信号理論基礎演習問題2 (解答：簡略版)

平成 26 年 4 月 17 日，1 時限目
信号理論基礎演習問題 2 (解答：簡略版)
1. 図 1. に示す周期 T = 2π の波形をもつ関数 f1 (t) のフーリエ級数を求めよ．
【解答】
{
2π
−1 (−π < t < 0)
f1 (t) =
, 周期 T = 2π, ω0 =
= 1．
T
1
(0 < t < π)
n = 0 に対して，
{∫ 0
∫ π }
∫
∫
}
1{
1 π
1
2 T /2
dt =
f (t)dt =
f (t)dt =
−1dt +
a0 =
[−t]0−π + [t]π0 = 0
T −T /2
π −π
π
π
0
−π
n ̸= 0 に対して，
{∫ 0
}
∫
∫
∫ π
1 π
1
2 T /2
an =
f (t) cos(nω0 t)dt =
f (t) cos(nt)dt =
− cos(nt)dt +
cos(nt)dt
T −T /2
π −π
π
−π
0
{[
]0
[
]π }
1
1
1
=
− sin(nt)
+
sin(nt)
=0
π
n
n
−π
0
}
{∫ 0
∫
∫ π
1
2 T /2
f (t) sin(nω0 t)dt =
− sin(nt)dt +
sin(nt)dt
bn =
T −T /2
π
−π
0

{[
]0
[
]π }
 0
(n : even)
1
1
1
2
=
cos(nt)
+ − cos(nt)
=
{1 − cos(nπ)} =
4

π
n
n
nπ
(n : odd)
−π
0
nπ
{
}
∞
4∑ 1
4
1
1
よって，f1 (t) =
sin ((2k−1)t) =
sin(t) + sin(3t) + sin(5t) + · · ·
π k=1 2k−1
π
3
5
2. 図 2. に示す周期 T = 2π の波形をもつ関数 f2 (t) のフーリエ級数を求めよ．
【解答】
普通に解いても良いが，ここでは問題 1. の結果を利用して解いてみる．
π
f2 (t) と f1 (t) の関係は f2 (t) = f1 (t + ) であるから，
2
(
)
∞
4∑ 1
(2k−1)π
π
sin (2k−1)t +
f2 (t) = f1 (t + ) =
2
π k=1 2k−1
2
}
{
∞
4∑ 1
(2k−1)π
(2k−1)π
=
) + cos((2k−1)t) sin(
)
sin((2k−1)t) cos(
π k=1 2k−1
2
2
}
{
∞
4
1
4 ∑ (−1)k−1
1
cos((2k−1)t) =
=
cos t − cos(3t) + cos(5t) − · · ·
π k=1 2k−1
π
3
5
1
3. 次式で定義される関数 f (t) を −2π ≤ t < 2π の範囲で図示せよ．また，f (t) のフーリエ級
数を求めよ．
2

 1 + t, (−π < t ≤ 0)
π
f (t) =

 1 − 2 t,
(0 ≤ t < π)
π
および f (t + T ) = f (t), T = 2π.
【解答】省略（教科書 p.10, 問題 1.11 参照）
4. 次式で定義される関数 f (t) を −2π ≤ t < 2π の範囲で図示せよ．また，f (t) のフーリエ級
数を求めよ．{
0, (−π < t ≤ 0)
f (t) =
A sin(ω0 t)
(0 < t < π)
2π
.
T
【解答】省略（教科書 p.12, 問題 1.12 参照）
および f (t + T ) = f (t), T = 2π, ω0 =
5.
π
1 1 1
= 1 − + − + · · · , となることを示せ．
4
3 5 7
π
ヒント：1. の結果に t = を代入して考える．
2
π
【解答】f1 (t) はディリクレの条件を満たすので，t = で 1 に収束する．
2
1. の結果より，
{
}
π 1
3π 1
5π 1
7π
4
sin + sin
+ sin
+ sin
+ · · · を満たすので，
1=
π
2 3
2
5
2
7
2
π
1 1 1
= 1 − + − + ··· ,
4
3 5 7
2

Download Report