1 FONCTIONS DÉFINIES EXPLICITEMENT

INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
FONCTIONS
10) On note f la fonction x 7−→
a) Déterminer l’image de f .
b) Sur quels intervalles (les plus grands possible)
f est-elle injective ? Déterminer, sur chacun
de ses domaines I , la réciproque de f .
I

1
−1
c) Déterminer f
,1 .
4
1
11) On note f la fonction x 7−→ x ln x + sur R∗+ .
x
a) Sur quels intervalles (les plus grands possible)
f est-elle injective
?

1
b) Déterminer f
, +∞ .
2
DÉFINIES EXPLICITEMENT
1
On note f l’application n 7−→ 2n de N dans N et g
l’application de N dans N définie pour tout n ∈ N par :

n
si n est pair

2
g(n) =
 n − 1 si n est impair.
2
Étudier l’injectivité et la surjectivité de f et g. Que vaut
g ◦ f ? Que faut-il en retenir ?
————————————–
2
————————————–
On note f l’application
n 7−→ n + 1 sur N et g
§
0
si n = 0
l’application n 7−→
sur N. Montrer
n − 1 si n 6= 0
que g ◦ f = IdN mais que ni f ni g n’est bijective de N
sur N. Que faut-il en retenir ?
5
6
1) Montrer que la fonction tangente hyperbolique
est bijective de R sur ] − 1, 1[ et déterminer une
expression explicite de sa réciproque.
2) Même question avec la fonction sinus hyperbolique de R sur R.
3) Même question avec la fonction cosinus hyperbolique de R+ sur [1, +∞[.
————————————–
4
z+ω
est
ωz + 1
bijective de U sur U et déterminer sa réciproque.
Soit ω ∈ C \ U. Montrer que z 7−→
————————————–
————————————–
3
x
.
1 + x2
1
sur C∗ .
z ∗
1) Montrer que I est bijective de C sur C∗ et déterminer sa réciproque.
2) a) Montrer que l’image par I d’un cercle de centre
0 est un cercle. Quelle est l’image de U en
particulier ?
b) Plus généralement, montrer que l’image par
I d’un cercle ne passant pas par 0 est un cercle.
3) Montrer que l’image par I d’un cercle passant
par 0 (mais privé de 0) est une droite.
On note I l’application z 7−→
————————————–
1) Déterminer l’image de la fonction x 7−→ xe x et
l’image réciproque de R− par cette fonction.
2) Déterminer l’image de la fonction x 7−→ x n ln x
sur R∗+ pour tout n ∈ N∗ .
π
3) On note f la fonction x 7−→ sin sur R∗+ . Déter x
miner f ]0, 1] et f −1 0 .
4) Déterminer l’image de ] − 2,p4] et l’image réciproque de [−1, 2] par x 7−→ x 2 + x + 1.
x −1
5) Déterminer l’image de x 7−→ 2
et l’image
x + x +1
réciproque de [−2, 0] par cettepfonction.
6) Montrer que la fonction x 7−→ x 3 + 1 est bijective de [−1, +∞[ sur son image (que l’on précisera) et déterminer sa réciproque.
p
7) Montrer que la fonction x 7−→ x 2 − 4x + 8 est
bijective de [2, +∞[ sur son image (que l’on précisera) et déterminer sa réciproque.
s
x +1
est bi8) Montrer que la fonction x 7−→ ln
x −1
jective de ]1, +∞[ sur son image (que l’on précisera) et déterminer sa réciproque.
9) On note f la fonction x 7−→ x 2 + 4x + 1 sur R.
a) Sur quels intervalles (les plus grands possible)
f est-elle injective ? Déterminer, sur chacun
de ses domaines I , la réciproque de f .
I
−1
−1

b) Déterminer f [−3, 0] , f
[0, 1[ , f
−1

et f −1 − 4 .
7
Les applications suivantes sont-elles injectives ?
surjectives ? bijectives ?
1)
(x, y) 7−→ 2 y de R2 dans R.
2)
(x, y) 7−→ (1, x − y, y) de R2 dans R3 .
3)
(x, y) 7−→ (2x + y, 3x − 2 y) de R2 dans R2 .
4)
(x, y, z) 7−→ (x + y + z, x − y − z, x) de R3
dans R3 .
————————————–
8
1) On note f l’application (x, y) 7−→
2
de R∗+ dans lui-même.
a) f est-elle injective ?
b) Déterminer son image.

x + y 2x y
,
2
x+y
2x + 3 y
de
2) On note f l’application (x, y) 7−→
x+y
2
R∗+ dans R∗+ .
a) f est-elle injective ?
b) Déterminer son image.
3) On note f l’application (x, y) 7−→ (x + y, x y) de
R2 dans R2 .
a) Soit (s, p) ∈ R2 . À quelle condition nécessaire
et suffisante (s, p) est-il dans l’image de f ?
b) Déterminer
¦ l’image réciproque par©f de l’ensemble (s, p) ∈ R2 / s2 − 4p = 1 .
————————————–
1

INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
2
FONCTIONS
DE
R
DANS
R
————————————–
DÉFINIES ABSTRAITEMENT
18
Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R,
9
croissantes, pour lesquelles f ◦ f = IdR .
————————————–
10
Déterminer toutes les injections f : N −→ N
telles que pour tout n ∈ N : f (n) ¶ n.
n∈N
(An )n∈N est croissante, i.e. que An ⊂ An+1 pour
tout n ∈ N. Montrer que si f est injective pour
————————————–
11
An
tout n ∈ N, alors f elle-même l’est sur E tout
entier.
Déterminer toutes les fonctions f : N −→ N
telles que pour tout n ∈ N : f (n) + f ◦ f (n) = 2n.
————————————–
3
————————————–
APPLICATIONS
19
ENTRE ENSEMBLES QUELCONQUES
12
Soient E et F deux ensembles et f : E −→ F et
g : F −→ E deux applications. On suppose f ◦ g ◦ f
bijective. Montrer que f et g le sont alors elles aussi.
————————————–
13
Soient E un ensemble et f : E −→ E une application. On suppose que f ◦ f = f et que f est injective
ou surjective. Que peut-on alors dire de f ?
————————————–
20
————————————–
Soient E, F et G trois ensembles non vides et
f§ : E −→ F une application. Montrer que l’application
E G −→
FG
est injective si et seulement si f
ϕ 7−→ f ◦ ϕ
l’est.
21
Soient E et F deux ensembles, f : E −→ F une
application, A ∈ P (E) et B ∈ P (F ). Montrer l’égalité :
f A ∩ f −1 (B) = f (A) ∩ B.
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17
Soient E, F et I trois ensembles, f : E −→ F
une application, Ai i∈I un ensemble de parties de E
et Bi i∈I un ensemble de parties de F .
[
[
1) Montrer que :
f −1
Bi =
f −1 (Bi )
i∈I
\
\
f −1 (Bi ).
Bi =
i∈I
i∈I [
[
2) a) Montrer l’égalité : f
Ai =
f (Ai ).
i∈I
i∈I
\
\
b) Montrer que l’égalité f
Ai =
f (Ai )
et :
f −1
i∈I
Soient E et F deux ensembles
§ et f : E −→ F
P (E) −→ P (F )
une application. On note δ l’application
A
7−→ f (A)
§
P (F ) −→ P (E)
et ρ l’application
Montrer
B
7−→ f −1 (B).
les équivalences suivantes :
1)
f injective ⇐⇒ δ injective ⇐⇒ ρ surjective.
2)
f surjective ⇐⇒ δ surjective ⇐⇒ ρ injective.
————————————–
¨
¦
©E
E −→
0, 1
Soient E un ensemble et ϕ :
22
x 7−→
ϕx
une application. Montrer que l’application x 7−→ 1 − ϕ x (x)
n’appartient pas à Im ϕ. Ceci montre en particulier que
¦
©E
ϕ n’est pas surjective de E sur 0, 1 .
i∈I
Soient E un ensemble et A et B deux parties
de E. On note f l’application X 7−→ X ∩ A, X ∩ B de
P (E) dans P (A) × P (B).
1) Montrer que f est injective si et seulement si
A ∪ B = E.
2) Montrer que f est surjective si et seulement si
A ∩ B = ∅.
————————————–
————————————–
16
Soient E et F deux ensembles et f : E −→ F
une application.
1) a)
Comparer f −1 f (A) et A pour toute partie A de E.
b) Montrer que f est injective si et seulement
si
pour tout A ∈ P (E) : f −1 f (A) = A.
Comparer f f −1 (B) et B pour toute par2) a)
tie B de F .
b) Montrer que f est surjective si et seulement
si pour tout B ∈ P (F ) : f f −1 (B) = B.
3) Montrer que f est bijective si et seulement si
pour tout A ∈ P (E) : f A = f (A).
————————————–
Soient E un ensemble et f : E −→ E une appli14
cation. On suppose que f ◦ f ◦ f = f . Montrer que f est
injective si et seulement si elle est surjective.
15
Si une application est injective sur deux parties de son ensemble de définition, l’est-elle sur
leur réunion ?
Soient E et F des ensembles, f : E −→ F
2)
une application et (An )n∈N [
une suite de parties
An et que la suite
de E. On suppose que E =
1)
————————————–
i∈I
n’est pas toujours vraie, mais qu’elle l’est si f
est injective.
2

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