第3回講義資料

システム制御工学Ⅰ
電気電子工学科
2015年度
今日の講義内容
数学の復習２
• ラプラス変換
– 定義
– ラプラス変換（対）表
– ラプラス変換の定理
– 部分分数展開とラプラス逆変換
• ラプラス変換による微分方程式の解法
2
フーリエ変換の条件（１）
フーリエ変換が可能な条件（絶対可積分）
∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 < ∞
−∞
重要な関数のいくつかは条件を満たさない
ステップ関数
三角関数
∞
𝑢 𝑡
−∞
∞
| sin
−∞
𝑑𝑡 =
∞
1𝑑𝑡
0
=∞
𝑡 |𝑑𝑡 = ∞
𝑡 ∞ のときに |𝑓 𝑡 | が有限の値を持っているため
3
フーリエ変換の条件（２）
𝑡 ∞ のときに値がゼロになるような因子 𝑒 −𝜎𝑡 （𝜎 は
正の実数）をかけてみる
∞
∞
フーリエ変
換可能
1
|𝑢 𝑡
=
= <∞
𝜎
−∞
0
一般の関数に対しても同様に因子をかけてフーリエ
変換すると考えて（ただし積分範囲は0以上とする）
𝑒 −𝜎𝑡 |𝑑𝑡
ℱ[𝑓 𝑡 𝑒
−𝜎𝑡
] =
=
𝑒 −𝜎𝑡 𝑑𝑡
∞
−𝜎𝑡 −𝑗𝜔𝑡
𝑓
𝑡
𝑒
𝑒
𝑑𝑡
0
∞
− 𝜎+𝑗𝜔 𝑡 𝑑𝑡
𝑓(𝑡)𝑒
0
𝜎 + 𝑗𝜔 は１つの複素数 ⇒ 𝑠 という記号で表す
4
ラプラス変換の定義
• ラプラス変換
𝐹 𝑠 =ℒ 𝑓 𝑡
∞
=
• ラプラス逆変換
1
−1
𝑓 𝑡 = ℒ [𝐹 𝑠 ] =
2𝜋
𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
𝜎0 +𝑗𝜔
𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
𝜎0 −𝑗𝜔
（注1） 𝑠 は積分が収束するような値である必要があるが，厳密
な議論は省略する．
（注2）積分範囲が−∞~∞ のラプラス変換（両側ラプラス変換）
も存在するが，ここでは 0~∞ の片側ラプラス変換のみを
扱う．従って，𝑡 < 0 に対して値を持つ 𝑓(𝑡) に対してはス
テップ関数 𝑢(𝑡) を乗じた形 𝑓 𝑡 𝑢(𝑡) で積分する．
5
人物
ピエール・シモン
ラプラス
(1749-1827)
ジャン・バティスト・
フーリエ
（1768-1830）
いずれもフランスの数学者・物理学者．フランス革命～ナポレオ
ン帝政～王政復古という波乱の時代を生きた．（肖像画の出
典はWikipedia）
6
ラプラス変換の例
• 単位インパルス関数 𝛿(𝑡)
∞
ℒ𝛿 𝑡
𝛿(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑠0 = 1
=
0
• 単位ステップ関数 𝑢(𝑡)
∞
ℒ𝑢 𝑡
=
0
1 −𝑠𝑡
−𝑠𝑡
𝑢 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 = − 𝑒
𝑠
• 単位ランプ関数 𝑟 𝑡 = 𝑡𝑢(𝑡)
∞
ℒ𝑟 𝑡
𝑟 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
=
0
=
𝑡 −𝑠𝑡 ∞
− 𝑒
𝑠
0
+
∞
0
1
=
𝑠
∞
𝑡𝑢 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
∞ 1 −𝑠𝑡
𝑒 𝑑𝑡
0 𝑠
=
1
𝑠2
7
問
1. 複素正弦信号 𝑥1 𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑢(𝑡) のラプラス
変換を計算せよ．
2. 複素正弦信号 𝑥2 𝑡 = 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑢(𝑡) のラプラ
ス変換を計算せよ．
3. 1.と2．の結果を用いて sin 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)，
cos 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)のラプラス変換を求めよ．
（注）ラプラス変換は線形の変換であり，重ね
合わせが成り立つ．
8
ラプラス変換（対）表
𝒇(𝒕)
𝑭(𝒔)
𝒇(𝒕)
𝑭(𝒔)
𝛿(𝑡)
1
1
𝑒 −𝛼𝑡 − 𝑒 −𝛽𝑡 𝑢(𝑡)
𝛽−𝛼
𝑢(𝑡)
1
𝑠
1
𝑠2
1
𝑠𝑛
sin(𝜔𝑡) 𝑢(𝑡)
1
(𝑠 + 𝛼)(𝑠 + 𝛽)
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
𝑟 𝑡 = 𝑡𝑢(𝑡)
𝑡 𝑛−1
𝑢 𝑡
𝑛−1 !
𝑛 = 1,2, …
𝑒 −𝛼𝑡 𝑢(𝑡)
𝑡𝑒 −𝛼𝑡 𝑢(𝑡)
𝑡 𝑛−1
𝑒 −𝛼𝑡 𝑢(𝑡)
𝑛−1 !
𝑛 = 1,2, …
1
𝑠+𝛼
1
(𝑠 + 𝛼)2
1
(𝑠 + 𝛼)𝑛
cos(𝜔𝑡) 𝑢(𝑡)
sin 𝜔𝑡 + 𝜃 𝑢(𝑡)
𝑠 sin 𝜃 + 𝜔 cos(𝜃)
𝑠2 + 𝜔2
cos 𝜔𝑡 + 𝜃 𝑢(𝑡)
𝑠 cos 𝜃 − 𝜔 sin(𝜃)
𝑠2 + 𝜔2
𝜔
(𝑠 + 𝛼)2 +𝜔 2
𝑒 −𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)
𝑒 −𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)
𝑠+𝛼
(𝑠 + 𝛼)2 +𝜔 2
9
ラプラス変換の定理（１）
• 加法定理（線形性）
ℒ 𝑓1 𝑡 ± 𝑓2 𝑡
= ℒ 𝑓1 𝑡
± ℒ[𝑓2 𝑡 ]
• 定数倍（線形性）
ℒ 𝑘𝑓 𝑡 = 𝑘ℒ[𝑓 𝑡 ]
• 微分
ℒ 𝑓 ′ 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)
初期値 𝑓(0) を忘
れないように！
𝑛
ℒ𝑓
𝑛
𝑡
= 𝑠𝑛𝐹 𝑠 −
ただし 𝑓
𝑛
𝑡
𝑠 𝑛−𝑘 𝑓
𝑘−1
(0)
𝑘=1
𝑑 𝑛 𝑓(𝑡)
=
𝑑𝑡 𝑛
10
ラプラス変換の定理（２）
• 積分
𝑡
𝐹(𝑠)
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑠
0
ℒ
𝑡
𝑡
ℒ
𝑡
…
0
0
𝑓(𝑡)(𝑑𝑡)
0
• たたみ込み積分
ℒ 𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡
𝑛
1
= 𝑛 𝐹(𝑠)
𝑠
∞
=ℒ
= ℒ 𝑓1 𝑡 ℒ 𝑓2 𝑡
0
𝑓1 𝜏 𝑓2 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
= 𝐹1 (𝑠)𝐹2 (𝑠)
たたみ込み積分が普通の積に変わる
11
ラプラス変換の定理（３）
• 時間遅れ
ℒ 𝑓 𝑡 − 𝜏 = 𝑒 −𝜏𝑠 𝐹(𝑠)
時間遅れ 𝜏 をむだ時間とも言う．むだ時間の
ラプラス変換は有限次数の多項式にならない
ため数学的な扱いが難しく，しばしば制御系
の安定性を損なう．
• 最終値の定理
lim 𝑓 𝑡 = lim 𝑠𝐹(𝑠)
𝑡 ∞
𝑠 0
システムの十分時間を経た状態（定常状態）
を調べるのに役立つ
12
部分分数展開
有理式 𝐹 𝑠 =
𝑄(𝑠)
𝑃(𝑠)
ラプラス逆変換
時間領域の式 𝑓(𝑡)
ラプラス逆変換は複素積
分なので，真面目に計算
するのは結構大変
ラプラス変換表の利用
1
(𝑠+𝛼)𝑛
や
𝑠
𝑠 2 +𝜔2
の形
部分分数展開が必要
13
分母の根に重複の無い場合
𝑄(𝑠)
𝑄(𝑠)
𝐹 𝑠 =
=
𝑃(𝑠)
𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 … (𝑠 − 𝑝𝑛 )
この式を
𝐴1
𝐴𝑛
𝐹 𝑠 =
+ ⋯+
𝑠 − 𝑝1
𝑠 − 𝑝𝑛
の形にしたい．上の式の両辺に 𝑠 − 𝑝𝑘 をかけると
𝑠 − 𝑝𝑘 𝐹 𝑠 =
𝐴1 (𝑠−𝑝𝑘 )
𝑠−𝑝1
+
𝐴𝑛 (𝑠−𝑝𝑘 )
⋯ +𝐴𝑘 + ⋯
𝑠−𝑝𝑛
よって，
𝐴𝑘 = (𝑠 − 𝑝𝑘 )𝐹(𝑠)|𝑠=𝑝𝑘 (𝑘 = 1,2, … 𝑛)
とすれば良いことが分かる．
14
例
• 𝐹 𝑠 =
𝑠+2
𝑠(𝑠+1)
𝐴
𝑠
= +
𝐵
𝑠+1
と展開する場合
𝑠+2
𝐴 = 𝑠𝐹 𝑠 |𝑠=0 =
|𝑠=0 = 2
𝑠+1
𝑠+2
𝐵 = (𝑠 + 1)𝐹 𝑠 |𝑠=−1 =
|𝑠=−1 = −1
𝑠
2
1
∴𝐹 𝑠 = −
𝑠 𝑠+1
ラプラス変換表をみて逆変換すると，
𝑓 𝑡 = 2𝑢 𝑡 − 𝑒 −𝑡 𝑢 𝑡 = 2 − 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡)
15
例
• 𝐹 𝑠 =
𝜔
𝑠 2 +𝜔2
の場合
𝜔
𝐴
𝐵
𝐹 𝑠 =
=
+
(𝑠 + 𝑗𝜔)(𝑠 − 𝑗𝜔) 𝑠 + 𝑗𝜔 𝑠 − 𝑗𝜔
と考えれば重複の無い場合と同じ
𝜔
𝑗
𝐴 = 𝑠 + 𝑗𝜔 𝐹(𝑠)|𝑠=−𝑗𝜔 =
|𝑠=−𝑗𝜔 =
𝑠 − 𝑗𝜔
2
𝜔
𝑗
𝐵 = 𝑠 − 𝑗𝜔 𝐹(𝑠)|𝑠=𝑗𝜔 =
|𝑠=𝑗𝜔 = −
𝑠 + 𝑗𝜔
2
𝑗
1
1
∴𝐹 𝑠 =
−
2 𝑠 + 𝑗𝜔 𝑠 − 𝑗𝜔
ラプラス逆変換して
𝑗 −𝑗𝜔
𝑓 𝑡 = 𝑒
− 𝑒 𝑗𝜔 = sin(𝜔𝑡)
2
16
問
𝐹 𝑠 =
𝑠−2
𝑠(𝑠+1)(𝑠+2)
のラプラス逆変換を求めよ．
17
分母の根に重複がある場合（１）
• 𝐹 𝑠 =
𝑄(𝑠)
(𝑠−𝑝1 )𝑚1 ⋯(𝑠−𝑝𝑛 )𝑚𝑛
を以下の形に展開
𝐴1,𝑚1
𝐴1,1
𝐴1,2
𝐹 𝑠 =
+
+⋯
2
𝑠 − 𝑝1 (𝑠 − 𝑝1 )
(𝑠 − 𝑝1 )𝑚1
𝐴𝑛,𝑚𝑛
𝐴𝑛,1
𝐴𝑛,2
+⋯+
+
+ ⋯+
2
𝑠 − 𝑝𝑛
𝑠 − 𝑝𝑛
(𝑠 − 𝑝𝑛 )𝑚𝑛
重複が無い場合と同様に考え，両辺に (𝑠 − 𝑝𝑘 )𝑚𝑘 を乗
じて 𝑠 𝑝𝑘 とすると，最高次の係数が求まる．
𝐴𝑘,𝑚𝑘 = (𝑠 − 𝑝𝑘 )𝑚𝑘 𝐹(𝑠)|𝑠=𝑝𝑘
18
分母の根に重複がある場合（２）
・次に，微分して最高次の係数を消去する．
𝑑
𝑑𝑠
𝑠 − 𝑝𝑘
𝑚𝑘 𝐹(𝑠)
=
𝑑
⋯ + 𝐴𝑘,𝑚𝑘−2 (𝑠 − 𝑝𝑘 )2 +𝐴𝑘,𝑚𝑘−1 𝑠 − 𝑝𝑘 + 𝐴𝑘,𝑚𝑘 + ⋯
𝑑𝑠
= ⋯ + 2𝐴𝑘,𝑚𝑘 −2 𝑠 − 𝑝𝑘 + 𝐴𝑘,𝑚𝑘 −1 + 0 + ⋯
したがって微分してから 𝑠 𝑝𝑘 とすると 𝐴𝑘,𝑚𝑘 −1 が得ら
れる．これを一般化して，
𝐴𝑘,𝑚𝑘−𝑙
1 𝑑𝑙
=
𝑠 − 𝑝𝑘
𝑙
𝑙! 𝑑𝑠
𝑚𝑘 𝐹(𝑠)
(𝑙 = 1, ⋯ , 𝑚𝑘 − 1)
𝑠=𝑝𝑘
19
例
• 𝐹 𝑠 =
𝑠+3
(𝑠+2)(𝑠+1)2
=
𝐴
𝐵
𝐶
+
+
𝑠+2
𝑠+1
(𝑠+1)2
𝐴 = 𝑠 + 2 𝐹(𝑠)|𝑠=−2 =
𝑠+3
|𝑠=−2
2
(𝑠+1)
2
𝑠+3
|𝑠=−1
𝑠+2
𝐶 = (𝑠 + 1) 𝐹(𝑠)|𝑠=−1 =
𝑑
𝐵=
(𝑠 + 1)2 𝐹(𝑠)|𝑠=−1
𝑑𝑠
=
−1
|𝑠=−1
2
(𝑠+2)
と展開
=1
=2
= −1
したがって， 𝐹 𝑠 =
1
1
2
−
+
𝑠+2
𝑠+1
(𝑠+1)2
−2𝑡
−𝑡
逆変換すると 𝑓 𝑡 = 𝑒
−𝑒
+ 2𝑡𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡)
20
問
𝐹 𝑠 =
𝑠−1
𝑠(𝑠+1)(𝑠+2)2
のラプラス逆変換を求めよ．
21
微分方程式の解法
微分方程式（例） 𝑥 ′ 𝑡 + 3𝑥 𝑡 = cos(𝑡)
両辺をラプラス変換
𝑠
𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 + 3𝑋 𝑠 = 2
𝑠 +1
𝑋(𝑠) について解く
𝑠
𝑥(0)
𝑋 𝑠 =
+
2
(𝑠 + 3)(𝑠 + 1) 𝑠 + 3
ラプラス逆変換
3
3
1
−3𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑥 0 −
𝑒
+ cos 𝑡 + sin(𝑡)
10
10
10
22
例
直列RC回路
微分方程式
𝑖(𝑡)
𝑑𝑞(𝑡) 1
𝑅
+ 𝑞 𝑡 = 𝐸𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝐶
𝑡=0
𝑅
𝐸
ラプラス変換
𝑞(𝑡)
𝐶
𝑅 𝑠𝑄 𝑠 − 𝑞 0
1
𝐸
+ 𝑄 𝑠 =
𝐶
𝑠
初期電荷はゼロとすると 𝑞 0 = 0
𝐸
1
1
1
𝑄 s =
= 𝐸𝐶
−
1
𝑅 𝑠 𝑠+
𝑠 𝑠+ 1
𝐶𝑅
𝐶𝑅
∴ 𝑞 𝑡 = 𝐸𝐶 1 − 𝑒
1
−𝐶𝑅 𝑡
𝑢(𝑡)
23
問
時刻0で直列RLC回路に直流電圧 𝐸 を加えた場
合の微分方程式をラプラス変換を用いて解け．
𝐿
𝑅
𝐶 𝑞(𝑡)
𝐸
微分方程式
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑2 𝑞(𝑡) 1
𝐸𝑢 𝑡 = 𝑅
+𝐿
+ 𝑞(𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
24
練習問題
１．下図の機械系の微分方程式を書け．
２． 𝑓 𝑡 = 𝛿 𝑡 のとき，ラプラス変換を用いて微
分方程式の解を求めよ．ただし，質量 M は時
間0のとき原点で静止している（𝑥 0 = 0，
𝑥 ′ 0 = 0) とする．
𝑥(𝑡)
𝐾
M
𝑓(𝑡)
25

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