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数学 Ⅲ
高校新演習
目次
第 1 講
第 2 講
第 3 講
第 4 講
第 5 講
第 6 講
第 7 講
第 8 講
第 9 講
第 10 講
第 11
1講
2
複素数平面⑵ ････････････････････････････････････････････････････････････ 7
複素数平面と図形･･････････････････････････････････････････････････････ 12
２次曲線⑴ ─放物線─ ････････････････････････････････････････････ 17
･･･････････
２次曲線⑵ ─楕円─ ･･･････････････････････････････････････････････
22
････････････････････････････････････････････
･････････････････････
２次曲線⑶ ─双曲線─
27
･･
２次曲線⑷ ─接線─
接線─ ･･･････････････････････････････････････････････
32
････････････････････････････････････････････････････････････
････････
媒介変数表示
示･･･････････････････････････････････････････
37
･･････････････････････････････････････････････････････････････････････
････････････････････
極座標
標････････････････････････････････････････････････････････
42
･･･････････････････････････････
･･
･･･
関数
関数⑴ ─分数関数・無理関数─
分数関数・無理関数─
無理関数─ ･･･
47
････
･･････････
･･･････････････････････････････････
･･
関数⑵ ─逆関数・合成関数─
─逆関数・合成関数─
関数・合成関数─
52
･･･････････････････････････････････････････････････････････････
･･････････････････････
･････
数列の極限
極限･･･････････････････････････････
57
･･････････････････････････
･･････････････
････
無限級数･･･････････････････････････････････････････････････････････････････
62
････････････････････････････････････････････････････････････
･････
関数の極限⑴ ･･････････
関数の極限
67
･
･････
関数の極限⑵ ････････････････････････････････････････････････････････････
関数の極限
72
･･････････････････････････････････････････････････････････････････････
･･
･････
微分
微分法
77
･････････････････････････････････････････
いろ
いろいろな関数の導関数⑴
な関数の
82
･････････････････････････････････････････
いろいろな関数の導関数⑵
ろいろな
87
微分
微分の応用⑴ ─接線─ ････････････････････････････････････････････ 92
微分の応用⑵ ─関数の増減─ ･･･････････････････････････････････ 97
微分のいろいろな応用⑴ ･････････････････････････････････････････ 102
微分のいろいろな応用⑵ ･････････････････････････････････････････ 107
不定積分････････････････････････････････････････････････････････････････ 112
定積分の計算⑴ ･･････････････････････････････････････････････････････ 117
定積分の計算⑵ ･･････････････････････････････････････････････････････ 122
積分の応用⑴ ･････････････････････････････････････････････････････････ 127
積分の応用⑵ ─面積①─ ･･････････････････････････････････････ 132
積分の応用⑶ ─面積②─ ･･････････････････････････････････････ 137
積分の応用⑷ ─体積─ ･････････････････････････････････････････ 142
積分の応用⑸ ─曲線の長さと道のり─ ･･･････････････････ 147
････････････････････････････････････････････････････････････
m
a
第 12 講
第 13 講
第 14 講
S
複素数平面⑴
第 15
5講
第 16
1 講
第 17 講
第 18
1 講
第1
19 講
第 20 講
第 21 講
第 22 講
第 23 講
第 24 講
第 25 講
第 26 講
第 27 講
第 28 講
第 29 講
第 30 講
e
l
p
第
1講
複素数平面⑴
基本事項
複素数平面
1
複素数 a＝a＋bi を座標平面上の点（a，b）で表すとき，この平面を複素数平面，または複素平面という。
複素数平面においては，x軸を実軸，y軸を虚軸という。
複素数平面上で複素数 a を表す点Aを A
（a）
と書く。または，単に点 a と呼ぶこともある。
複素数の実数倍，加法，減法
2
a，b を複素数，kを実数とし， a を表す点をA， b を表す点をBとするとき
>
実数倍：b＝ka
>
OB＝k OA
3点 0，a，b が一直線上にあるための条件は，b＝ka （kは実数）
>
>
>
>
>
>
和：C
（a＋b）のとき，OC＝OA＋OB 差：D（a−b）のとき，OD＝OA
OA−O
−OB
共役な複素数
3
たは a の共役複素数という。
複素数 a＝a＋bi に対し，a＝a−bi を a に共役な複素数，または
e
l
p
m
a
a と a について，次のことが成り立つ。
a＋a＝2a
a−a＝2bi
aa＝a2＋b2
a＝a
a が実数
a＝a a が純
が純虚数
a＝−a，a
a
＝−a，a
0
のこと
。
複素数 a，b について，次のことが成り立つ。
a＋b ＝a＋b
ab ＝a b a−b
b ＝a−b
a
a
（ b ）＝ b
S
an＝
（ a ）n （nは自然数）
自然数）
複
において
おいて
また，複素数平面において
に関して対称
点 a は点 a と実軸に関して対称
に関して対
に関して対称
点 −a は点 a と虚軸に関して対称
点 a と原点に関して対称
関して対
点 −a は点
間の
絶対値と２点間の距離
4
複素数 a＝a＋bi に
に対し，㲋a2＋b2 を a の絶対値といい， a と表す。
a ＝ a＋bi ＝㲋a2＋b2
複素数の絶対値について，次のことが成り立つ。
a ≧0
a 2＝aa
a ＝ −a ＝ a
複素数平面において，原点Oと点 a の距離は a ，2点 a，b 間の距離は b−a
例題 1
a＝2＋3i，b＝1−i，c＝4 のとき，次の点を複素数平面上に記せ。
2
⑴ A
（a）
⑵ B（b）
⑶ C（c）
⑸ E（a−b）
⑹ F
（−2b）
⑺ G（a＋2b−c）
⑷ D
（a＋b）
解答
右の図のようになる。
⑷ a＋b＝3＋2i
F
⑸ a−b＝1＋4i
⑹ −2b＝−2＋2i
y
4
3
2
1
⑺ a＋2b−c＝i
-2
E
A
D
G
O
-1
1
2
3
C
4 x
B
複素数 a＝a＋bi と点(a，b)が対応する。ベクトルのイメージも利用しよう。
類題 1
a＝3−6i，b＝−2＋5i，c＝2i のとき，次の点を複素数平面上に記せ。
⑴ A
（a）
⑵ B（b）
⑸ E
（a−b）
⑹ F
⑶ C（c）
（ 13 a）
⑷ D
（a＋b）
⑺ G
（a＋2b−3c）
e
l
p
m
a
S
例題 2
a＝2−5i，b＝−4＋pi とする。3点 0，a，b が一直線上にあるとき，実数pの値を求めよ。
線上に
の値を
kは実数）
（kは実数）
るとき
数）とできるから
解答 3点 0，a，b が一直線上にあるとき，b＝ka
−4＋pi＝k
（2−5i）
−4＋pi＝2k−5ki
5ki
p，k は実数であるから
数であ
4＝2k
−4＝2k，p＝−5k
これ
k＝−
＝−22，p
p＝100
これを解いて k＝−2，p＝10
b＝ka
bが
3点 0，a，b
が一直線上にあるための条件は
にあるため
にあるための条件
ka（k
（kは実数）である。
類題 2
a b が一直線上にあるとき，実数pの値を求めよ。
a＝3−3i，b＝p＋4ii とする。3点
と
0，a，b
例題 3
a＝3−2i，b＝1＋2i とするとき，次の式の値を求めよ。
（ a ）2
⑴ a2＋
2
⑵ a2−
（a）
⑷ a＋2b
⑸ ab
⑶ 1
1
−
b b
（3＋2i）＝9＋4＝13 より
解答 ⑴ a＋a＝（3−2i）＋（3＋2i）＝6，aa＝（3−2i）
2
2
a2＋
（a）
＝
（a＋a ）
−2aa
＝62−2×13＝10
⑵ a−a＝（3−2i）
−（3＋2i）＝−4i より
2
a2−
（a）
＝
（a＋a ）
（a−a ）
＝6×
（−4i）＝−24i
3
⑶ b−b ＝（1＋2i）−
（1−2i）＝4i，b b ＝
（1＋2i）
（1−2i）＝1＋4＝5 より
b−b
1
1
4
＝− i
− ＝−
b b
5
bb
⑷ a＋2b＝
（3−2i）
＋2（1＋2i）＝5＋2i より
a＋2b ＝㲋52＋22 ＝㲋29
⑸ ab ＝（3−2i）
（1−2i）
＝−1−8i より
2
ab ＝㲋（−1）2＋
（−8）
＝㲋65
（別解） ab 2＝
（ab （
）ab ）＝aab b ＝ a
2
b
2
これと， ab ≧0， a ≧0， b ≧0 より
ab ＝ a b
2
㲋12＋22
＝㲋32＋
（−2）
＝㲋65
共役複素数の性質を用いて，効率良く計算しよう。
類題 3
e
l
p
m
a
S
a＝3＋4i，b＝−2−3i とするとき，次の式の値を求めよ。
よ。
2
（a）
⑴ a2＋
2
⑵ a2−
（a）
⑶ 1 1
−
b b
⑸ ab
⑷ 3a＋2b
例題 4
㲋 3 ＋3i とするとき，3点
a＝3＋i，b＝3＋5i，c＝3−2
3＋5
とするとき 3点 A（a）
），B
（b），C（c）を頂点
を頂点とする三角形 ABC はどの
角形
ような三角形か。
b−a ＝ 4i
A
4i ＝44
解答 AB＝
BC c−b ＝ −2
−2㲋 3 −2i
BC＝
＝㲋（−2㲋 3 ）2＋
（−2）2 ＝4
a−c ＝ 2㲋 3 −2i
CA＝ a
2
2
＝㲋
（2㲋 3 ）
（2
＋
（−2）
−2）
＝4
B＝BC
よって，AB＝BC＝CA
が成り立つから，三角形 ABC は正三角形である。
複素数平面において，2点 a，b 間の距離は b−a で求められる。
類題 4
a＝−1＋2i，b＝3−i，c＝2＋6i とするとき，3点 A（a），B（b）
，C（c）を頂点とする三角形 ABC はどのような三角
形か。
4
a＝1＋i
とするとき，点 a，a2，a3，a4 を複素数平面上に記せ。
1
a＝2＋3i
とするとき，次の点を表す複素数を求めよ。
2
例題 1
例題 1
⑴ 虚軸に関して点 a と対称な点
⑵ 点 a を実軸の方向に3，虚軸の方向に −6 だけ平行移動した点
>
>
⑶ 原点をO，点 a をAとしたとき，OB＝3 OA で定まる点B
a＝a−3i，b＝2＋bi，c＝8b＋12i とする。4点 0，a，b，c が一直線上にあるとき，実数
き，実 a，b の値を求めよ。
3
例題 2
a＝3−4i，b＝1＋i とするとき，次の式の値を求めよ。
めよ。
4
例題 3
⑴ a ＋
（a）
3
⑵ ⑶ 3
b
b
＋
a＋1 a＋1
a−b
a＋b
S
m
a
e
l
p
2
（z＋2）
zが虚数，
数
が実数であるとき，
の値を求めよ。
実数であるとき，
実数であるとき
， z の値を求
5
z
問いに答
6 z ＝1， z−i ＝11 のとき，次の問いに答えよ。
⑴ z−z，z2＋
1
の値をそれぞれ求めよ。
値をそれぞれ
z2
⑵ aを実数とするとき， z−ai の最小値を求めよ。
3点
A（7−3i）
，B（−1−7i）
，C（−5＋i）
から等距離にある点を表す複素数を求めよ。
7
例題 4
A
8 （3＋5i），B（4＋2i）とする。点Pが虚軸上，点Qが実軸上をそれぞれ動くとき，線分の長さの和 AP＋PQ＋QB
の最小値を求めよ。
例題 4
5
入試問題演習
1
1
z ＝㲋 5 ，z＋z＝2 であるような複素数zを求めよ。
〈小樽商科大〉
複素数 z＝−1＋i に対して，集合
2
S＝｛a0＋a1z＋a2 z2 a0，a1，a2 は0または1｝
を考える。Sの中で絶対値が最大の複素数を求めよ。
〈横浜市立大〉
a，b を実数，3次方程式 x3＋ax2＋bx＋1＝0 が虚数解 a をもつとする。このとき，次の問いに答えよ。
き，次の
3
〈防衛医大・改〉
b ，および係数
3つめ
⑴ a の共役複素数 a もこの方程式の解になることを示せ。また，3つめの解
び係 a，b を a，a を用
いて表せ。
e
l
p
b の値
⑵ a の実部が3， a の絶対値が4であるとき，b，a，b
の値を求めよ。
m
a
数）を
複素数 z＝x＋yi（x，y は実数）
を，z＋
4
2
S
1
値を求
が実数となるように動かすとき，x
実数となるように動かすとき
なるように動かすと，x2y＋4y3 の最大値を求めよ。
z
〈東京医科歯科大〉
複素数平面上を動く点Pは，原点Oを出発して，硬貨を1回投げるごとに，次の規則に従って移動する。
を動
原点O
して
1
1
が出た 1＋i だけ移動する。”
“表が出たら，1だけ移動し，裏が出たら
後P
点に対
硬貨をn回投げた後Pが移る点に対応する複素数を
zn とするとき，次の問いに答えよ。
〈杏林大〉
⑴ 硬貨を3回投げた後，z
後 z3＝
＝3 となる確率を求めよ。
⑵ 硬貨を5回投げた後，z5＝5＋2i となる確率を求めよ。
⑶ 硬貨を7回投げた後， z7−7 ≦5 となる確率を求めよ。
複素数zに関する等式
z＋i ＋ z−i ＝2㲋 2 ……① について，次の問いに答えよ。
2
⑴ zが①を満たすとき，z も①を満たすことを示せ。
⑵ z＝x＋yi（x，y は実数）が①を満たすとき，w＝㲋 2 x＋yi は w ＝㲋 2 を満たすことを示せ。
6
〈静岡大〉

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