信大工学部のフーリエ級数の問題

バーゼル級数
15 信大 (1) an = 1
π
1
その和は
π
∫
n=1
π
−π
∫
事実が知られているなら別に難問でもないが，知られている事実知りたくない？フーリエ級数です。入
∞
∑
1 が π2 と
試問題にフーリエ級数まで出始めたか，と思ったが，Wikipedia にはバーゼル級数の和
6
n2
x sin nxdx(n = 1, 2, 3, · · · ) とおくと，無限級数
∞
∑
なる証明にフーリエ級数を使ったものがちゃんと出ている。
a2n は収束し，
フーリエ展開は，積分可能な関数 f (x) は f (x) = a0 + b1 sin x + a1 cos x + b2 sin 2x + a2 cos 2x + · · ·
n=1
と級数展開されるというもの。ここでは，関数 f (x) = x は奇関数だから，x = b1 sin x + b2 sin 2x + · · ·
∫ π
∫ π
1
ただし，bn =
f (x) sin nxdx = 1
x sin nxdx
π −π
π −π
∞
∑
1 の和を求めよ。
x dx であることが知られている。これを用いて，無限級数
2
n
−π
k=1
π
2
1
= a + b2 + c
が x についての恒等式となるように，
x
x+1
x2 (x + 1)
x
定数 a, b, c の値を求めよ。
∞
∑
1
(3) 無限級数
の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ。
2
n
(n
+ 1)
n=1
テーラー展開とよく似てるんだよな。微分可能な関数 f (x) は f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · と級数展開
(2) 等式
∫ π
∫ π
(1) (−x) sin n(−x) = x sin nx なので an = 1
x sin nxdx = 2
x sin nxdx
π −π
π 0
]π
[
{
}
2(−1)n
= 2 − x cos nx + sin 2nx
= 2 − π (−1)n = −
π
n
π
n
n
n
0
[
]π
∫ π
∞
∑
3
2
4
1
2
x
2
2
2
よって，an = 2 題意より，
an =
x dx =
= 2π
π −π
π
3 0
3
n
される。例えば，関数 sin x は奇関数だから，sin x = a1 x + a2 x3 + · · ·
f (n) (0)
x3 + x5 + · · · は余計な話だけど。
ただし，an =
実際は sin x = x −
n!
3!
5!
∫ π
1
2
2
2
2
2
だから，x = b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + 2b1 b2 sin x sin 2x + · · · すると，
x2 dx = b21 + b22 + · · · と
π −π
いうのが事実。
∫ π
教科書には
sin mx sin nxdx を求めよ，なんて問題がよくあるがこれにつながる。すっきりしました？
−π
え？とっと知りたい？「高木貞治再読」のフーリエ級数の部分をどうぞ。
n=1
∞
∞
∑
4 = 2π 2 よって， ∑ 1 = π 2
つまり，
3
6
n2
n2
n=1
n=1
(2) 分母を払って 1 = ax(x + 1) + b(x + 1) + cx2 が恒等式となるように，係数を比較して
a + c = 0, a + b = 0, b = 1 よって，a = −1, b = 1, c = 1
∞
∑
1 は収束するので，
(3) (1) から
2
n
n=1
n
n (
n
n (
) ∑
)
∑
∑
1 + 1 + 1
1
1 +∑ − 1 + 1
(2) より，
=
−
=
k
k+1
k
k+1
k 2 (k + 1)
k2
k2
k=1
k=1
k=1
k=1
=
n
n
∑
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · − 1 + 1 = ∑ 1 − 1 + 1 → π2 − 1
2
2
3
n
n+1
n+1
6
k2
k2
k=1
k=1
ちなみに，Gegebra では TaylorPolynomial[sin(x), 0, 3] なんて命令があって，下はそのグラフ。

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