Wiederholung der 2. Schularbeit aus Mathematik und Angewandte

Wiederholung der 2. Schularbeit aus
Mathematik und Angewandte Mathematik
Montag, 11. April 2016
5. Jahrgänge
NAME: ………………………………………………………
Punkte: ………. von 40
Note: ………………………………………………………..
Notenschlüssel
Sehr Gut
Gut
Befriedigend
Genügend
Nicht Genügend
40
35
30
25
19
36
31
26
20
0
Löse die Beispiele mit oder ohne Zuhilfenahme von GeoGebra (außer anderes ist angegeben!).
Dokumentiere die Lösungen der Beispiele sauber, gib jeweils immer Antworten in ganzen Sätzen!
Drucke die jeweiligen Dateien/Screenshots aus.
Alle erstellten Dateien unter Abgabe_SA in einen eigenen Ordner (NAME) abgeben.
1
a) Die Flugbahn eines mit Unterschnitt geschlagenen Golf-Balles kann annähernd durch
eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben werden (siehe Skizze)
-
Bestimmen Sie den Funktionsterm h(x), der der Flugweite x die Flughöhe h(x) des Balles
im Intervall 0 bis 170 zuweist! Entnehmen Sie dazu die notwendigen Zahlenwerte aus
der Grafik!
4
-
Erklären Sie mit Worten, wie man mithilfe der Differentialrechnung den Abflugwinkel
des Golfballes berechnen kann!
2
b) Das Golf-Green muss regelmäßig mit Quarzsand bearbeitet werden, um eine feste und
möglichst „gerade“ Ebene zu erhalten.
Das Green eines Golfplatzes wird von einem Halbkreis k zwischen A und D, sowie von der
Funktion p(x) = 1/5 x² - x + 3 mit 0 ≤ x ≤ 10 begrenzt. (siehe Zeichnung – Maße in Meter)
-
Berechnen Sie die Fläche des Golf-Greens (mithilfe der Integralrechnung)!
Berechnen Sie, wie viele Tonnen Quarzsand benötigt werden, wenn pro 1m² ca. 8,5 kg
Sand benötigt wird!
4
1
2
Baumbestand und Wachstum von Fichten
a) Bauer Waldner weiß, dass sich der Holzbestand seines Waldes um ca. 2,7 % pro Jahr
bezogen auf das jeweilige Vorjahr vermehrt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt der
Holzbestand 36 000 m³.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für diejenige Funktion f auf, die den Holzbestand in
Abhängigkeit von der Zeit in Jahren angibt!
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Zeitintervall [0; 50]!
2
2
b) Der Holzbestand eines anderen Waldes kann näherungsweise mithilfe der Funktion g(t)
beschrieben werden:
𝑔(𝑡) = 31 800 ∙ 1,025𝑡
t ... Zeit in Jahren
g(t) ... Holzbestand zum Zeitpunkt t in Kubikmetern (m³)
Wenn der Holzbestand auf 33 000 m³ angewachsen ist, wird so viel geschlägert, dass wieder
der Holzbestand zum Zeitpunkt t = 0 vorliegt.
Für den Verkauf dieses geschlägerten Holzes betragen die Einnahmen € 96.000.
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Verkaufspreis für 1 m³ Holz!
– Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Holzbestand auf 42 000 m³ angewachsen ist!
1
2
c) Die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit des Alters kann durch folgenden Graphen
annähernd beschrieben werden:
-
Welche der folgenden Funktionsgleichungen kommt für die Beschreibung der Höhe
H(t) in Frage? (Bitte ankreuzen!)
𝐻(𝑡) = 1,5 ⋅ 0,94𝑡
60
𝐻(𝑡) =
0,4892 ⋅ 0,87𝑡
60
𝐻(𝑡) =
1 + 0,4892 ⋅ 0,87𝑡
𝐻(𝑡) = 60 ⋅ (1 − 0,98 ⋅ 0,87𝑡 )
45
𝐻(𝑡) =
1 + 0,4892 ⋅ 0,87𝑡
-
Bestimmen Sie das mittlere Wachstum einer Fichte pro Jahr im Zeitintervall [10;30]
mithilfe des Differenzenquotienten. Lesen Sie die dazu notwendigen Daten aus der
Grafik ab!
1
2
3
Auto-Rückruf und Treibstoffverbrauch
a) Ein Defekt bei der elektronischen Steuerungseinheit in einem Auto tritt mit einer
Wahrscheinlichkeit von 3% auf, was einen Rückruf des Fahrzeuges bedingt!
-
Berechne Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fuhrpark von 15 Autos dieser Defekt
bei mindestens einem Auto auftritt!
2
-
Mit wie vielen Rückrufen muss ein Konzern rechnen, wenn diese Steuerungseinheit in
80.000 Autos eingebaut wurde?
1
-
Zur Abschätzung der Werkstatt-Auslastung möchte der Konzern wissen, in welchem, um
den Erwartungswert symmetrischen Bereich sich die Anzahl der Fahrzeuge, die
voraussichtlich zurückgerufen werden müssen, mit 90% Wahrscheinlichkeit befindet!
Berechnen Sie diesen Bereich!
3
b) Der Treibstoffverbrauch eines Autos ist annähernd normalverteilt mit dem
Erwartungswert μ = 6,9 Liter pro 100 km. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt
dieser Treibstoffverbrauch im Intervall [5,6; 8,2].
–
–
Ermitteln Sie die Standardabweichung dieser Normalverteilung!
Skizzieren Sie den Graphen dieser Normalverteilung in die untenstehende Abbildung!
Berücksichtigen Sie dabei den Erwartungswert und die Standardabweichung!
- Beschreiben Sie, wie sich eine kleinere Standardabweichung auf den Graphen der
Normalverteilung auswirken würde!
2
2
1
4
Leistung einer Solaranlage:
a) Die Leistung einer Solaranlage in Abhängigkeit der Tageszeit lässt sich näherungsweise
mithilfe der folgenden Funktion P beschreiben:
𝑃(𝑡) = −0,0137 ∙ 𝑡 3 + 0,319 ∙ 𝑡 2 − 𝑎 ⋅ 𝑡 − 4,9 mit 7 ≤ t ≤ 19
t ... Zeit in Stunden (h) zwischen 7:00 und 19:00 Uhr
P(t) ... Leistung der Solaranlage zur Zeit t in Kilowatt (kW)
Die Leistung ist um 14 Uhr am höchsten.
–
-
erklären Sie mit Worten, wie der Parameter a mithilfe der Differentialrechnung
berechnet werden kann!
Warum kann diese Funktion maximal einen Wendepunkt besitzen? Begründen Sie in
Worten mithilfe der Differentialrechnung und einer Skizze!
2
2
b) Eine andere Solaranlage wird an einem bestimmten Tag von 7 Uhr bis 19 Uhr betrieben
und ihre Leistung durch die Funktion P beschrieben, wobei gilt:
𝑃(𝑡) = 0,007 ∙ 𝑡 4 – 0,165 ∙ 𝑡 3 + 0,972 ∙ 𝑡 2 + 1,221 mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit in Stunden (h), wobei t=0 der Uhrzeit 7 Uhr entspricht
P(t) ... Leistung der Solaranlage zur Zeit t in kW
-
Berechnen Sie, zu welcher Uhrzeit diese Anlage ihre maximale Leistung hat und wie viel
kW diese beträgt!
2
Die in einem Zeitintervall von der Solaranlage gelieferte Energie in kWh wird mithilfe des
Integrals der Leistung in diesem Zeitintervall berechnet.
–
Berechnen Sie die an diesem Tag (von 7 bis 19 Uhr) von der Solaranlage gelieferte
Energie in kWh!
2

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