平成 26 年 4 月 17 日,1 時限目 信号理論基礎 演習問題 2 (解答:簡略版) 1. 図 1. に示す周期 T = 2π の波形をもつ関数 f1 (t) のフーリエ級数を求めよ. 【解答】 { 2π −1 (−π < t < 0) f1 (t) = , 周期 T = 2π, ω0 = = 1. T 1 (0 < t < π) n = 0 に対して, {∫ 0 ∫ π } ∫ ∫ } 1{ 1 π 1 2 T /2 dt = f (t)dt = f (t)dt = −1dt + a0 = [−t]0−π + [t]π0 = 0 T −T /2 π −π π π 0 −π n ̸= 0 に対して, {∫ 0 } ∫ ∫ ∫ π 1 π 1 2 T /2 an = f (t) cos(nω0 t)dt = f (t) cos(nt)dt = − cos(nt)dt + cos(nt)dt T −T /2 π −π π −π 0 {[ ]0 [ ]π } 1 1 1 = − sin(nt) + sin(nt) =0 π n n −π 0 } {∫ 0 ∫ ∫ π 1 2 T /2 f (t) sin(nω0 t)dt = − sin(nt)dt + sin(nt)dt bn = T −T /2 π −π 0 {[ ]0 [ ]π } 0 (n : even) 1 1 1 2 = cos(nt) + − cos(nt) = {1 − cos(nπ)} = 4 π n n nπ (n : odd) −π 0 nπ { } ∞ 4∑ 1 4 1 1 よって,f1 (t) = sin ((2k−1)t) = sin(t) + sin(3t) + sin(5t) + · · · π k=1 2k−1 π 3 5 2. 図 2. に示す周期 T = 2π の波形をもつ関数 f2 (t) のフーリエ級数を求めよ. 【解答】 普通に解いても良いが,ここでは問題 1. の結果を利用して解いてみる. π f2 (t) と f1 (t) の関係は f2 (t) = f1 (t + ) であるから, 2 ( ) ∞ 4∑ 1 (2k−1)π π sin (2k−1)t + f2 (t) = f1 (t + ) = 2 π k=1 2k−1 2 } { ∞ 4∑ 1 (2k−1)π (2k−1)π = ) + cos((2k−1)t) sin( ) sin((2k−1)t) cos( π k=1 2k−1 2 2 } { ∞ 4 1 4 ∑ (−1)k−1 1 cos((2k−1)t) = = cos t − cos(3t) + cos(5t) − · · · π k=1 2k−1 π 3 5 1 3. 次式で定義される関数 f (t) を −2π ≤ t < 2π の範囲で図示せよ.また,f (t) のフーリエ級 数を求めよ. 2 1 + t, (−π < t ≤ 0) π f (t) = 1 − 2 t, (0 ≤ t < π) π および f (t + T ) = f (t), T = 2π. 【解答】 省略(教科書 p.10, 問題 1.11 参照) 4. 次式で定義される関数 f (t) を −2π ≤ t < 2π の範囲で図示せよ.また,f (t) のフーリエ級 数を求めよ.{ 0, (−π < t ≤ 0) f (t) = A sin(ω0 t) (0 < t < π) 2π . T 【解答】 省略(教科書 p.12, 問題 1.12 参照) および f (t + T ) = f (t), T = 2π, ω0 = 5. π 1 1 1 = 1 − + − + · · · , となることを示せ. 4 3 5 7 π ヒント:1. の結果に t = を代入して考える. 2 π 【解答】f1 (t) はディリクレの条件を満たすので,t = で 1 に収束する. 2 1. の結果より, { } π 1 3π 1 5π 1 7π 4 sin + sin + sin + sin + · · · を満たすので, 1= π 2 3 2 5 2 7 2 π 1 1 1 = 1 − + − + ··· , 4 3 5 7 2
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