasse aller Einermengen {a},
2 = Klasse aller echten Zweiermengen {a, b},
3 = Klasse aller echten Dreiermengen {a, b, c} usw..
Definition 1. Konstruktive Definition von IN:
Eine natürliche Zahl ist eine Äquivalenzklasse im System E der nichtleeren endlichen Mengen
bezüglich der Gleichmächtigkeit ∼, d. h. ein Element von IN := E/∼ . Man setzt
|M | := Äquivalenzklasse von M ∈ E bezüglich ∼.
|M | heißt auch Elementeanzahl von M .
Beispiele.
1 = |{a}|,
2 = |{a, b}| falls a 6= b,
3 = |{a, b, c}| falls a 6= b, a 6= c, b 6= c
usw..
28
Definition 2. Arithmetik zur konstruktiven Definition von IN:
Für nichtleere endliche Mengen M , N setzt man
|M | + |N | := |M ∪ N |, wenn M ∩ N = ∅,
|M | · |N | := |M × N |,
|M | < |N | :⇐⇒ M < N (d. h. N ist mächtiger als M ).
Bemerkung. Zur Rechtfertigung dieser Definition ist zu zeigen, daß |M ∪ N |, |M × N | sowie
die Gültigkeit von M < N nur von |M |, |N | und nicht von der Wahl der Repräsentanten M, N
abhängen.
Definition 3.
sonst.
Eine unendliche Menge M heißt abzählbar, falls M ∼ IN gilt, überabzählbar
Folgerung. Klassifikation aller Mengen:
endlich
Menge
abzählbar
HH
H
unendlich
} höchstens abzählbar
H
HH
überabzählbar
Bemerkung. M ist genau dann abzählbar, falls sich alle Elemente von M als eine unendliche
Folge x1 , x2 , x3 , . . . mit paarweise verschiedenen Gliedern, d. h. xn 6= xm für n 6= m, anordnen
lassen. Denn eine solche Folge ist eine Bijektion IN −→ M , n 7→ xn ; deren Existenz bedeutet
IN ∼ M . Dann ist auch M ∼ IN.
Definition 4. Axiomatische Definition von IN (nach G. Peano 1891):
I.
1 ist eine natürliche Zahl. 1 ∈ IN.
II. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n0 .
∀n ∃!m : n0 = m.
III. Jede natürliche Zahl hat höchstens einen Vorgänger.
∀n, m : n0 = m0 −→ n = m.
IV. 1 hat keinen Vorgänger.
¬∃n : n0 = 1.
V. Induktionsaxiom: Enthält M ⊆ IN die 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch den
Nachfolger n0 , so ist M = IN.
∀M (M ⊆ IN ∧ 1 ∈ M ∧ (n ∈ M −→ n0 ∈ M ) −→ M = IN).
Satz 1. Prinzip des Beweisens durch vollständige Induktion:
Sei A ein Prädikat natürlicher Zahlen. Aus A(1) und ∀n ∈ IN : A(n) −→ A(n0 ) folgt
29
∀n ∈ IN : A(n).
Beweis. M := {n ∈ IN|A(n)} erfüllt nach Voraussetzung das Induktionsaxiom
=⇒ M = IN =⇒ Behauptung ∀n ∈ IN : A(n).
Bemerkung. In Satz 1 heißt A(1) Induktionsanfang, A(n) Induktionsvoraussetzung,
A(n0 ) Induktionsbehauptung, der Beweis von A(n) −→ A(n0 ) Induktionsschritt.
Satz 2. Prinzip der rekursiven Definition:
Zu einer Menge M 6= ∅, einem Anfangselement a ∈ M und einer Abbildung F : M −→ M gibt
es genau eine Abbildung IN −→ M , n 7→ xn mit
x1 = a und xn0 = F (xn ).
Anschaulicher Beweis. Definieren Prädikat A durch A(n) :⇐⇒ xn ist eindeutig berechenbar.
A(1) ist wahr, denn x1 = a. A(n) −→ A(n0 ) ist wahr, denn xn0 = F (xn ). Nach Satz 1 gilt
∀n ∈ IN : A(n).
Bemerkung. In Satz 2 heißt x1 = a Rekursionsanfang, xn0 = F (xn ) Rekursionsschritt.
Definition 5. Arithmetik zur axiomatischen Definition von IN.
Addition +, Multiplikation · und Potenzieren werden wie folgt rekursiv definiert. Dabei sei
m ∈ IN beliebig.
Operation in IN
Addition m + n
Multiplikation m · n
Potenzieren mn
Rekursionsanfang
Rekursionsschritt
m + 1 := m0
m · 1 := m
m1 := m
m + n0 := (m + n)0
m · n0 := mn + m
0
mn := mn · m
Die Kleiner–Relation < und die Teilbarkeit | werden mittels + bzw. · definiert.
m ist kleiner als n, m < n, falls ∃l : m + l = n. m teilt n, m|n, falls ∃l : m · l = n.
Geschichte. Schon das vorwissenschaftliche Denken geht mit natürlichen Zahlen um. Die
Fähigkeit dazu ist dem Menschen angeboren. Die oben angegebenen üblichen Axiome der
natürlichen Zahlen stammen von Guiseppe Peano (1891), mit Richard Dedekind (1888)
und Hermann Grassmann (1861) als Vorläufer. Alle drei Autoren behandelten das Prinzip
der vollständigen Induktion.
3.2
Ganze und rationale Zahlen
Idee. Ganze Zahl
:= Differenz m − n natürlicher Zahlen m, n
30
:≡ Äquivalenzklasse von Zahlenpaaren (m, n) bezüglich der Differenzengleichheit ∼, definiert
durch
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇐⇒ m1 − n1 = m2 − n2 :⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1
Definition 1. Konstruktive Definition von ZZ:
Eine ganze Zahl ist eine Äquivalenzklasse in IN × IN bezüglich der durch
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) :⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1
definierten Äquivalenzrelation ∼; d. h. ein Element von ZZ := IN × IN/∼ . Die Äquivalenzklasse
von (m, n) heißt auch Differenz m − n. Es sei n ∈ IN mit (n + 1) − 1 ∈ ZZ identifiziert und so
eine Einbettung IN ⊂ ZZ definiert.
Definition 2. Arithmetik zur konstruktiven Definition von ZZ:
Für m, n, k, l ∈ IN setzt man
(m − n) + (k − l) := (m + k) − (n + l),
(m − n) · (k − l) := (mk + nl) − (ml + nk),
m − n ≤ k − l :⇐⇒ m + l ≤ k + n.
Bemerkung. Zur Rechtfertigung dieser Definition ist zu zeigen, daß die Ausdrücke nur von
m − n, k − l und nicht von der Wahl der Repräsentanten (m, n), (k, l) abhängen.
Definition 3. Axiomatische Definition von ZZ:
I. (ZZ, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1. D. h. es gelten
Axiome der Addition:
Kommutativgesetz: m + n = n + m,
Assoziativgesetz: (m + n) + l = m + (n + l),
Existenz der Null: ∃0 ∈ ZZ ∀n ∈ ZZ : n + 0 = 0 + n = n,
Existenz der entgegengesetzten Zahl: ∀n ∈ ZZ ∃ − n ∈ ZZ : n + (−n) = (−n) + n = 0.
Axiome der Multiplikation:
Kommutativgesetz: m · n = n · m,
Assoziativgesetz: (m · n) · l = m · (n · l),
Distributivgesetz: m · (n + l) = m · n + m · l,
Einselement: 1 · n = n · 1 = n, 1 6= 0.
II. (ZZ, +, ·) ist der kleinste kommutative Ring mit Einselement 1, der (IN, +, ·) enthält.
D. h. jeder kommutative Ring mit 1, der (IN, +, ·) enthält, enthält auch (ZZ, +, ·).
Definition 4.
m − n := m + (−n),
n < m :⇐⇒ m − n ∈ IN.
Bemerkung. Oft kürzt man ab mn := m · n.
Idee. Rationale Zahl
31
:= Quotient
m
n
ganzer Zahlen m, n mit n 6= 0
:≡ Äquivalenzklasse von Zahlenpaaren (m, n) bezüglich der Quotientengleichheit ∼,
definiert durch
1
2
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇐⇒ m
=m
:⇐⇒ m1 n2 = m2 n1
n1
n2
Definition 5. Konstruktive Definition von Q
I:
Eine rationale Zahl ist eine Äquivalenzklasse in ZZ × (ZZ \ {0}) bezüglich der durch
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) :⇐⇒ m1 n2 = m2 n1
definierten Äquivalenzrelation ∼, d. h. ein Element von Q
I := ZZ × (ZZ \ {0})/∼ . Die Äquivam
lenzklasse von (m, n) heißt auch Quotient n . Es sei n ∈ Z mit n1 ∈ Q
I identifiziert und so eine
Einbettung ZZ ⊂ Q
I definiert.
Definition 6. Arithmetik zur konstruktiven Definition von Q
I:
Für m, k ∈ ZZ und n, l ∈ IN setzt man
m
+
n
m
·
n
m
≤
n
k
ml + kn
:=
,
l
nl
k
mk
:=
,
l
nl
k
:⇐⇒ ml ≤ kn.
l
Bemerkung. Auch diese Definition ist zu rechtfertigen.
Definition 7. Axiomatische Definition von Q
I:
I. (Q
I , +, ·, ≤) ist ein geordneter Körper. D. h. es gelten
Axiome der Addition:
Kommutativgesetz: a + b = b + a,
Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c),
Existenz der Null: ∃0 ∈ Q
I ∀a ∈ Q
I : a + 0 = 0 + a = a,
Existenz der entgegengesetzten Zahl: ∀a ∈ Q
I ∃−a∈Q
I : a + (−a) = (−a) + a = 0.
Axiome der Multiplikation:
Kommutativgesetz: a · b = b · a,
Assoziativgesetz: (a · b) · c = a · (b · c),
Einselement: ∃1 ∈ Q
I ∀a ∈ Q
I : a · 1 = 1 · a = a, 1 6= 0,
Existenz der reziproken Zahl: ∀a ∈ Q
I mit a 6= 0 ∃ a1 ∈ Q
I : a · a1 = a1 · a = 1,
Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c.
32
II.
Axiome der Anordnung:
Reflexivität: a ≤ a,
Transitivität: a ≤ b und b ≤ c −→ a ≤ c,
Antisymmetrie: a ≤ b und b ≤ a −→ a = b,
Linearität: a ≤ b oder b ≤ a,
Monotonie von + : a ≤ b −→ a + c ≤ b + c,
Monotonie von · : a ≤ b und 0 ≤ c −→ a · c ≤ b · c.
(Q
I , +, ·) ist der kleinste Körper, der (ZZ, +, ·) enthält. D. h. jeder Körper,
der (ZZ, +, ·) enthält, enthält auch (Q
I , +, ·).
a
Definition 8.
a − b := a + (−b),
:= a · 1b für b 6= 0,
b
a < b :⇐⇒ a ≤ b und a 6= b,
a ≥ b :⇐⇒ b ≤ a,
a > b :⇐⇒ a ≥ b und a 6= b.
Satz 1. ZZ und Q
I sind abzählbar.
Beweis.
1. Die Elemente von ZZ lassen sich zu einer unendlichen Folge anordnen: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . .
2. Alle positiven rationalen Zahlen, also alle Elemente von Q
I + := {x ∈ Q
I | x > 0} lassen sich
folgendermaßen zu einer unendlichen Folge anordnen:
• Man arrangiere die Brüche wie eine unendliche Matrix:
1
,
1
1
,
2
1
,
3
...
2
,
1
2
,
2
2
,
3
...
3
,
1
3
,
2
3
,
3
...
• Man numeriere die Matrixelemente in der Reihenfolge
1
2
.
3
4
.
5
.
6
7 ...
.
8 ...
.
9 ...
.
10 . . .
• Man modifiziere die Numerierung, indem man nicht teilerfremde Brüche
diese Weise wird Q
I + als Folge angeordnet:
1, 12 , 2, 13 , 3, 14 , 23 , 32 , 4, . . . .
m
n
überspringt. Auf
Bemerkung. Die Numerierung im obigen Beweis heißt Abzählung nach Diagonalen oder
1. Cantorsches Diagonalverfahren.
33
Geschichte.
Schon die alten Babylonier, Ägypter und Inder rechneten mit ganzen und
rationalen Zahlen. H. Grassmann (1809–1877), R. Dedekind (1831–1916) und andere begründeten die moderne Arithmetik der ganzen und rationalen Zahlen. Die oben verwendeten
Begriffe Ring, kommutativer Ring, Körper, geordneter Körper sind Grundbegriffe der Allgemeinen Algebra, welche sich parallel zur Arithmetik im 19. Jahrhundert herausbildete.
3.3
Reelle Zahlen
Definition 1. Axiomatische Definition von IR:
I.
(IR, +, ·, ≤) ist ein geordneter Körper. D. h. es gelten
Axiome der Addition, Axiome der Multiplikation, Axiome der Anordnung
wörtlich wie für (Q
I , +, ·, ≤).
II. Vollständigkeitsaxiom oder auch Axiom der oberen Grenze: Jede nach oben beschränkte
nichtleere Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum.
∅=
6 M ⊂ IR und ∃s ∈ IR ∀x ∈ M : x ≤ s −→ sup M existiert.
III. (IR, +, ·, ≤) ist der kleinste vollständige (d. h. dem Vollständigkeitsaxiom genügende)
geordnete Körper, der (ZZ, +, ·, ≤) enthält. D. h. jeder solche Körper enthält auch
(IR, +, ·, ≤).
a
Definition 2.
a − b := a + (−b),
:= a · 1b für b 6= 0,
b
a < b :⇐⇒ a ≤ b und a 6= b,
a ≥ b :⇐⇒ b ≤ a,
a > b :⇐⇒ a ≥ b und a 6= b.
Satz 1. Archimedisches “Axiom”:
(IR, +, ·, ≤) ist ein archimedischer Körper, d. h.
∀a, b ∈ IR mit a > 0, b > 0 ∃n ∈ IN : na > b.
Indirekter Beweis. Angenommen, die Behauptung gilt nicht, d. h. ∃a, b ∈ IR mit a > 0, b >
0, ∀n ∈ IN : na ≤ b. Dann ist das Vollständigkeitsaxiom auf M := {na|n ∈ IN} anwendbar; sei
g := sup M . Zum einen ist g eine obere Schranke von M , d. h. ∀n ∈ IN : na ≤ g. Zum anderen
ist die kleinere Zahl g − a keine obere Schranke von M , d. h. ∃m ∈ IN : ma > g − a, äquivalent
(m + 1)a > g. Beide Sätze zusammen ergeben einen Widerspruch, wenn man n = m + 1 setzt.
Satz 2. Dichtheit von Q
I in IR:
Es gibt isomorphe (d. h. strukturerhaltende) Einbettungen IN ⊂ ZZ ⊂ Q
I ⊂ IR. Dabei ist Q
I dicht
in IR, d. h. zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen a, b liegt stets eine rationale Zahl r:
∀a, b ∈ IR : a < b −→ ∃r ∈ Q
I : a < r < b.
Beweis Übung.
34
Zusatz. Den Axiomen für das Rechnen mit reellen Zahlen wird noch ein “Geometrie–Axiom”
hinzugefügt, welches wir hier nur anschaulich beschreiben: Die reellen Zahlen lassen sich durch
die Punkte einer beliebig fest gewählten Gerade g Anschauungsraum treu darstellen. D. h.
es gibt eine Bijektion IR −→ g, welche “rechnerische” Sachverhalte in IR als geometrische
Sachverhalte in g darstellt (und umgekehrt). Wenn a < b, so liegt der Punkt zu a links von
dem Punkt zu b (und umgekehrt). Dann ist b − a gleich dem Abstand der beiden Punkte auf
g.
Geschichte. Die alten Griechen haben nur die rationalen Zahlen als “Zahlen” anerkannt.
Sie wußten schon, daß jede “Zahl” als die Länge einer Strecke auftritt, aber nicht umgekehrt.
Die Menge Q
I der rationalen Zahlen ist im anschaulichen Sinn “lückenhaft”. Durch Ausfüllen
der Lücken gelangt man auf konstruktive Weise zur Menge IR der reellen Zahlen. Diese “Vervollständigung” kann auf verschiedene Weise bewerkstelligt werden. Früher benutzte man häufig
sogenannte Dedekindsche Schnitte (nach R. Dedekind, 1872); heute bevorzugt man das Axiom
der oberen Grenze. Im Verlauf des Mathematikstudiums werden noch andere Möglichkeiten der
Vervollständigung behandelt.
Definition 3. (Wiederholung.)
Betrachten eine Teilmenge M ⊆ IR.
Besondere Zahl
Definierende Eigenschaft(en)
s ist obere Schranke von M
∀x ∈ M : x ≤ s
s ist untere Schranke von M
∀x ∈ M : x ≥ s
g ≡ sup M ist obere Grenze oder Supremum 1. g ist obere Schranke von M und
oder kleinste obere Schranke von M
2. ∀ε > 0 ∃x ∈ M : x > g − ε
g ≡ inf M ist untere Grenze oder Infimum
oder größte untere Schranke von M
1. g ist untere Schranke von M und
2. ∀ε > 0 ∃x ∈ M : x < g + ε
m ≡ max M ist größtes Element
oder Maximum von M
1. m ist obere Schranke von M und
2. m ∈ M
m ≡ min M ist kleinstes Element
oder Minimum von M
1. m ist untere Schranke von M und
2. m ∈ M
Beispiele.
1. M = { n1 |n ∈ IN} hat sup M = max M = 1; inf M = 0; min M existiert nicht.
Beweis von inf M = 0.
1. 0 ist untere Schranke von M .
2. Jede größere Zahl 0 + ε ist nicht mehr untere Schranke: Nämlich ∃x ∈ M : x < 0 + ε ⇐⇒
∃n ∈ IN : n1 < ε ⇐⇒ n > 1ε . Solche n existieren nach dem Archimedischen Axiom.
1
2. M = {1 − 2n+1
| n ∈ IN} hat sup M = 1; max M existiert nicht; inf M = min M = 23 .
Beweis von sup M = 1.
35
1. ∀n ∈ IN : 1 −
1
2n+1
< 1 =⇒ 1 ist obere Schranke von M .
1
2. Jeder kleinere Zahl 1 − ε ist nicht mehr obere Schranke: Nämlich 1 − 2n+1
> 1 − ε ⇐⇒
1
1
1−ε
<
ε
⇐⇒
2n
+
1
>
⇐⇒
n
>
.
Solche
n
existieren
nach
dem
Archimedischen
Axiom.
2n+1
ε
2ε
Definition 4. “Uneigentlicher” Gebrauch von sup und inf:
Ist M ⊆ IR nicht nach oben beschränkt, so setzt man sup M = +∞. Ist M ⊆ IR nicht nach
unten beschränkt, so setzt man inf M = −∞.
3.4
Ungleichungen
Satz 1. Elementare Ungleichungen:
a+b
a < b −→ a <
< b,
Es gilt für a, b ∈ IR:
2
-
a
a+b
2
ab ≤
a+b
2
2
b
≤
a2 + b 2
,
2
wobei a2 := a · a, b2 := b · b usw.
Beweis.
a
b
a < b =⇒ <
2
2
(
+ a2
+ 2b
=⇒
(
a<
a+b
2
a+b
2
<b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
+ : (a + b)2 ≤ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 )
− : (a + b)2 ≥ (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
=⇒ 4ab ≤ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) =⇒ Behauptung.
36
Definition 1. Beschränkte Intervalle reeller Zahlen:
Abgeschlossenes Intervall
[a, b] := {x ∈ IR|a ≤ x ≤ b}.
-
a
Offenes Intervall
b
x
]a, b[:= {x ∈ IR|a < x < b}.
-
a
Halboffene Intervalle
b
x
[a, b[:= {x ∈ IR|a ≤ x < b},
]a, b] := {x ∈ IR|a < x ≤ b}.
-
a
b
[a, +∞[:= {x ∈ IR|x ≥ a},
]a, +∞[:= {x ∈ IR|x > a},
] − ∞, b] := {x ∈ IR|x ≤ b},
] − ∞, b[:= {x ∈ IR|x < b},
] − ∞, +∞[:= IR.
Unbeschränkte Intervalle reeller Zahlen:
Definition 2.
Der (Absolut–)Betrag von x ist
|x| :=
Das Vorzeichen oder Signum von x ist
Satz 2. Eigenschaften
Positive Definitheit:
Dreiecksungleichung:
Multiplikativität:
x für x ≥ 0
−x für x < 0

 1 für x > 0
0 für x = 0
sgn x :=

−1 für x < 0
von | | und sgn .
|x| ≥ 0 und |x| = 0 gdw. x = 0,
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|,
|x · y| = |x| · |y|,
x = (sgn x) · |x|, |x| = (sgn x) · x
Beweis der Dreiecksungleichung:
x ≤ |x|
−x ≤ |x|
y ≤ |y|
−y ≤ |y|
addiert x + y ≤ |x| + |y| −(x + y) ≤ |x| + |y|
Eine der beiden linken Seiten ist |x + y|. =⇒ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Weiter
37
x
|x| ≡ |(x + y) − y| ≤ |x + y| + | − y| = |x + y| + |y|
=⇒ |x| − |y| ≤ |x + y|.
Analog |y| − |x| ≤ |x + y|.
Eine der beiden linken Seiten ist ||x| − |y||.
=⇒ ||x| − |y|| ≤ |x + y|.
Definition 3. Uε (x0 ) :=]x0 − ε, x0 + ε[ mit ε > 0 heißt auch ε–Umgebung von x0 .
-
x0 − ε
x0
x0 + ε
x
Satz 3. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
x ∈ Uε (x0 ),
x0 ∈ Uε (x),
−ε < x − x0 < ε,
−ε < x0 − x < ε,
|x − x0 | < ε.
Dann ist auch ||x| − |x0 || < ε.
Beweis.
x ∈ Uε (x0 )≡]x0 − ε, x0 + ε[ ⇐⇒ x0 − ε < x < x0 + ε ⇐⇒ −ε < x − x0 < ε ⇐⇒ x − x0 <
ε und x0 − x < ε ⇐⇒ |x − x0 | < ε.
In der letzten Bedingung können x, x0 vertauscht werden. Beachte noch ||x| − |x0 || ≤ |x − x0 |.
Definition 4. Grundbegriffe der Fehlerrechnung:
Sei x0 ein (im allgemeinen unbekannter) exakter Wert, x ein (im allgemeinen bekannter)
Näherungswert einer Größe. Man schreibt dann auch x ≈ x0 .
x − x0 heißt (absoluter) Fehler.
x−x0
im Falle x0 6= 0 heißt relativer Fehler.
x0
Wenn |x − x0 | ≤ ε ist, so heißt ε eine (absolute) Fehlerschranke. Man schreibt dann auch
x0 = x ± ε.
Bemerkungen.
1. Der relative Fehler ist dimensionslos (d. h. eine reine Zahl ohne Maßeinheit) und kann
deshalb auch in 0/0 oder 0/00 angegeben werden.
2. Ist ε eine Fehlerschranke, so ist jede größere Zahl ebenfalls eine Fehlerschranke.
38
Definition 5. Aufgabe der Fehlerabschätzung:
Gegeben. Näherungswerte x, y, . . .
Fehlerschranken ε, η, . . . , d. h. |x − x0 | ≤ ε, |y − y0 | ≤ η, . . . .
Funktion f von x oder x, y oder . . .
Gesucht. Brauchbare Fehlerschranken für f (x) oder f (x, y) oder . . . .
Dabei sei noch |x|, |x0 | > ε, |y|, |y0 | > η, . . . angenommen.
Beispiele.
1. Betrachten f (x) = x2 .
|x2 − x20 | = |(x − x0 )(x + x0 )| = |x − x0 | · |x + x0 | < ε(|x| + |x0 |) < ε(2|x| + ε) = 2ε|x| + ε2
Hierbei wurde verwendet |x − x0 | ≤ ε, |x + x0 | ≤ |x| + |x0 |, |x0 | ≤ |x| + ε.
Der Summand ε2 kann praktisch vernachlässigt werden.
2. Betrachten f (x, y) = xy .
x
y −
≤
x0 y0 xy0 −x0 y xy0 −xy+xy−x0 y x(y0 −y)+(x−x0 )y = yy0 = =
≤
yy0
yy0
η|x|+ε|y|
|y||y0 |
≤
|x||y0 −y|+|x−x0 ||y|
|y||y0 |
≤
η|x|+ε|y|
|y|(|y|−η) .
Praktisch kann hier im Nenner |y| − η durch |y| ersetzt werden.
3.5
Summen und Produkte
Definition 1. Eine (unendliche) Folge mit Werten in einer Menge E 6= ∅ ist eine Abbildung
IN −→ E, n 7→ an . Eine endliche Folge mit Werten in E ist eine Abbildung {1, 2, . . . , n} −→ E,
k 7→ ak .
Definition 2. Rekursive Definitionen.
Seien a, a1 , a2 , · · · ∈ IR. Die Summe
n
X
ak ≡ a1 + a2 + · · · + an
k=1
ist rekursiv definiert durch
1
X
ak := a1 ,
k=1
Ferner sei
n+1
X
ak :=
k=1
n
X
ak :=
k=m+1
39
ak + an+1 .
k=1
n−m
X
l=1
Das Produkt
n
X
al+m .
n
Y
ak ≡ a1 · a2 · · · · · an
k=1
ist rekursiv definiert durch
1
Y
ak := a1 ,
n+1
Y
n
Y
ak :=
k=1
k=1
ak
!
· an+1 .
k=1
Ferner sei für n, m ∈ IN, n > m
an :=
n
Y
a,
n
Y
a−n := (an )−1 ,
k=1
ak :=
k=m+1
n−m
Y
al+m .
l=1
Zusatz zu Definition 1. Eine (unendliche) Doppelfolge mit Werten in E ist eine Abbildung
IN × IN −→ E, (m, n) 7→ amn . Eine endliche Doppelfolge mit Werten in E ist eine Abbildung
{1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} −→ E, (k, l) 7→ akl .
P
Q
Satz 1. Gesetze für
und :
n
m
n
P
P
P
ak =
ak +
ak
k=1
n
P
k=1
m
P
k=1
k=m+1
(ak + bk ) =
k=1
n
P
ak +
k=1
n
P
l=1
akl
n
Q
=
n
P
l=1
n
P
n
Q
bk
k=1
m
P
akl
ak =
k=1
m
Q
k=1
(ak · bk ) =
n
Q
ak ·
ak
k=m+1
k=1
m
Q
k=1
n
Q
n Q
ak ·
bk
n
Q
k=1
k=1
n
Q
akl
l=1
=
l=1
(ab)n = an bn
an+m = an am
(an )m = an·m
Beweise durch vollständige Induktion.
Beispiele von Summenformeln:
n
n
P
P
(2k − 1) = n2 ,
k = 12 n(n + 1),
k=1
n
P
k=1
k=1
k 2 = 61 n(n + 1)(2n + 1),
n
P
qk =
k=0
1−q n+1
1−q
Beweise durch vollständige Induktion.
40
für q 6= 1.
k=1
m
Q
k=1
akl
Alternativ: Trick von C. F. Gauss (als Schüler!):
n
P
Für gerades n:
k =1
+2
+...
+
k=1
n
2
n
2
+
+1
+n
+ (n − 1) + . . .
+
= (n + 1)
+ (n + 1)
+ (n + 1)
=
n
2
+...
n
2
(n + 1)
− mal
Für ungerades n ist
n
X
k=1
k=
n−1
X
k + n=
k=1
n−1
n
n + n = (n + 1).
2
2
Trick von Archimedes zur Berechnung von sn :=
n
P
q k für q 6= 1:
k=1
sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n
qsn =
q + q 2 + · · · + q n + q n+1
Differenz sn − qsn ≡ (1 − q)sn = 1 − q n+1
1 − q n+1
=⇒ sn =
1−q
Definition 3. Spezielle Produkte:
n Fakultät für n ∈ IN ist die Zahl
n! :=
n
Y
k ≡ 1 · 2 · · · n.
k=1
Zusätzlich ist 0! := 1.
Der Binomialkoeffizient n über k für n, k = 0, 1, 2, . . . ist
n
n!
.
:=
k
k!(n − k)!
Der Binomialkoeffizient x über k für x ∈ IR, k ∈ IN ist
k
x
1 Y
x · (x − 1) · · · (x − k + 1)
:=
(x − l + 1) ≡
.
k
k! l=1
1 · 2···k
Zusätzlich ist
x
0
:= 1 für x ∈ IR.
Bemerkung. Die Definitionen von
n
k
,
x
k
,
x
0
41
sind miteinander verträglich.
Beispiele.
5·4·3
5
= 1·2·3 = 10,
3
n
n−k
Satz 2. Es gilt
1
2
3
=
=
n
k
1
· 12 −1
2
(
)·( 12 −2)
1·2·3
und
n−1
k−1
+
=
n−1
k
1
.
16
n
k
=
für n, k ∈ IN.
Beweis. Übung.
Bemerkung. Die Rekursionsgleichung von Satz 2 und die Anfangsbedingung n0 = 1 bestimmen zusammen die Binomialkoeffizienten eindeutig. Darauf beruht ein Schema der Binomialkoeffizienten, genannt Pascalsches Dreieck:
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
4
5
3
1
6
4
10
10
1
5
1
...
Satz 3. Binomischer Lehrsatz.
Für a, b ∈ IR und n ∈ IN ist
n X
n n−k k
n n−2 2
n 2 n−2
n
n
n−1
(a + b) =
a b ≡ a + na b +
a b + ··· +
ab
+ nabn−1 + bn .
k
2
2
k=0
Der Beweis benutzt Satz 2 und vollständige Induktion bezüglich n.
Speziell für n = 1, 2, 3 erhält man
(a + b)1 = a + b,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
Satz 4. Lagrangesche Identität.
n
X
k,l=1

(ak bl − al bk )2 = 2 
Beweis. Man wende
n
P
n
X
a2k
!
k=1
·
n
X
l=1
b2l
!
−
n
X
k=1
ak b k
!2 
.
auf (ak bl − al bk )2 = a2k b2l + a2l b2k − 2(ak bk )(al bl ) an.
k,l=1
42
Satz 5. Wichtige Ungleichungen:
1. Verallgemeinerte Dreiecksungleichung:
n
n
X
X
|ak |.
ak ≤
k=1
k=1
2. Schwarzsche Ungleichung:
n
X
ak b k
k=1
!2
≤
n
X
a2k
!
n
X
·
k=1
b2k
!
.
k=1
3. Bernoullische Ungleichung:
(1 + a)n > 1 + na für 1 + a > 0, n ∈ IN.
Beweis.
1. Durch vollständige Induktion.
2. Aus der Lagrangeschen Identität folgt die zu 2. äquivalente Abschätzung
!
!
!2
n
n
n
X
X
X
0≤
a2k ·
b2l −
ak b k .
k=1
l=1
k=1
3. Durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: (1 + a)1 = 1 + 1 · a richtig.
Induktionsschritt: (1+a)n+1 = (1+a)(1+a)n ≥ (1+a)(1+na) = 1+na+a+na2 ≥ 1+(n+1)a
Geschichte. Archimedes lebte 287–212 v.u.Z.. Carl Friedrich Gauss lebte 1777–1855.
Das Pascalsche Dreieck ist nach Blaise Pascal (1623–1662) benannt, die Bernoullische Ungleichung nach Jakob I. Bernoulli (1654–1705), die Schwarzsche Ungleichung nach Hermann
Amandus Schwarz (1843–1921).
3.6
Wurzeln, Potenzen mit rationalem Exponenten
Definition 1.
xn = a.
Sei n ∈ IN. Die n–te Wurzel aus a > 0 ist die Zahl x =:
√
n
a mit x > 0 und
Satz 1. Rechtfertigung von Definition 1: Existenz und Eindeutigkeit der n–ten Wurzel.
∀a ∈ IR mit a > 0 ∀n ∈ IN ∃! x ∈ IR : x > 0 und xn = a.
Idee. x = sup M mit M := {z ∈ IR | z > 0 und z n ≤ a}.
43
Beweis.
Fall a ≥ 1: 1 ≤ a =⇒ 1n ≤ a =⇒ 1 ∈ M =⇒ M 6= ∅.
Wenden auf den Schluß z > a =⇒ z n > an ≥ a =⇒ z ∈
/ M Kontraposition an und erhalten
z ∈ M =⇒ z ≤ a. Das heißt, a ist obere Schranke von M . =⇒ x := sup M existiert.
Angenommen xn > a. Dann gibt es ein ε > 0, so daß noch x − ε > 0 und (x − ε)n ≥ a.
n
≥ xn 1 − n xε ≡ xn − nεxn−1 ≥ a? Hierbei wurde die
Probieren: (x − ε)n = xn 1 − xε
xn −a
Bernoullische Ungleichung benutzt. Wählen also etwa ε < x und ε ≤ nx
n−1 . Nach Definition
n
n
von x = sup M ∃z ∈ M : z > x − ε > 0 =⇒ z > (x − ε) ≥ a. Widerspruch zur Definition
von M .
Angenommen xn < a ⇐⇒ x0 n > a0 mit x0 := x1 , a0 := a1 . Nach obiger Konstruktion gibt es
ein ε0 mit x0 − ε0 > 0 und (x0 − ε0 )n ≥ a0 =⇒ x + ε := (x0 − ε0 )−1 definiert ein ε > 0 mit
(x + ε)n = (x0 − ε0 )−n ≤ (a0 )−1 = a. =⇒ x + ε ∈ M =⇒ x ist nicht obere Schranke von M und
damit nicht sup M . Widerspruch!
Also ist xn = a.
Der Fall 0 < a < 1 wird durch a0 := a1 , x0 := x1 , x0 n = a0 n auf den obigen Fall zurückgeführt.
Zeigen noch die Eindeutigkeit: Angenommen xn1 = a, xn2 = a und etwa 0 < x1 < x2 =⇒ 0 <
a = xn1 < xn2 = a. Widerspruch! Also ist x1 = x2 .
Spezialfälle.
√
n
0 := 0,
√
1
a := a,
√
a :=
√
2
a.
Bemerkung. Die Gleichung xn = a hat folgende Lösungsmenge in den angegebenen Fällen:
n gerade
n ungerade
√
n
a>0
√
a, − n a
√
n
a
Satz 2. Wurzelgesetze:
Für 0 < a, b ∈ IR und n, m ∈ IN ist
r
√
n
√
√
√
√
√ m
a
a
n
n
n
n
a · b = a · b,
= √
, n am = n a ,
n
b
b
a<0
−
q
n
∅
p
n
√
m
|a|
a=
q
m
√
n
a=
√
m·n
a,
√
n
an = a.
Definition 2. Potenz mit rationalem Exponenten:
√
n
r
Für 0 < a ∈ IR, r = m
∈
Q
I
mit
m
∈
Z
Z
und
n
∈
IN
sei
a
:=
am .
n
Rechtfertigung. Die Definition ist unabhängig von der Darstellung von r als Bruch.
qp Wenn
√
= kl mit m, k ∈ ZZ und n, l ∈ IN, so ist ml = kn =⇒ n am = n l (am )l =
nämlich r = m
n
qp
p
p
p
√
√
√
√l
n l
n l
l n
ml
kn
kn
a =
a =
a = l n (ak )n = ak .
44
Satz 3. Potenzgesetze für rationale Exponenten:
Für 0 < a, b ∈ IR und r, s ∈ Q
I ist
a r ar
= r,
ar+s = ar as , (ab)r = ar br ,
b
b
(ar )s = ar·s ,
a−r =
1
,
ar
<
>
0 < a < b −→ ar = br je nachdem, ob r = 0,
>
<
<
>
r < s −→ ar = as je nachdem, ob a = 1.
>
<
Definition 3. Arithmetisches Mittel A, geometrisches Mittel G, harmonisches Mittel H von
zwei Zahlen a, b > 0 sind
A :=
a+b
,
2
G :=
√
a · b,
H :=
1
a
2
.
+ 1b
. . . von n Zahlen a1 , a2 , . . . , an > 0 sind
A :=
a1 + a2 + · · · + an
,
n
G :=
√
n
a1 · a2 · · · an ,
H :=
1
a1
+
1
a2
n
+ ··· +
Satz 4. Jeder der Mittelwerte M = A, G, H genügt min ak ≤ M ≤ max ak .
1≤k≤n
1≤k≤n
Ferner gilt H ≤ G ≤ A.
Beweis der letzten Formel für
n = 2:
2
√
a
+
b
a+b
Schon gezeigt
ab ≤
=⇒ G = ab ≤
= A.
2
2
r
1
+1
1
1 1
1
Weiter
= a b ≥
· =
=⇒ H ≤ G.
H
2
a b
G
Beispiel. Sei an = n. Dann ist
v
u n
n
√
uY
1X
1 1
n+1
n
n
k ≡ n! ≤ A =
k = · · n(n + 1) =
G= t
n k=1
n 2
2
k=1
=⇒ Ungleichung n! ≤
45
n+1
2
n
für n ≥ 2.
1
an
.

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