数理科学特論B2 §13 空間極座標演習問題

数理科学特論 B2 §13 空間極座標演習問題
スカラーを表す文字 (A, B, C, . . . ) とベクトルをあらわす文字 (A, B, C, . . . ) を必
ず使い分けること. また, スカラー倍 kA, 内積 A · B, 外積 A × B の記号も使い分け
ること. 混同して使用した場合は不正解とする.
課題次の問題を解き, 裏面の解答を見て答え合わせをし, 誤りがあれば訂正せよ.
問題 1. 空間極座標で r = 2, θ = π3 , φ = − π6 に対応する点を (x, y, z) 座標で表わせ.
問題 2. 空間極座標で表わされたベクトル場 A = rer + θeθ + φeφ の, r = 3, θ =
π
, φ = π4 におけるベクトルを xyz-成分によって表せ.
2
問題 3. 空間極座標を利用して div r を計算せよ.
問題 4. 空間極座標を利用して grad(log r) を計算せよ.
( )
問題 5. 空間極座標を利用して ∆ 1r を計算せよ.
問題 6. er · eθ = eθ · eφ = eφ · er = 0 を示せ.
問題 7. er × eθ = eφ , eθ × eφ = er , eφ × er = eθ を示せ.
追加課題答案は添削して次回返却する1.
問題 8. 空間極座標で表されたベクトル場 A = Ar er + Aθ eθ + Aφ eφ に対し,
{
}
{
}
∂
∂
1
∂
1
∂
rot A =
(Aφ hφ ) −
(Aθ hθ ) er +
(Ar hr ) − (Aφ hφ ) eθ
hθ hφ ∂θ
∂φ
hφ hr ∂φ
∂r
{
}
∂
1
∂
+
(Aθ hθ ) − (Ar hr ) eφ
hr hθ ∂r
∂θ
{
}
{
}
∂
1 ∂Ar
1
∂Aθ
1
∂
=
(Aφ sin θ) −
er +
− (rAφ ) eθ
r sin θ ∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
∂r
{
}
1 ∂
∂Ar
+
(rAθ ) −
eφ
r ∂r
∂θ
であることを示せ.

 x = r cos θ
y = r sin θ で対応が与えられる座標 (r, θ, z) を円柱座標とよ
問題 9. 座標変換

z=z
ぶ. 円柱座標の r-曲線, θ-曲線, z-曲線は互いに直交することを示せ. (このような条
件をみたす座標を直交曲線座標とよぶ.)
問題 10. 円柱座標で表されたスカラー場 f (r, θ, z) のラプラシアン ∆f を計算する
公式を求めよ.
問題 11. 質問があれば具体的に述べよ.
1解答例の公開
(約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
√
√

( )
 x = 2 sin π3 cos − π6 = 2 · √23 · 23 = 32 √
√
( π)
( 1)
3
3 より (x, y, z) = ( 3 , − 3 , 1).
π
解 1.
2
2
 y = 2 sin 3π sin −16 = 2 · 2 − 2 = − 2
z = 2 cos 3 = 2 · 2 = 1
解 2.
 
 
 π
3
Ax
sin 2 cos π4 cos π2 cos π4 − sin π4
Ay  =  sin π sin π cos π sin π cos π   π 
2
4
2
4
4
2
π
− sin π2
0
Az
cos π2
4
1
1
1  
π 
√
√
√
0 − 2
(3 − 4 )
3
2
2
1
1  π
1


√
√
√
0
(3 + π4 )
=
=
2
2
2
2
π
0 −1
0
− π2
4
(
)
1 (
π)
1 (
π)
π
よって A = √ 3 −
, √ 3+
, −
.
4
4
2
2
2
1 ∂ ( 2 )
1
解 3. r = rer であるから, div r = div(rer ) = 2
r r = 2 (3r2 ) = 3.
r ∂r
r
)
(
∂
1
1
解 4. grad(log r) =
(log r) er = er = 2 r .
∂r
r
r
(
( ))
( )
∂ 1
1
1 ∂
1 ∂
= 2
r2
= 2
(−1) = 0.
解 5. ∆
r
r ∂r
∂r r
r ∂r

 er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)
eθ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) であるから,
解 6.

eφ = (− sin φ, cos φ, 0)

 er · eθ = sin θ cos θ cos2 φ + sin θ cos θ sin2 φ − sin θ cos θ = sin θ cos θ − sin θ cos θ = 0
eθ · eφ = − cos θ sin φ cos φ + cos θ sin φ cos φ = 0

eφ · er = − sin θ sin φ cos φ + sin θ sin φ cos φ = 0
解 7.
er × eθ = (− sin2 θ sin φ − cos2 θ sin φ,
cos2 θ cos φ + sin2 θ cos φ,
sin θ cos θ sin φ cos φ − sin θ cos θ sin φ cos φ)
= (− sin φ, cos φ, 0) = eφ
eθ × eφ = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ cos2 φ + cos θ sin2 φ)
= (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) = er
eφ × er = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ sin2 φ − sin θ cos2 φ)
= (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) = eθ

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