サプリーム数学α

1
目次
第1章
数と式・方程式の理論
2
第2章
二次関数
4
第3章
論理と集合
7
第4章
図形と式
9
第5章
三角・指数・対数関数
12
第6章
数列
15
第7章
ベクトル
17
第8章
図形
20
第9章
微分と積分
21
2
第1章
数と式・方程式の理論
✓
【問題 1】
次の（
）の中にイロハニホのうち適当なものを記入し、
の中に適当な数を記入せよ。
✏
イ 0 より小さい。
ロ 0 と 1 との間にある。
ハ 1 と 2 との間にある。
ニ 2 と 3 との間にある。
ホ 3 より大きい。
ax2 + 4x − 3 が x = 1 で負、 x = 2 で正となるためには、 (1) < a < (2) が必要十分条件である。この
とき、方程式 ax2 + 4x − 3 = 0 の２根のうち大きい方を α, 小さい方を β とすれば α は（ア）, そして β は
✒
（イ）。
✓
【問題 2】
n は 3 以上の奇数として、多項式 P (x) = xn − ax2 − bx + 2 を考える。P (x) が x2 − 4 で割りきれるときは
2
a = ア , b = イであり、(x + 1) で割りきれるときは a = ウ , b = エである。
✒
✓
【問題 3】
✑
✏
✑
✏
k を実数として、x の４次関数 f (x) を、
f (x) = x4 − kx2 + 4x + k + 3
と定める。
(1) 方程式 f (x) = 0 は、k の値によらず x = アを実数解としてもつ。また、この方程式の実数解がイの
みとなるのは、k = イのときである。
(2) k = 4 のとき、f (x) は x = ウで最小値エをとる。
(3) 方程式 f (x) = 0 が相異なる４つの実数解をもつような値の範囲は、k > オである。k がこの範囲にあ
るとき、f (x) = 0 の４つの解を a, b, c, d (a < b < c < d) とする。a + c + d と acd をそれぞれ k を用い
て表すと、
a+c+d=
✒
カ , acd =
となる。また、k → ∞ のとき、bc → クである。
キ
✑
3
✓
【問題 4】
!
x3 + 3
x
✒
"6
✏
を展開したとき、定数項はアイウエである。
✑
✓
【問題 5】
✏
x の整式 f (x) , g (x) について、次の２つの恒等式が成り立つ。
# $
• (x + 2) f x2 = x2 {f (x) + 7} − 3x − 6
#
$
• g (x) = f (2x) x2 + 3 − 4x + 9
(i) f (10) の値はアイである。
√
(ii) g (x) を x + 2 で割るときの余りは
✒
ウエ
オカ
−
%
キ
である。
✓
【問題 6】
✑
✏
次方程式
x3 −
(1)
x2 + 25x − 26 = 0
の３つの解は、
2,
✒
である。ただし、 i =
√
−1 。
(2)
+
(3)
i,
(4)
−
(5)
i
✑
4
第2章
二次関数
✓
【問題 7】
✏
a ̸= 0 として、次の二つの２次関数について考える。
y = ax2 + 2ax + a + 6
1 のグラフの頂点は
(1) ⃝
&
アイ ,
y = x2 + bx + 2b − 6
'
ウ
1
······⃝
2
······⃝
である。
2 のグラフを x 軸方向へ 1, y 軸方向へ p 平行移動したところ⃝
1 のグラフに重なった。このとき
(2) ⃝
a=
エ , b=
オ , p=
カ
である。
√
1 のグラフが x 軸と２点 P, Q で交わり、線分 PQ の長さが 2 6 になるのは a = キクのときである。
(3) ⃝
√
2 のグラフと x 軸との交点を R, S としたとき、線分 RS の長さが 2 6 以下になるのは
また、⃝
ケ
✒
!b!
のときである。さらに、線分 RS の長さの最小値は
サ
コ
%
シ
である。
✑
5
✓
【問題 8】
✏
２次関数
y = 6x2 + 11x − 10
1
······⃝
について考える。
1 において、y ! 0 となる x の値の範囲は、
⃝
アイ
ウ
エ
!x!
オ
である。
1 のグラフを x 軸方向に a, y 軸方向に b だけ平行移動して得られるグラフを G とする。G が原点 (0, 0) を通る
⃝
とき、
b=
カキ
a2 +
クケ
コサ
a+
であり、このとき G を表す２次関数は
y=
である。
シ
x2 −
&
スセ
a−
ソタ
'
x
2
······⃝
2 の値が等しくなるのは
x = −2 と x = 3 に対応する２次関数⃝
a=
チツ
テト
2 の −2 ! x ! 3 における
のときである。このとき、２次関数⃝
最小値は
ナニ
、最大値はネノ
ヌ
✒
である。
✑
6
✓
【問題 9】
✏
a を定数とし、x の２次関数
y = x2 + 2ax + 3a2 − 6a − 36
1
······⃝
のグラフを G とする。G の頂点の座標は
&
ア
a2 −
イ
a,
ウ
a−
エオ
である。G と y 軸との交点の y 座標を p とする。
(1) p = −27 のとき、a の値は a = カ ,
'
1 のグラフを x 軸方向
キクである。a = カのときの⃝
1 のグラフに一致する。
にケ , y 軸方向にコだけ平行移動すると、a = キクのときの⃝
(2) 下のサ ,
シ ,
ス ,
じものを繰り返し選んでもよい。
0 >
⃝
1 <
⃝
0 ∼⃝
3 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同
セに次の⃝
2 "
⃝
3 !
⃝
G が x 軸と共有点をもつような a の値の範囲を表す不等式は
ソタ
サ
a
シ
2
······⃝
チ
2 の範囲にあるとき、p は a = ツで最小値テトナをとり、a = ニで最大値ヌネを
である。a が⃝
とる。
G が x 軸と共有点をもち、さらにそのすべての共有点の x 座標が −1 より大きくなるような a の値の範囲を
表す不等式は
ノハ
✒
である。
ス
a
セ
ヒフ
ヘ
✑
7
第3章
論理と集合
✓
【問題 10】
a は実数とし、b は 0 でない実数とする。a と b に関する条件 p, q, r を次のように定める。
✏
p : a, b はともに有理数である
q : a + b, ab はともに有理数である
a
r:
は有理数である
b
0 ∼⃝
3 のうちから選べ。
(1) 次のアに当てはまるものを、下の⃝
条件 p の否定 p はアである。
0 「a, b はともに有理数である」
⃝
1 「a, b はともに無理数である」
⃝
2 「a, b の少なくとも一方は有理数である」
⃝
3 「a, b の少なくとも一方は無理数である」
⃝
0 ∼⃝
3 のうちから一つ選べ。
(2) 次のイに当てはまるものを、下の⃝
条件「q かつ r 」は条件 p が成り立つためのイ
0
⃝
必要十分条件である。
2
⃝
十分条件であるが必要条件ではない
1
⃝
必要条件であるが十分条件ではない
3
⃝
必要条件でも十分条件でもない
。
0 ∼⃝
7 のうち、正しいものはウである。
(3) 次の⃝
0 「p =⇒ q 」は真、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は真、「p =⇒ q 」の対偶は真である。
1 「p =⇒ q 」は真、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は真、「p =⇒ q 」の対偶は偽である。
2 「p =⇒ q 」は真、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は偽、「p =⇒ q 」の対偶は真である。
3 「p =⇒ q 」は真、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は偽、「p =⇒ q 」の対偶は偽である。
4 「p =⇒ q 」は偽、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は真、「p =⇒ q 」の対偶は真である。
5 「p =⇒ q 」は偽、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は真、「p =⇒ q 」の対偶は偽である。
✒
6 「p =⇒ q 」は偽、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は偽、「p =⇒ q 」の対偶は真である。
7 「p =⇒ q 」は偽、
⃝
「p =⇒ q 」の逆は偽、「p =⇒ q 」の対偶は偽である。
✑
8
✓
【問題 11】
次の
にあてはまるのは、下記のイロハニの中のどれであるか。イロハニの記号で答えよ。
✏
長さ a, b, c の３つの線分がある。これらを３辺とする鋭角三角形をつくりうるために
(1)
(2)
(3)
(4)
a−b <c<a+b は
である。
a2 − b2 < c2 < a2 + b2 は
a2 − b2 < c2 < ab は
2
2
a−b <c< b + a は
a
b
である。
である。
である。
イ必要かつ十分な条件
ロ十分であるが必要でない条件
ハ必要であるが十分でない条件
✒
✑
ニ必要でも十分でもない条件
✓
【問題 12】
以下の条件をみたす実数 x の値の範囲をそれぞれ求めよ。
✏
(1) x2 + xy + y 2 = 1 をみたす実数 y が存在する。
(2) x2 + xy + y 2 = 1 をみたす正の実数 y が存在しない。
(3) すべての実数 y に対して x2 + xy + y 2 > x + y が成り立つ。
✒
✓
【問題 13】
x についての２次方程式
✑
✏
(x − 1)(x − 2) + k(x − a) = 0
✒
が、すべての実数 k に対して、実数解をもつような実数 a の範囲を求めよ。
✑
9
第4章
図形と式
✓
【問題 14】
a を正の定数とし、放物線 y = x2 + (6a + 2) x + 3a + 4 を C, その頂点を P とする。
(1) P の座標は
&
− ア
a−
イ , − ウ
a2 −
エ
a+
オ
である。C が異なる２点で x 軸と交わる条件は
a>
− カ
+
%
キク
✏
'
1
······⃝
ケ
1 の条件のもとで考え、C と x 軸との交点を A, B とする。
である。以下、⃝
(2) 線分 AB の長さは
%
コ
サ
a2 +
シ
a−
ス
である。三角形 APB の外接円の中心の座標は
⎛
であり、半径は
⎝− セ
a−
1
2
✒
である。
&
ソ ,
テ
− タ
a2 +
ト
a2 −
a−
チ
a+
2
ナ
'
ツ
⎞
⎠
✑
10
✓
【問題 15】
O を原点とする座標平面において、点 A(0, 2) と点 B(2, 0) を結ぶ線分上に点 P(a, 2 − a)（ただし 0 < a < 2）
✏
をとり、P の x 軸に関する対称点を P′ とする。P から直線 OP′ に引いた垂線が直線 OP′ と交わる点を H と
する。
(1) 直線 OP′ の方程式は
&
ア
a−
'
x − ay = 0
であり、a = イのとき、直線 AB と直線 OP′ とは平行である。
(2) 直線 PH の方程式は
ax −
&
'
−a y+
ウ
エ
&
である。この直線 PH は点 P のとり方によらず定点 C
&
の上にある。
ク
x−
'2
−
カ ,
&
+ y−
ケ
'2
オ
a=0
キ
'
=
コ
を通るから、点 H は円
(3) 点 H の x 座標が最小になるとき、H の座標は
!
サ
−
%
シ ,
ス
"
である。このとき、(2) の定点 C に対し、線分 OC の中点を D とすれば
2
(cos ∠ODH) =
である。さらに、a = ソ
−
%
タ
であり
OP2 =
✒
である。
1
セ
チ
−
ツ
%
テ
✑
11
✓
【問題 16】
２つの企業 A, B は同じ飲料を生産し販売している。両企業とも x リットルを生産するのにかかる費用は
✏
cx (c > 0) とする。また企業 A が x リットル販売し、企業 B が y リットル販売するときの１リットルあたりの
a
価格は p = a − b (x + y) とする。ただし a > c > 0, x " 0, y " 0 とし、x + y " のときは p = 0 とする。
b
解答欄には選択肢から空欄に入れるもっとも適切なものを選び、その番号を答えなさい。
(I) 企業 B は企業 A が x リットル生産するものと仮定して利益 py − cy を最大にするように y を決める。
a−c
a−c
x>
のとき、y = アイであり、x !
のとき、y = ウエである。
b
b
(II) 企業 A は企業 B が (1) のような販売戦略をとることを知った。その上で利益 px − cx を最大にするよう
に x を決めると x はオカである。
(III) (1), (2) の状況下で価格 p はキクである。
（選択肢）
(1) 0
b−a
2b
2a + c
(13)
4
✒
(7)
(2) 1
a−c
2b
3a + c
(14)
4
(8)
(3) 2
c−b
2b
a+c
(15)
2
(9)
a + bx + c
a + bx − c
a − bx − c
(5)
(6)
2b
2b
2b
a+c
a + 2c
a + 3c
(10)
(11)
(12)
4
4
4
(4)
✑
12
第5章
三角・指数・対数関数
✓
【問題 17】
✏
不等式
(1)
<
(2)
<
が成り立つように次の各値をならべるとき、
✒
(3)
<
(4)
<
(5)
の中にはそれぞれどれを入れればよいか。
イ
sin 870◦
ロ
cos (−430◦ )
ハ
tan 1310◦
ニ
cos (−2095◦ )
ホ
cos 1900◦
✑
✓
【問題 18】
✏
0 ! θ < 2π のとき
y = 2 sin θ cos θ − 2 sin θ − 2 cos θ − 3
とする。x = sin θ + cos θ とおくと、y は x の関数
y=x
ア
イ
−
となる。
x=
%
エ
%
カ
であるから、x の値の範囲は
−
である。したがって、y は θ =
ク
ケ
⎛
sin ⎝θ +
!x!
%
⎞
π
⎠
オ
キ
π のとき最大値
コ
をとる。また、y の最小値はスセである。
✒
ウ
x−
!%
サ
−
シ
"
✑
13
✓
【問題 19】
関数
✏
1
cos 3θ を x = cos θ に関する多項式で表すと、
4
ア
イ
x3 −
ウ
x
となる。この多項式を f (x) とすると、 f (x) の −1 ! x ! 1 での最大値は
✒
✓
【問題 20】
0<θ<
✒
π
のとき、log4 sin5 θ + log4 cos5 θ の最大値は −
2
ア
エ
である。
オ
✑
✏
である。
イ
✓
【問題 21】
下に書いてあるイからトまでの方程式の中から適当なものを選んで次の
✑
に記入せよ。
✏
ただし、イ，ロ，ハ，· · · などの記号のみを記入せよ。
(1)
のグラフは y = loga x のグラフを x 軸に平行に移動したものである。
(2)
のグラフは y = loga x のグラフを y 軸に平行に移動したものである。
(3)
のグラフは y = loga x のグラフを原点に関して対称にうつしたものである。
(4)
のグラフは y = loga x のグラフを x 軸に関して対称にうつしたものである。
(5)
のグラフは y = loga x のグラフを直線 y = x に関して対称にうつしたものである。
イ
y = ax
ロ
ay = x + h
ハ
x = ya
ニ
ホ
xay+h = 1
ヘ
xay = −1
y = loga x
h
ト
y = log a1 x
✒
ただし、 a > 0, a ̸= 1, h > 0, h ̸= 1 とする。
✓
【問題 22】
次の問いに答えよ。
✑
✏
(1) a, b, p は実数で、a > 0, a ̸= 1, b > 0 とするとき、logap bp = loga b を証明せよ。
(2) (log2 9 + log8 3)(log3 16 + log9 4) を簡単にせよ。
(3) 16log2 3 の値を求めよ。
✒
✑
14
✓
【問題 23】
✏
不等式
2 log3 x − 4 logx 27 ! 5
· · · · · · (∗)
が成り立つような x の値の範囲を求めよう。
(1) 不等式 (∗) において、x は対数の底であるから
x> ア
かつ
x ̸= イ
を満たさなければならない。また
logx 27 =
ウ
log3 x
である。
(2) 不等式 (∗) は
ア
x>
<x<
イ
イ
のとき
エ (log3 x)2 −
オ
log3 x −
カキ
"0
(log3 x)2 −
オ
log3 x −
カキ
!0
のとき
エ
と変形できる。したがって、求める x の値の範囲は
ア
✒
<x!
%
ク
,
ケ
イ
<x!
コサ
✑
である。
✓
【問題 24】
x > 0, y > 0, z > 0 であり、xyz 3 = 1000, x2 yz = 10 が成り立つとき、L = (log10 y) (log10 x + 6) とおく。
(1) L = −40 のとき、z の値は 10
(2) L の最大値は
✒
エオ
カ
アイ
または 10
ウ
✏
である。
である。
✑
15
第6章
数列
✓
【問題 25】
✏
✓
【問題 26】
✏
−2n3 + 11n2 − 5n − 18 を最大にする正の整数 n はアであり、その最大値はイウである。
✒
(1) 1 · 2 · 3, 2 · 3 · 4, 5 · 6 · 7, 7 · 8 · 9, · · · · · · の最初の n 項の和を n の式で表せ。
n
,
1
(2)
を求めよ。
k(k + 1)(k + 2)
✑
k=1
(3) 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + · · · · · · + (−1)
✒
n−1
nxn−1 を求めよ。
✓
【問題 27】
(1) 数列 {an } の初項から第 n 項までの和 Sn =
n
,
✑
✏
ak が
k=1
Sn = −n2 + 24n
(n = 1, 2, 3, · · · · · · )
で与えられるものとする。このとき a1 = アイ , a2 = ウエである。また an < 0 となる自然数 n の値
の範囲は n " オカであり、
40
,
ak =
キクケ
k=1
となる。
(2) 初項 1, 公比 3 の等比数列を {bk } とおく。各自然数 n に対して、bk ! n を満たす最大の bk を cn とおく。
例えば、n = 5 のとき
b2 = 3, b3 = 9 であり b1 < b2 ! 5 < b3 < b4 < · · · · · ·
なので c5 = b2 = 3 である。
(i) c10 = コであり、Cn = 27 である自然数 n は全部でサシ個ある。
(ii)
✒
30
,
k=1
ck = スセソである。
✑
16
✓
【問題 28】
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
, , , , , , , , , 1, , , , 1, 2, · · · · · · がある。この数列 {an } を初めから１個、２
8 8 4 8 4 2 8 4 2
8 4 2
個、３個、· · · · · · と下記のように区画に分ける。
数列 {an } :
✏
1 -- 1 1 -- 1 1 1 -- 1 1 1 -- 1 1 1
- ······
,
,
,
,
,
,
1
,
,
,
1,
2
8 8 4 8 4 2 8 4 2
8 4 2
このとき、初めから第 k 番目の区画は、初項
し、k = 1, 2, 3, · · · · · · とする。
1
, 公比 2 の等比数列の初項から第 k 項までの数列である。ただ
8
(1) an = 230 となる最小の n の値はアイウである。
(2) 数列 {an } の第 135 項は 2
✒
✓
【問題 29】
エオ
である。
a1 = 1, a2 = 4, an+2 = −an+1 + 2an (n = 1, 2, 3, · · · ) によって定められる数列 {an } の一般項は
an = アである。
✒
✑
✏
✑
17
第7章
ベクトル
✓
【問題 30】
✏
平面上の三つのベクトル ⃗a, ⃗b, ⃗c は
⃗a = ⃗b = ⃗c = ⃗a + ⃗b = 1
を満たし、⃗c は ⃗a に垂直で、⃗b · ⃗c > 0 であるとする。
(1) ⃗a と ⃗b の内積は、
アイ
⃗a · ⃗b =
ウ
である。また
2⃗a + ⃗b =
であり、2⃗a + ⃗b と ⃗b のなす角は
オカ
◦
(2) ベクトル ⃗c を ⃗a と ⃗b で表すと、
⃗c =
%
エ
である。
%
&
⃗a +
キ
ク
⃗b
ケ
'
である。
(3) x, y を実数とする。ベクトル ⃗p = x ⃗a + y ⃗c が
0 ! ⃗p · ⃗a ! 1, 0 ! ⃗p · ⃗b ! 1
を満たすための必要十分条件は
コ
!x!
サ , x!
である。x と y が上の範囲を動くとき、⃗p · ⃗c は最大値
で表すと、
⃗p =
✒
である。
ソ
%
%
⃗a +
シ
セ
タ
y !x+
ス
をとり、この最大値をとるときの ⃗p を ⃗a と ⃗b
⃗b
✑
18
✓
【問題 31】
座標空間の原点 O(0, 0, 0) と球面 x2 + y 2 + z 2 = 1 上の３点 A(1, 0, 0) , B(0, 1, 0) , P(a, b, c) を考える。
√
6
(1) AP=
, BP=
2
✏
√
14
, c > 0 のとき、
2
a=
ア
イ
, b=−
である。また、∠APB = θ とすると、
cos θ =
であり、△APB の面積は
%
ウ
, c=
エ
%
%
オ
カ
キク
ケ
コ
である。
サ
√
2
4
5
(2) 次に、a = − , b = , c =
とする。このとき、点 P から直線 AB に下ろした垂線の足 H の座標は
5
5
5
⎛
⎞
シ
⎝−
スセ
ソタ
,
チツ
, 0⎠
である。また、直線 PH と球面の交点のうち、P と異なる方の点の座標は
⎛
✒
である。
⎝−
テト
ナニ
,
ヌネ
ノハ
ヒフ
,
%
ホマ
ヘ
⎞
⎠
✑
19
✓
【問題 32】
✏
−→
三角形 OAB の重心を C とすると、ベクトル OC は
−→
OC =
ア
イ
−→
OA +
ウ
エ
−→
OB
と表される。線分 OC の中点を D, 辺 OA の中点を E とする。直線 AD と直線 BE の交点を F とする。このと
−→
き OF は
−→
OF =
オ
カ
−→
OA +
キ
ク
−→
OB
と表される。
さらに、辺 OB の中点を G, 直線 BD と直線 AG の交点を H とする。線分 AB と線分 FH の長さの比は
FH =
AB
ケ
コ
となる。三角形 OAB の面積を S1 , 三角形 OFH の面積を S2 とすると、
S2
=
S1
✒
となる。
サシ
スセ
✑
20
第8章
図形
✓
【問題 33】
平面内に同一直線上にない３点 A, B, C をとり、AB= 3, BC= 1, AC= t とする。また直線 AC に関して B の
✏
反対側に点 D をとり、CD= 2 とする。
(1) △ABC の面積はアである。
(2) △ABC の外接円の半径を t で表すとイとなり、t = ウのときイは最小となる。
(3) △ABC の内接円の半径はエである。
✒
✑
21
第9章
微分と積分
✓
【問題 34】
✏
a を正の実数として、C1 , C2 をそれぞれ次の２次関数のグラフとする。
C 1 : y = x2
C2 : y = x2 − 4ax + 4a (a + 1)
また、C1 と C2 の両方に接する直線を ℓ とする。
#
$
(1) 点 t, t2 における C1 の接線の方程式は
ア
y=
イ
tx − t
であり、この直線が C2 に接するのは t = ウのときである。
したがって、直線 ℓ の方程式は
y=
エ
+
ク ,
オ
x−
であり、ℓ と C2 の接点の座標は
である。
&
カキ
ケコ
+
サ
'
(2) C1 と C2 の交点を P とすると、P の座標は
!
a+
シ ,
&
シ
a+
'2 "
である。点 P を通って直線 ℓ に平行な直線を m とする。直線 m の方程式は
ス
y=
セ
x+a
−
ソ
である。直線 m と y 軸との交点の y 座標が正となるような a の値の範囲は a > タである。
a > タのとき、C1 の x " 0 の部分と直線 m および y 軸で囲まれた図形の面積 S は a を用いて
S=
✒
と表される。
チ
ツ
&
テ
+1
'
ト
&
ナニ
'
−1
✑
22
✓
【問題 35】
２次関数 y = f (x) のグラフは点 P(0, 5) と点 Q(2, 3) を通り、P における接線の傾きは −3 である。このとき
✏
Q における接線は、
ア
y=
イ
x+
である。
P における接線と Q における接線と y = f (x) のグラフで囲まれる部分の面積は、
ウ
エ
である。また P, Q を通る直線と y = f (x) のグラフで囲まれる部分の面積は
オ
カ
✒
✑
である。
✓
【問題 36】
1
6
座標平面上の曲線 y = − x3 + x2 −
✏
8
を F とする。
3
(i) 曲線 F の接線のうちで傾きが最大であるものを ℓ とすると、ℓ の方程式は
y=
である。曲線 F と直線 ℓ の接点 P の座標は
(ii) 曲線 y =
1 3
x +
3
オ
カ
x−
キ
ク
&
ア
ウ ,
エ
イ
'
である。
を G とすると、曲線 G の点 P における接線は ℓ である。
⎛
(iii) 曲線 F と G は点 P 以外に共有点 Q⎝ ケ , −
シ
x−
コ
サ
⎞
⎠ をもち、F と G で囲まれた部分の面積は
である。
ス
(iv) 曲線 F, G の概形および点 P, Q の位置を解答用紙 B の座標平面に描きなさい。ただし、曲線 F は実線
✒
で、曲線 G は点線で表すこと。
✑
23
✓
【問題 37】
✏
a, b を実数の定数とする。x の２次関数 f (x) を
f (x) = x2 + ax + b
で定め、
F (x) =
.
x
f (t) dt
0
とおく。
(1) 関数 F (x) は極値をとらないとする。b !
1
のとき、a のとりうる値の範囲は
4
アイ
!a!
ウエ
である。このときの f (x) に対し、F (1) のとりうる値の最小値は
オカ
であり、最大値は
キク
ケコ
と
サシ
なる。
(2) 関数 F (x) は x = α で極大になり、x = β で極小になるとする。0 < β − α !
のうち、b が最小になるものは
f (x) = x2 +
✒
ス
x+
1
が成り立つような f (x)
3
セソ
タチ
✑
である。
✓
【問題 38】
✏
実数全体を定義域とする関数 f (x) を
f (x) = 3
.
x
x−1
(t + t )(t + t − 1) dt
によって定める。
(1) f (x) を x の値について場合分けをして、x の多項式で表せ。
(2) 座標平面上に y = f (x) のグラフをかけ。
(3) x がすべての実数を動くときの f (x) の最小値を求めよ。
✒
✑

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