∫ ∫

Nordrhein-Westfalen – Mathematik Grundkurs
2015 – Aufgabe 2: Analysis (WTR)
Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung
und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage)
decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte
der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion f mit der Gleichung
f (t) = t 4 − 24t 3 + 144t 2 + 400, t ∈0,
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die
Funktion g mit der Gleichung
g(t) = − t 4 + 26t 3 − 167,5t 2 − 12,5t + 2 053, t ∈0,
modelliert, und zwar für das Zeitintervall [0; 12], das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man t als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und f(t) sowie g(t) als Maßzahlen
zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh / Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder
Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.
Die Graphen von f und g sind in der Abbildung auf der nächsten Seite dargestellt.
Punkte
a) (1) Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang.
f (0)
(2) Berechnen Sie g(0) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
(3) Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten
t1 = 3 und t2 = 9,5 dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.
b) (1) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage
und berechnen Sie den Maximalwert.
(2) Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall [0; 12], zu dem der durch g
beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
b
Durch das Integral
∫ f (t)dt ist im Sachzusammenhang die aus der Solara
anlage im Zeitintervall [a; b] abrufbare Energie und durch das Integral
b
∫ g(t)dt der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall [a; b] für
a
0 ≤ a < b ≤ 12 in Kilowattstunden [kWh] gegeben.
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5
5
4
8
10
c) (1) Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion G von g an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
(2) Im Intervall [3; 9,5] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem
Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum
Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [3; 9,5] zur Verfügung steht.
(3) Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler
des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang.
6
9,5
12
∫
6
f (t)dt −
0
∫
(f (t) − g(t))dt
3
12
∫
≈ 0,539
g(t)dt
0
Abbildung
2015-2
6
Hinweise und Tipps
Teilaufgabe a
r (1) Nutzen Sie zur Beschreibung der Graphen z. B. Steigung, Maximum, Minimum
sowie Schnittpunkte und erläutern Sie ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
r (2) Welche Bedeutung haben die Funktionswerte der Funktionen f und g?
r (3) Berechnen Sie die Funktionswerte zu den angegebenen Zeitpunkten für f und g
und vergleichen Sie diese.
Teilaufgabe b
r (1) Die notwendige Bedingung für eine Maximumstelle ist: f '(t) = 0
r
Bestimmen Sie die Ableitung mithilfe der Faktor- und Summenregel.
r
Die hinreichende Bedingung für eine Maximumstelle lautet: f '(t) = 0 und f ''(t) < 0
r
Beachten Sie, dass auch Randextrema vorkommen können.
r
Den Maximalwert erhalten Sie durch Einsetzen der Maximumstelle in f(t).
r (2) Die Änderung wird beschrieben durch die 1. Ableitungsfunktion der Leistungsbedarfsfunktion g(t).
r
Überlegen Sie, welche Bedeutung die stärkste Abnahme hat.
r
Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist: f ''(t) = 0
r
Beachten Sie, dass auch Randextrema vorkommen können.
Teilaufgabe c
r (1) Ermitteln Sie eine Stammfunktion mithilfe der Potenzregel.
r
Berechnen Sie das zugehörige Integral.
r (2) Bestimmen Sie die Differenzfunktion von Leistung und Bedarf. Beachten Sie die
Lage der Graphen in diesem Intervall zueinander.
r
Berechnen Sie das zugehörige Integral für das angegebene Intervall.
r (3)
r
r
r
Beachten Sie den Verlauf der beiden Kurven im Kalenderjahr zueinander.
Überlegen Sie, welche Bedeutung die Differenzfunktion f(t) – g(t) im Zähler hat.
Beachten Sie die Integrationsgrenzen und die Bedeutung der Werte der Integrale.
Denken Sie daran, dass ein Bruch einen Anteil darstellt.
2015-3
Lösung
a) (1) Zu Beginn des Kalenderjahres liegt der Leistungsbedarf bei mehr als
2 000 kWh / Monat und die Leistung bei 400 kWh / Monat. Der Bedarf ist also
ca. 5-mal so hoch wie die Leistung.
Bis zur Jahresmitte steigt die Leistung bis auf ein Maximum von etwa
1 700 kWh / Monat an und der Bedarf geht zurück bis auf ein Minimum von
ca. 250 kWh / Monat. Von der Jahresmitte an kehrt sich diese Entwicklung
um. Die Leistung der Solaranlage nimmt ab und der Verbrauch steigt wieder
an.
Ungefähr Ende März /Anfang April ist der Bedarf gleich der Leistung. Erzeugt und verbraucht werden ca. 1 100 kWh / Monat.
Etwa Mitte Oktober entspricht der Verbrauch wieder der erzeugten Leistung
von knapp 1 000 kWh / Monat.
Für ca. 6,5 Monate (Zeitraum von Ende März bis Mitte Oktober) übersteigt
die Leistung der Solaranlage den Leistungsbedarf der Familie.
(2) Durch Einsetzen des Argumentwertes 0
erhält man:
f (0)
400
=
≈ 0,195
g(0) 2 053
Der Zähler des Bruches gibt die Leistung der Solaranlage, der Nenner den
Leistungsbedarf der Familie zu Beginn
des Kalenderjahres an. Der Bruch gibt somit den Anteil des Bedarfs an, der zu
Beginn des Kalenderjahres durch die Solaranlage gedeckt wird.
r
r
r
(3) Die Leistung der Solaranlage entspricht dem Leistungsbedarf der Familie,
wenn die Funktionswerte von Leistungs- und Leistungsbedarfsfunktion übereinstimmen.
f (3) = 3 4 − 24 ⋅ 33 + 144 ⋅ 32 + 400
= 1129 [kWh /Monat]
g(3) = −34 + 26 ⋅ 33 − 167,5 ⋅ 32
− 12,5 ⋅ 3 + 2 053
= 1129 [kWh /Monat]
f (9,5) = 9,5 4 − 24 ⋅ 9,53 + 144 ⋅ 9,5 2 + 400
= 964,0625 [kWh /Monat]
g(9,5) = −9,5 4 + 26 ⋅ 9,53 − 167,5 ⋅ 9,5 2 − 12,5 ⋅ 9,5 + 2 053
= 964,0625 [kWh /Monat]
Die Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf der Familie stimmen
zu den Zeitpunkten t1 = 3 und t2 = 9,5 überein.
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