(1) f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
3
a > 0 に対し，関数 f(x) が
Z
a
f(x) =
をみたすとする．
0
dt
1 + t2
1
; とおく．以下の問に答えよ．
x
d
f(x) を求めよ．
dx
d
(2)
g(x) を求めよ．
dx
1
(3) f(x) + f # ; を求めよ．
x
a
¡a
x
(1)
(2) 0 < a 5 2¼ において，
Z
Z
と定め，g(x) = f #
(1) f(x) を求めよ．
g(a) =
x > 0 に対し関数 f(x) を
e¡x
S
+ f(t) sin tk dt
2a
¡a
f(x) =
氏名
f(t) sin t dt
（神戸大学 2012 ）
の最小値とそのときの a の値を求めよ．
（北海道大学 2016 ）
4
0 5 x 5 1 に対して
f(x) =
2
Z
2x
0
1
0
e¡jt¡xj t(1 ¡ t) dt
と定める．ただし，e = 2:718Ý は自然対数の底である．
Z
Z
(1) 不定積分 I1 =
tet dt; I2 =
t2 et dt を求めよ．
区間 ¡1 < x < 1 で定義された連続関数 f(x) に対して
F(x) =
Z
tf(2x ¡ t) dt
(2) f(x) を x の指数関数と多項式を用いて表せ．
1
(3) f(x) は x =
で極大となることを示せ．
2
とおく．
Zx
x
(x ¡ s)f(s) ds となることを示せ．
(1) F # ; =
2
0
(2) 2 次導関数 F00 を f で表せ．
（北海道大学 2010 ）
5
(3) F が 3 次多項式で F(1) = f(1) = 1 となるとき，f と F を求めよ．
（北海道大学 2013 ）
n は自然数，a は a >
f(x) =
Z
x
0
3
をみたす実数とし，実数 x の関数
2
(x ¡ µ)(a sinn+1 µ ¡ sinn¡1 µ) dµ
を考える．ただし，n = 1 のときは sinn¡1 µ = 1 とする．
Z ¼
Z ¼
2
2
n
n+1
sin
µ dµ =
sinn¡1 µ dµ を示せ．
(1)
n
+
1
0
0
¼
; = 0 をみたす n と a の値を求めよ．
2
¼
(3) (2) で求めた n と a に対して，f # ; を求めよ．
2
(2) f0 #
8
数列 fan g; fbn g を
an =
（北海道大学 2015 ）
Z
¼
6
¡
¼
6
n sin µ
e
dµ;
bn =
Z
¼
6
¡
¼
6
en sin µ cos µ dµ
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．ただし，e は自然対数の底とする．
(1) 一般項 bn を求めよ．
6
2
(2) すべての n について，bn 5 an 5 p bn が成り立つことを示せ．
3
1
(3) lim
log(nan ) を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
n!1 n
f0 (x) = xex として，正の整数 n に対して，
Z
fn (x) =
x
¡x
0
fn¡1 (t) dt + fn¡1
(x)
（東北大学 2013 ）
により実数 x の関数 fn (x) を定める．
(1) f1 (x) を求めよ．
Zx
Z
t
(2) g(x) =
(at + b)e dt とするとき，定積分
¡x
は定数とする．
c
¡c
g(x) dx を求めよ．ただし，実数 a; b; c
9
a; b を実数とする．次の問いに答えよ．
(1) f(x) = a cos x + b が，
Z
(3) 正の整数 n に対して，f2n (x) を求めよ．
¼
0
¼
+
f(x) dx =
4
Z
¼
0
ff(x)g3 dx
（名古屋大学 2012 ）
をみたすとする．このとき，a; b がみたす関係式を求めよ．
(2) (1) で求めた関係式をみたす正の数 b が存在するための a の条件を求めよ．
7
（神戸大学 2013 ）
整数 n に対して，
In =
Z
¼
2
¼
4
cos((2n + 1)x)
dx
sin x
¼
¼
; のグラフを C1 ，y = b sin x #0 5 x 5
;
2
2
のグラフを C2 とし，C1 と C2 の交点を P とする．
10 a と b を正の実数とする．y = a cos x #0 5 x 5
とする．
(1) P の x 座標を t とする．このとき，sin t および cos t を a と b で表せ．
(1) I0 を求めよ．
(2) C1 ; C2 と y 軸で囲まれた領域の面積 S を a と b で表せ．
¼
で囲まれた領域の面積を T とする．このとき，T = 2S となるための
(3) C1 ; C2 と直線 x =
2
条件を a と b で表せ．
(2) n を正の整数とするとき，In ¡ In¡1 を求めよ．
(3) I5 を求めよ．
（東北大学 2014 ）
（北海道大学 2013 ）
11 a を実数とする．円 C は点 (a; ¡a) で直線 y = ¡x を接線にもち，点 (0; 1) を通るものとす
る．C の中心を P(X; Y) として，以下の問いに答えよ．
(1) X; Y を a を用いて表せ．
(2) a が動くときの点 P の軌跡と直線 y = 1 で囲まれる図形の面積を求めよ．
（東北大学 2011 ）
12 O を原点とする座標平面上の曲線
C:
1
y=
x+
2
F
1 2
x +2
4
と，その上の相異なる 2 点 P1 (x1 ; y1 )，P2 (x2 ; y2 ) を考える．
(1) Pi (i = 1; 2) を通る x 軸に平行な直線と，直線 y = x との交点を，それぞれ Hi (i = 1; 2)
とする．このとき 4OP1 H1 と 4OP2 H2 の面積は等しいこと示せ．
(2) x1 < x2 とする．このとき C の x1 5 x 5 x2 の範囲にある部分と，線分 P1 O，P2 O で囲まれ
る図形の面積を，y1 ，y2 を用いて表せ．
（東京大学 2010 ）

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