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Nordrhein-Westfalen – Mathematik Leistungskurs
2015 – Aufgabe 2: Analysis (WTR)
Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung
und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage)
decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte
der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion f mit der Gleichung
f (t) = t 4 − 24t 3 + 144t 2 + 400, t ∈0,
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die
Funktion g mit der Gleichung
g(t) = − t 4 + 26t 3 − 167,5t 2 − 12,5t + 2 053, t ∈0,
modelliert, und zwar für das Zeitintervall [0; 12], das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man t als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und f(t) sowie g(t) als Maßzahlen
zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh / Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder
Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.
Die Graphen von f und g sind in der Abbildung 1 auf der nächsten Seite dargestellt.
Punkte
a) (1) Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang.
(2) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage
und berechnen Sie den Maximalwert.
(3) Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall [0; 12], zu dem der durch g
beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
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b
Durch das Integral
∫ f (t) dt ist im Sachzusammenhang die aus der Solara
anlage im Zeitintervall [a; b] abrufbare Energie und durch das Integral
b
∫ g(t) dt der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall [a; b] für
a
0 ≤ a < b ≤ 12 in Kilowattstunden [kWh] gegeben.
b) (1) Berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
(2) Im Intervall [3; 9,5] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem
Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum
Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [3; 9,5] zur Verfügung steht.
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c) Die Leistung der Solaranlage ist abhängig von der Neigung der aufgestellten
Solarmodule. Die Funktion fa mit der
Gleichung
f a (t) = a ⋅ (t 4 − 24t 3 + 144t 2 + 400) − 400 ⋅ (a 2 − 1), t ∈ 0, 0,5 ≤ a ≤ 1,5,
modelliert im Intervall [0; 12] diese Leistung für ein Kalenderjahr, wobei
der Parameter a eine Kennzahl für die Neigung der Solarmodule ist. Jedem Wert des Parameters a kann über die Gleichung w = 116 – 66 ⋅ a die
Maßzahl für den entsprechenden Neigungswinkel in Grad zugeordnet
werden.
In der Abbildung 2 auf der nächsten Seite sind beispielhaft für zwei Werte
von a die Graphen der jeweils zugehörigen Funktion fa sowie der Graph
von g dargestellt.
(1) Zeigen Sie, dass f eine der Funktionen fa ist, und berechnen Sie den
zugehörigen Neigungswinkel w der Solarmodule.
(2) Weisen Sie nach, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare
Energie für a = 1,364 (d. h. w ≈ 26°) am größten ist.
(3) Der Solaranlagenhersteller behauptet, dass eine Solaranlage mit einem
Neigungswinkel von 50° den Leistungsbedarf der Familie (ohne Heizung des Gartenpools!) in dem Kalenderjahr besser deckt als eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von 26°.
Begründen Sie diese Behauptung anhand der Graphen in Abbildung 2.
[Eine Rechnung wird hier nicht verlangt.]
Abbildung 1
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Hinweise und Tipps
Teilaufgabe a
r (1) Nutzen Sie zur Beschreibung der Graphen z. B. Steigung, Maximum, Minimum
sowie Schnittpunkte und erläutern Sie ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
r (2)
r
r
r
r
Die notwendige Bedingung für eine Maximumstelle ist: f '(t) = 0
Bestimmen Sie die Ableitung mithilfe der Faktor- und Summenregel.
Die hinreichende Bedingung für eine Maximumstelle lautet: f '(t) = 0 und f ''(t) < 0
Beachten Sie, dass auch Randextrema vorkommen können.
Den Maximalwert erhalten Sie durch Einsetzen der Maximumstelle in f(t).
r (3) Die Änderung wird beschrieben durch die 1. Ableitungsfunktion der Leistungsbedarfsfunktion g(t).
r
Überlegen Sie, welche Bedeutung die stärkste Abnahme hat.
r
Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist: f ''(t) = 0
r
Beachten Sie, dass auch Randextrema vorkommen können.
Teilaufgabe b
r (1) Ermitteln Sie eine Stammfunktion mithilfe der Potenzregel.
r
Berechnen Sie das zugehörige Integral.
r (2) Bestimmen Sie die Differenzfunktion von Leistung und Bedarf. Beachten Sie die
Lage der Graphen in diesem Intervall zueinander.
r
Berechnen Sie das zugehörige Integral für das angegebene Intervall.
Teilaufgabe c
r (1) Vergleichen Sie die Koeffizienten.
r
Setzen Sie den zugehörigen Wert von a in die angegebene Gleichung für w ein.
r (2) Bestimmen Sie mithilfe der Integralrechnung eine Funktion abhängig von der
Dachneigung, die die Jahresleistung der Solaranlage angibt.
r
Beachten Sie den Grad dieser Funktion und bestimmen Sie das Maximum.
r (3) Vergleichen Sie den Verlauf der Kurven in dem Zeitraum, in dem die Leistung
unterhalb des Verbrauchs liegt.
r
Beachten Sie, dass nur der Leistungsbedarf der Familie ohne die Heizung des
Gartenpools betrachtet werden soll.
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Lösung
a) (1) Zu Beginn des Kalenderjahres liegt der Leistungsbedarf bei mehr als
2 000 kWh / Monat und die Leistung bei 400 kWh / Monat. Der Bedarf ist also
ca. 5-mal so hoch wie die Leistung.
Bis zur Jahresmitte steigt die Leistung bis auf ein Maximum von etwa
1 700 kWh / Monat an und der Bedarf geht zurück bis auf ein Minimum von
ca. 250 kWh / Monat. Von der Jahresmitte an kehrt sich diese Entwicklung
um. Die Leistung der Solaranlage nimmt ab und der Verbrauch steigt wieder
an.
Ungefähr Ende März /Anfang April ist der Bedarf gleich der Leistung. Erzeugt und verbraucht werden ca. 1 100 kWh / Monat.
Etwa Mitte Oktober entspricht der Verbrauch wieder der erzeugten Leistung
von knapp 1 000 kWh / Monat.
Für ca. 6,5 Monate (Zeitraum von Ende März bis Mitte Oktober) übersteigt
die Leistung der Solaranlage den Leistungsbedarf der Familie.
r
r
(2) Der Zeitpunkt, zu dem die Solaranlage die maximale Leistung erzielt, ist die
Maximumstelle der Funktion f(t) im Intervall [0; 12].
Die Ableitungen von f(t) erhält man durch Anwenden der Faktor- und Summenregel.
f '(t) = 4t 3 − 72t 2 + 288t
f ''(t) = 12t 2 − 144t + 288
Notwendige Bedingung für eine Maximumstelle: f '(t) = 0
4t 3 − 72t 2 + 288t = 0
4t ⋅ (t 2 − 18t + 72) = 0
r
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r
r
r
r
r
r
Ein Produkt ist gleich null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null
ist.
Damit gilt:
t1 = 0 oder t 2 − 18t + 72 = 0
t 2; 3 = 9 ± 81 − 72 = 9 ± 3
t 2 = 6; t 3 = 12
Hinreichende Bedingung für eine Maximumstelle: f '(t) = 0 und f ''(t) < 0
f ''(0) = 288 > 0 ⇒ Minimum
f ''(6) = 12 ⋅ 36 – 144 ⋅ 6 + 288
= –144 < 0 ⇒ Maximum
f ''(12) = 12 ⋅ 144 – 144 ⋅ 12 + 288
= 288 > 0 ⇒ Minimum
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