一次不定方程式整数問題は積の形が基本的に扱いやすい．方程式の項

一次不定方程式
【例題】
，を自然数とする．4 + 7 = 97 となる，の組を求めよ．
整数問題は積の形が基本的に扱いやすい．方程式
の項が２つなら，つまり, 〇＝△ の形なら，両辺
を因数分解するなどして，解き進めることができる．
つまり，この問題は項が１つ多いのが難点である．
そこで，強引だが，定数の 97 を仮に 0 としてみ
よう．そうすると，4 + 7 = 0, つまり，4 = −7
になるので，4 と 7 は互いに素だから， = 4と表
せて…などというように，話が動いていく．では，
どうやって 97 を消すのか？これは，定石ともいえ
る方法がある．とにかく何でもいいから，この式を
満たす整数の組を一組探すのである．
【解答】
= 5, = 11 はこの式の解の１つなので，
4 + 7 = 97
4 ∙ 5 + 7 ∙ 11 = 97
辺々ひくと
4 − 5 + 7 − 11 = 0
4 − 5 = −7 − 11
より，4 と 7 は互いに素なので，
− 11 = 4は整数とかける.
このとき,
4 − 5 = −7 ∙ 4
= −7 + 5
，は自然数だから
= −7 + 5 ≧ 0， = 4 + 11 ≧ 0
よって
11
5
−
≦≦
4
7
は整数だから
= −2， − 1，0
よって
， = 19，3，12，7，5，11
※ = 5, = 11 以外の組を見つけたとしても，答
えは同じ．
※1 組見つけて，辺々引くのは常套手段．しっかり
マスターしておこう．
【１】2 + 25 = 1993 を満たす整数, のう
ち，との差の絶対値が最も小さいものを求め
よ．
(お茶の水女子大)
（同志社大，表記変更）
【解答】
= 9, = 79 はこの式の解の１つなので，
2 + 25 = 1993
2 ∙ 9 + 25 ∙ 79 = 1993
辺々ひくと
2 − 9 = −25 − 79
2 と 25 は互いに素なので，
− 79 = 2 (は整数)とかける．
このとき，
2 − 9 = −25 ∙ 2
= −25 + 9
よって，, = −25 + 9, 2 + 79
| − | = |−25 + 9 − 2 − 79|
= |−27 − 70|
よって， = −3 のとき，最小値 11 をとる．
このとき，, = 84, 73
【２】を整数とするとき，, の方程式
2 + 3 = について，
(1)この式を満たす整数, の組を求めよ．
(2) = 100のとき，この式を満たす正の整数
, は何組あるか．
(東京理科大，改題)
【解答】
(1) = 2， = − は解の１つなので，
2 + 3 = 2 ∙ 2 + 3 ∙ − = を辺々引いて
2 − 2 + 3 + = 0
2 − 2 = −3 + 2 と 3 は互いに素だから，
+ = 2とおけるは任意の整数
このとき
2 − 2 = −3 ∙ 2
= 2 − 3
よって，， = 2 − 3， − + 2
2 = 200 − 3 > 0， = −100 + 2 > 0より
200
50 < <
= 66. ⋯
3
は整数なので，16 組.
【３】1 以上の整数全体の集合を&とし，その部
分集合
# = $3 + 7|, ∈ &}
を考える．#はある整数以上のすべての整数を含
むことを示し，そのようなの最小値を求めよ．
(お茶の水女子大)
【解答】
3 + 7 = ⋯ ①とする．
= −2, = は解の 1 つであるから，
3 ∙ −2 + 7 ∙ = ⋯ ②
①－②より，
3 + 2 + 7 − = 0
3 + 2 = −7 − 3 と 7 は互いに素だから，
− = 3は整数）
とかける．このとき
3 + 2 = −7 ∙ 3
= −2 − 7
よって
， = −2 − 7，3 + > 0， > 0より
−2 − 7 > 0 かつ 3 + > 0
よって
2
− < < − ⋯③
3
7
これを満たす整数が存在するためには
2
− − !− " > 1
7
3
>1
21
よって#は 22 以上のすべての自然数を含む．
また,
= 21のとき, ③を満たす整数は存在しない．した
がって, 最小値は 22
※下から 3 行目は大事
整数が存在⇒不等式の「幅」が１より大

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