応用数理 A

応用数理
山田直記
田中尚人
目次
級数
ベキ級数
展開、解析関数
線形常微分方程式の級数解法
方程式
関数の性質
関数と関数
関数
関数
両関数の関係式
方程式の場合
方程式 Æ の場合
Æ の場合
関数の応用
西郷先生に代わって、応用数理と題して講義する。シラバスのうち、
後半の特殊関数、特にベッセル関数を目指して講義を進める。微分方程式
の解であることを通じて多くの自然現象を記述するときに応用されるばか
りでなく、多くの関係式を通じて数学の世界を豊かに広げる対象であるこ
とも述べるたい。
級数
数列
に対して
または
を級数または無限級数という。これだけではただの記号であるが、
として新しい数列を考え、が収束するとき、級数は収束すると
を級数の和という。すなわち
いい、極限値と表す。
注意級数の係数となる数列の添え字をから始めたり、やなど
の別の番号から始めることもある。これの応じて、対応する級数の番号の
付け方が変わる。また、添え字の記号は、でなくても、何でもよい。た
とえば、
または
または
などである。
注意級数が収束しないときには、いろいろな現象が起きる。数列がであるとき級数は発散する、数列が無限回符号を変え
るとき級数は振動する、などという。
例題とする。級数
が収束するかどうかについて考える。
であり各自確かめよ、数列
のときのとき
すなわち、
の収束の様子は、
のときは振動し、収束しない
のときは限りなく増大し、収束しない
であるから、
収束しないその他
である。
級数の一般論を述べることがこの講義の目的ではないし、基本的な事柄
は既に勉強したはず微分積分なので、ここでは後で必要になる収
束判定条件をいくつか復習する。
級数
において、すべてのについてであるとき、こ
の級数を正項級数という。与えられた級数が収束するかどうかを判定する
ことは、一般に難しい問題であるが、正項級数の場合には簡単に判定でき
る十分条件がいくつか知られている。
定理級数
は正項級数とする。すべての
について
となるような正数が存在するならば、この級数は収束し、その和はを超えない。
証明部分和の数列について、級数が正項級数であるからこれは
単調増加であり、仮定より有界である。有界な単調増加数列は収束する、
という有名な定理により、が、従って級数
が
収束する。
「その和はを超えない」部分の証明は、演習問題とする。
定理二つの正項級数
を考える。すべてのにつ
をみたしているならば、次のが成立する。
いて、
が収束すれば、
が発散するならば、
も収束する。
も発散する。
証明ここではのみ証明する。の証明は演習問題とする。部分
和について、
であるから、として定理を適用できる。
系二つの正項級数
において、ある番号と定
が成り立つ
数がとれ、であるすべてのについてが収束すれば
も収束する。
とする。このとき、
として定理を適用
証明すればよい。
注意級数が収束するかどうかの性質は、級数のはじめの有限個には
依存しない。
定理ある定数
証明を正項級数とする。次のが成り立つ。
に対して
ならば、この級数は収束する。
ならば収束しない発散する。
とおく。
が成り立つ。級数
はであるから収束する。従って、
定理により
も収束する。の場合は、
であり、級数
は発散するから、
も発散する。
例題級数
を考える。はパラメータである。定理より、この級数はのとき収束し、のとき発散する。ここ
で、定理の仮定は十分大きなについて成立するのみであるが、
級数の発散を示すにはこれで十分である。のときにはここで述べた
判定法では収束するか、発散するかを判定することはできない。このと
きには、直接考察して、
であるから、発散することが分かる。級数が収束すると言っても、その和
の値が具体的に計算できるわけではない。ごとに値が定まっているの
だからこの級数の和をの関数と考えることができる。この関数のグラ
フを描いてみると次のようになる。
!
3
2.5
2
y
1.5
1
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
例題の超幾何級数
を正定数、とする。級数
を考える。
であるから、ならば収束する。この級数も、収束する範囲で
の関数と考えられる。
この級数は、この講義でこれから現れる多くの関数の母体となってい
る、大変重要な関数である。しかし、この関数自身を、この講義では取り
上げない。
一般の、項の符号が一定していない級数の収束判定は、正項級数より
もっと難しい。
級数
を考えるとき、各項の絶対値をとった級数
を
考える。正項級数なら、これら二つは同じものだが、一般の場合は異なる
級数で、収束性も異なっている。
定理級数
が収束すれば、級数
証明とする。も収束する。
に対して
で、右辺は
が収束するからのときに収束する。
従って数列は "#$% 列基本列であることが分かった。
"#$%
列は収束するので、が、従って級数
が収束する。
絶対値をとった級数
が収束するとき、もとの級数
は
絶対収束するという。上の定理は、この言葉を用いると「絶対収束級数は
収束級数である」と述べられる。
注意この定理の逆は成立しない。すなわち、
は収束しない例が存在する。
& は収束するが
は、その一つである。
例題先の二つの例を考える。パラメータをと、どちらもの範囲で絶対収束である。
Ê として考える
ベキ級数
数列
と変数を用いてできる級数
を、のベキ級数という整級数ともいう。
寄り道' ベキは漢字では「冪」と書く。「冪級数を簡略に巾級
数と書いたのは、著者の杜撰に他ならない」とは、高木貞治、
解析概論の緒言に述べられている言葉である。学生の頃「杜
撰」が読めなくて辞書をひいて調べた記憶がある。ついでに、
冪の訓読みは「おおう」、「たれぎぬ」で、
もともと棺を覆う布、転じてすべて器の上を覆うも
のを冪という。また、雲が厚く空を覆うている状態
を「雲冪々べきべきたり」のようにいう。また、
冪歴は草の生い重なるさまである
とは、白川静、字統にある解説である。羃も同じ字である。
第節の例でも取り上げたように、ベキ級数はの値によって収束し
・
・そう、必ず収束する。ベキ
たり、しなかったりする。のときには・
級数が収束するの範囲内で、級数の和はの関数である。この関数を
詳しく調べるのが、これからの課題なのだが、まず、ベキ級数の収束範囲
やその微分、積分について基本的な事実をのべておく。これらは既に習っ
た微分積分はずである。
ベキ級数
がで収束しているとする。このとき、
演習問題で確認したようにである。従って、すべての Æ
について
となる正定数をとることができる。これより、
意のについて
である。ここでをみたす任
である。従ってこの級数は、絶対収束す
る。この考察をふまえて、次のように定義する。
"( をみたすすべての
で絶対収束するとおく。上限 "( をとっているから、をみたすすべてので絶
対収束し、であるどんなについても、ベキ級数は収束しない。
ただし、すべてのについて収束するときにはと約束し、以外のどんなについても収束しないときには、と約束する。
このように定めたを、ベキ級数
の収束半径という。
のときには、収束したり、しなかったり、いろいろな現
象が起きる。たとえば、
の収束半径はであるが、の
ときには、で収束し、で発散する。
注意定理ならば
ならば
である。
ならば
ベキ級数
の収束半径をとする。極限値が存在するとする。ただし、とは、数列がに発
散することを表す。このとき、次が成立する。
証明となるように
だから、ある
である。
である。
とする。となるように、とれる。
とする。をとることができる。このに対して、
Æ が、すべてのに対して
とする。
であり、であるからは収束、従って
も収束する、すなわち、
はで絶対収
束する。
とする。となるようにがとれる。
ある Æ が、すべてのに対して
逆に
となるように、とれる。
とする。
であり、であるから、となることは
ない。が収束するなら、でなければならないから、
これより、
は収束しない。以上より、が示された。
は演習問題とする。
系はベキ級数
証明まず数列
が収束して、極限値が
のとき、
の収束半径である。
であることを示す。も
ちろん、右辺の極限が存在することも含めて、である。以下、この証明で
はとする絶対値の記号を省略するためである。と
する。を任意にとり、固定する。番号が、すべてのに対
して
となるようにとれる。
とする。
として適用
が成り立つ。両辺のに再びこの不等式をすると
を得る。これを繰り返して
である。よって、
½
·½
·½ ·½
·½ を得る。ここでとすると、右辺は
束するから、を十分大きくとると
である。
値は
·½ ½
·½
に、左辺は
は任意だったから、数列は収束し、その極限
これまでの考察から、次のことはすぐに分かる。
の収束半径はである。
に収
である。これより、が収束半径であることが分かる。の場合も同様にできるので、演習問題とする。
例題 ·½ ·½
の収束半径はである。
)
)
の収束半径はである。
例題ベキ級数
は同じ収束半径をもつ。
と
もしが収束していれば、も同じ値
に収束するから、収束半径が等しいことが得られる。が収束
していない場合の証明には、次の注意でのべることを用いなければならな
いので、省略する。
むしろ、どうしてこの二つの級数に注目するのか考えて欲しい。
・
・
・す
であるから、
は
べてのについての各項を微分して得られる級数である。
注意定理ではの極限値の存在を仮定したが、これはい
つでもみたされるとは限らない。しかし、もっと詳しい次の定理 "#$%!
*
+
+ が成り立つ。
ベキ級数
の収束半径を
"(
とおけば、定理と同じように
とするとき、
が成り立つ。
ここでは、 "( 上極限の解説を避けるため簡略化した定理を述べた。
は存在するとは限らないが、を含
数列に対して、
は必ず存在する。
めて "(
定理ベキ級数
の収束半径についてとする。こ
のとき、なる任意のについて、この級数はにお
いて一様収束である。
証明であるから、級数
は収束する。とすると
であるから、
の収束はに依存しない級数
に
よって判定できる。このようにに依存しないような収束判定のできる
とき、一様収束と言うのである。
この一様収束性を根拠にして、次の三つの定理が証明できる。これか
ら、しばしば暗黙のうちに用いる定理である。証明は省略する。
定理ベキ級数
の収束半径をとする。この級数
の表す関数は、の範囲で連続関数である。
定理ベキ級数
の収束半径をとする。この級数
の表す関数は、の範囲で微分可能で、
が成り立つ。すなわち、導関数はもとの級数の各項を微分してでき
る級数である。このことを項別微分可能である、と言い習わしている。
定理ベキ級数
の収束半径をとする。この級数
の表す関数は、である任意のについて
をみたす。すなわち、項別積分可能である。
注意これまでベキ級数の変数や係数については、実数をこ
とさら述べなかったけれど、暗黙の了解で考えてきた。複素数について
も和差積商の四則計算ができるし、複素数の数列の収束についても、複素
平面上で考えれば、平面上の点列の収束と考えられるので、実数の数列の
収束と同じ性質が成り立つ。収束の計算で現れる絶対値を、複素数の絶対
値と読み直せば、計算も全く変わらない。級数についても同様である。
このように、これまで述べてきたことは、そのまま複素数でも成り立
つ。定理の積分表示式は異なる。
以後も、これまでと同じく、取り扱う数は実数と了解するが、実はほと
んどそのまま複素数でも成り立つ。これから述べることに加えて、関数論
で学んだ複素関数の性質を用いると、もっと深い理論が構築できる。その
一端をも述べられないことを、遺憾とする。
展開、解析関数
を無限回微分可能級というとする。すなわち、すべての
に対して階導関数をもつとする。
級数
)
を、のを中心とする級数という。今は、収束性を問わ
ない。特に、のときには
)
となり、 ! 級数という。これはベキ級数である。
二つの級数の関係をみると、これまで考えたベキ級数
に対して、を中心としたベキ級数整級数
を考えることができることが分かる。の関数と考えると、ちょうど、
方向にだけ平行移動していることに相当する。従って、収束半径など
の収束性に関する議論は、をに置き換えれば、全く
同じように成り立つことが分かる。
,
%& 級数、-
#
". 級数のときに、変数をでなくとしたのは、
次節以降で微分方程式の変数としてを考えることに関連している。深
刻な意味があるわけではない。
定義は級とする。が次の三つの条件を満たすとき、は
点で解析的 ! である、またはは点で解析関数 !
" ! であるという。
点
の
を含むある開区間
上で、は
級である。
を中心とする ,
%& 級数が、正の収束半径
等式
が、収束円
)
内で成り立つ。をもつ。
例題これまでに知っている多くの関数が、解析関数である。
多項式を考える。 )
であるから -
#
". 級数は、自身である。と考えてベキ級数と見なすのである。であるから収
束半径は、が成立することは自明である。
指数関数を考える。だから -
#
". 級数
は
である。収束半径は
)
定理による表現
)
である。を示すには、,
%& の
)
)
を用いる。剰余項と呼ばれる最後の項について、とするとき、
)
)
であるから、
)
)
)
が成り立つ。
三角関数も解析関数である。
#& . )
)
が成り立つ。収束半径はである。指数関数と同様に、解析関数である
ことが確かめられるので、演習問題とする。 #& はの偶数次の項ばかり
でできているので、関係式 #& #& は、この展開式からも明らかで
ある。これに対し、. はの奇数次の項だけからなり、. . も、これから明らかである。
)
を考える。-
#
". 級数を求めよう。
)
であるから、-
#
". 級数は
)
である。収束半径はである。また、
であり、のとき
であるから
である。これより
も解析関数である。その -
#
". 級数は無限
等比級数である。
ここで、複素変数の場合について一言述べる。先にも述べたように、主
に実変数で考えるから、興味のない人は聞き流してよい。
関数論では、複素変数の関数 ! を考え、その複素微分
!
!
! ! !
を考えた。複素微分可能な関数は、定義によると階微分しか考えていな
いが、実は何回でも微分可能で ,
%& 級数
!
! )
! ! に展開できることも学んだ。すなわち、複素変数では「微分可能」が「解
析的」と同義語になっている。これに引き替え、実変数では無限回微分可
能で、,
%& 級数が考えられるのに、それがもとの関数とは一致しない
ような「奇妙な」関数が存在する。複素変数の世界の方が、統一された美
しい世界といえると思うが、どうだろうか/
もう一言'
" )
"
" " " )
)
)
)
"
)
)
#& " .
にも注意しよう。
線形常微分方程式の級数解法
階線形常微分方程式
を考える。は与えられた関数で、解析的とする。この方程
式を満たす関数を、ベキ級数の形で求めることを目的とする。
この方程式が何故「線形」と呼ばれるか、やのよう
に、定数のときに有効な別の解法については、水谷先生の「微分方程式
」で詳しく学ぶ。
まず、いくつかの例を計算する。
例題を未知関数とする方程式
を考える。係数は、で、である。これらが
を中心とした解析関数になっているので、解もを中心
とした解析関数であると見当をつけて、
# とする。これが方程式の解になるように、係数というのである。
まず、
#
#
$ を定めよう
である。方程式の右辺に代入して、
#
# と計算できる。行目から行目への計算で、添え字のマジックを用いた。
詳しく述べると
としたのである。二つの項のの次数が揃うように添え字をつけなおした
のである。このようなマジックは、これからしばしば用いることになる。
さて、方程式左辺から
であるから、のすべての次数の係数は、すなわち
を得る。
について漸化式が得られたことになる。これを解くと、
と、順次
が定まる。一般項は
である。分母の数字は三つおきに抜けていることに注意しよう。定数である。
とおいて
# また、 #
は
とおいて
という二つの解が得られる。
一般のに対する解は、
# # #
として得られるので、この # # を基本解と呼ぶ。基本解につい
て、詳しいことは「微分方程式」で学ぶ。
# # の収束半径を求めよう。
# と考えると、任意の
を固定すれば
であるから、定理により収束する。従って、収束半径は
# についても、を固定するごとに
であるから、収束する。これの収束半径も
こうして、微分方程式
である。
の解がベキ級数として求められた。
である。
既知の関数で表される関数ではないが、具体的に表された関数である。こ
の関数のグラフを図に描くと次のようになっている。の部分で無限
回振動している証明しないといけない事柄であるが、省略する。この関
数を #!
関数という。
!
1
0.5
-10
-8
-6
-4
0
-2
t
-0.5
-1
例題微分方程式
を考える。
# #
として、ベキ級数で表される解を求めよう。
#
であるから、方程式に代入して
#
#
# である。これより、各係数について
を得る第式は、第式で
れより
の場合だから、まとめて書ける。こ
であるから、
となり、
である。 )
は定数である。
とすると
# また、とすると
#
)
を得る。これらが基本解で、一般の解は
# # で得られる。
#
#
の収束半径は、を固定するごとに
)
であるから、であることが分かる。
それでは、この二つの基本解のグラフはどんな形をしているだろう/ も
ちろん # は、よく知っている。
!
2
y
-2
1
0
-1
1
2
t
-1
-2
一般に、に対して、微分方程式を
次 $
%! 微分方程式という。次 * 方程式は、次多項式
$
%! の多項式を解にもっている。この例は次 * 方程式な
ので # という次多項式の解が得られた。
方程式
Ê を定数とし、微分方程式
あるいは、同じ事だが
を考える。この微分方程式はの微分方程式と呼ばれている。
まず、この方程式の級数解を求め、その中で特徴のある解に注目して、
それらのもつ性質を紹介する。
級数解を求めるために、
# とする。前節で計算したように
#
#
である。これらを方程式の左辺
# # #
に代入して計算するとき、の次数について揃えなければならない。その
準備の計算をする。
#
#
のときはだから、右辺のように書ける。
# であるから
# # #
と計算できる。方程式が成立するためには、これが恒等的にでなけれ
ばならないから、のすべての次数の係数がになる。すなわち、
である。これより
となる。これを順次繰り返すと、一般項は
)
)
と求められる。こうして得られた級数解
# は、任意定数を含んでいる。収束半径を確認することは演習問題
とする。としたときの解 # と、としたと
きの解 # は
# #
)
)
と表されるが、これらを用いると、一般の解
# # は
# #
と表すことができる。すなわち、# # が 0 .+ の微分方程式
の一組の基本解になっている。
この基本解は、次のような性質をもっている。
のとき、# は有限個の和となるから、多項
式である。例えば、
のとき
# のとき
# などである。一方、# は無限級数解である。
のとき、# は有限個の和となり、多項式
である。例えば、
のとき
# のとき
# などである。一方、# は無限級数解である。
このように、0 .+ の微分方程式はのとき
多項式の解をもっている。上で求めた多項式解の定数倍もまた、多項式解
であるから、「多項式の解」と言うだけでは、一つには定まらない。その
ため、もう一つ条件を加えて、次のように定義する。
定義に対して、0 .+ の微分方程式
の多項式解で
式という。
%
をみたす解
%
を
次のの多項
以下では、0 .+ の多項式の性質を調べる。
定理 &
とおくと、& はのときの 0 .+ の微分方程式の多項式解で
ある。
証明 & は次多項式を回微分した関数だから、
次多項式である。
まず、高階微分に関する 01.2 の公式
' '
を思い出そう。
とおくと
( ( ( である。この関係式を、01.2 の公式を用いて、回微分する。01.2
の公式を用いるとき、については回以上の導関数がになり、
現れないことに注意すると
(
(
( (
(
を得る。& ( であるから
& & & である。
系 &
! の公式
%
次 0 .+ 多項式
)
%
について、
である。
証明定理より、& は次多項式解である。さらに、& と考えて 01.2 の定理を適用すると
&
となるから、& 得られる。
を含む項 ) である。% であるから、系の結論が
次 0 .+ 多項式 % を具体的に書き表すこともできる。については、演習問題としよう。一般の場合は、3&+& " の
公式の微分を丁寧に実行して、
%
)
) ) )
が得られる。ここで、 ' 偶数 ' 奇数である。
詳しい計算は省略する。
定理直交性
成り立つ。
次 0 .+ 多項式
%
について、次の関係式が
この関係式を「0 .+ の多項式は直交性をもつ」と、言い表す。微分
に対して
積分の有名な演習問題に、 %
% . . #& #& )
. #& を示す計算がある。これも三角関数系の直交性を述べている関係式であ
について
る。次元数ベクトル空間の基本ベクトル " * " * が成り立つこととの類似性が、「直交性」という語の由来である。
証明部分積分を何回も適用する、初等的な証明である。ゆっくり計算
を追ってみよう。
( を考える。( と考えて 01.2
の公式を用いると
(
が確かめられる。
とする。
%
% ))
であるから、右辺の積分は部分積分を順次適用して、次のように計算で
きる。
よりまた、のときも同様であるから、のとき
である。
% %
とする。やはり部分積分を用いて計算する。
(
( (
(
(
(
(
)
( (
(
であり、右辺を、再び部分積分により
)
) ) )
) )
と計算することができる。これより
となり、% )
(
(
( ) を用いると
% %
を得る。
関数の性質
0 .+ 関数については、たくさんの公式が知られている。丁度、三
角関数が多くの公式を満足することとよく似ている。
前節に続いて、その一端を紹介しよう。
まず、-
#
". 級数から。
補助定理に対して、高次導関数は
¾·½
)
¾
)
であり、-
#
". 級数は
) )
である。
証明
に対して
)
)
である。数学的帰納法を用いれば、詳しい証明ができる。収束半径につい
ては、各自確かめて欲しい。
次の関係の左辺の関数を、
多項式の母関数 ! " '
! という。-
#
". 級数とは別のベキ級数展開ができることを示し
ている。
定理次の展開式が成り立つ。ただし、+ は十分に小さいとする。
% +% +% +
+ +
%
証明 + + をひとかたまりと考えて、補題を適用して計算する。
)
+ + + + )
) )
+
)
) )
)
+
)) )
+ %
)
)) )
+
である。ここで、最後から行目の計算では、と書き換えた。これ
に伴って、が偶数のときには、奇数のときにはとおいた。和の順序を変えているのである。最後の等式は、以前に求めた
0 .+ 多項式の具体的な表示公式による。
演習問題で確かめたように、% % であるから、が奇数
のときには奇関数、偶数のときには偶関数になっている。また、
%
%
も分かる。上で求めた母関数展開で
+
とすると
+
%
が得られる。左辺を等比級数で表した式と右辺を比較すると
%
である。これより % が偶関数であるか、奇関数であるかに応じて、
% が演習問題の解答とは異なる方法で、確かめられた。
これらを考慮しながら次のグラフを眺めてみよう。
#!
1
0.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
-0.5
-1
母関数展開の応用を一つ紹介する。
点 , - があり、その距離をとする。原点 . からそれぞれの点へ
の距離をとし、., .- の間の角をとする。便宜上と仮定する。第二余弦定理より、
#&
である。これより、 #&
として母関数展開を用いると、
#&
#& #& %
が得られる。
関数と関数
関数
広義積分を用いて定義される
の関数
を関数という。この積分は、(
の第二積分とも呼ばれている。のときにはの点で、では常に広義積分を用いて定義されて
いる。
例題関数の代表的な値は、次のようになっている。
) )
証明次のように計算すればよい。厳密には広義積分であるが、いずれ
の積分も収束するので、形式的に計算してかまわない。
である。また、
に対して、
であるから、これを順次用いて、 ) が得られる。
値は ½
¾
において
½¾
の
と置換積分を行うと
¾
)
と計算できる。最後の等式は、有名な定積分の値である。
関数
広義積分を用いて定義される
- /
の関数
/
/ を関数という。のときにはの点で、/ のときには
の点で広義積分になっている。代表的な関係式として、次が挙げら
れる。
例題 - /
- / が成り立つ。
証明
- /
- ) )
)
において
と置換する
と - / - / であることが分かる。番目の関係式は、次に示す
定理と、先の例の結果から分かる。
両関数の関係式
関数と関数の間には、密接な関係がある。また、これらの関係
を用いて、多くの重要な積分の値が計算できる。
定理 - /
/ / が成り立つ。
証明 / において積分変数を
/ と
0
で書いておいて
0
0
を重積分と考える。厳密には広義重積分であるが、形式的に計算する。変
数変換 0 ( 0 (1 を行うと、
2 ( 1
(
1
1
(
(
で、3 !4 平面の第象限は 5 !6 平面の領域 4 ( 1 ( 1
に対応するから、
/ (
0
(
0
1
(
(
1
1
( (1
1
1
/ - / と計算できる。
定理とする。
/ 0 ! 0 ! 0!
に対して
0
!
0
!
0!
/ / が成り立つ。この積分は )!
! * 積分と呼ばれている。
証明 0 ! 7 0 ! 78 ! 789 と変数変換する。すなわち
7
0 !
または
7 8 8
!
0 !
9
78 9 !
789
0
0
!
0
!
である。5
#&1
. は、直接計算しても求められるが、後で利用するため
に次のように計算しよう。
(
7
1
78
:
789
とすると、 ( 1 2 7 8 9
1 :
0
!
: で、
; 0 ! ; ( 1 : ; ( 1 : ; 7 8 9 ; 0 !
; 7 8 9
7
であり、領域
8
7
89
79
78
合成関数の微分が成り立つ
8
は
7 8 9
7
8
9
に対応する。これより
左辺 7
7
7
8
7
9
8
7
9
7
8
9
7
7
7 8 789
8
8
8
9
- / - / - / / / / / / / / / と計算できる。
この 6#$ 積分は
次元に拡張できる。
Ê
とする。
定理 ½
¾
/ に対し
/ / である。
証明次元の場合を拡張して
7
7
7
7
7
7
と変数変換する。補助的な変換
(
7
7
7
(
7
7 (
7
7
7
を利用すると
7 7 ( (
7 7 7 7 ( (
7 7
7
7
7 7
7
7
7 7
(
(
(
であるから、5
#&1
. は
2 7 7 ; ; (
; ; 7 7
7
(
¼
; (
; 7
¼
(
7
7
7
7 7
7
7
7 7
と計算できる。領域
は 7
¼ 7 7
¶
7
7
7
7
に対応する
から、
左辺 7
7 7
7
7
½
- 7
/ - 7
7
½ ¾ 7
7 7
7
7
½
7
7
7
7
7
7
7
- - / / / / と求められる。
この値を用いて、次元の単位球（原点中心、半径の次元球）の
体積が求められる。
定理次元単位球の体積
<
である。
証明める体積 < は
<
は
<
と表される。 7 7
)
とおくと、求
7 と変数変換すると、5
#&1
.
は
2 7 7 7
7
¼
; ; 7 7
7
¼ 7
7
であり、領域は 7 から、6##$ 積分を用いて
<
7
7
7
7
7
7
¼
)
7
に対応する
7
と求められる。実際にいくつか求めてみると
<
<
)
<
)
<
)
<
) である。 < < < については周知であろう。電卓で実際に値を計算して、
グラフを描いてみると、<
が最大になっている。
!
5
4
3
2
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
方程式微分方程式
を考える。これをの微分方程式という。
素数で考えるときには、とする。
は定数である。複
これまで級数解を考えた方程式と異なり、と
表したとき係数はで解析的ではない。そのため、これまでのように
を中心とする級数解を求めることはできない。そこで
# の形の解を探すことにする。
#
#
#
#
と計算できるから、方程式に代入して
より、
となる。第項より
でなければならない。これよりが定まる。この関係式を決定方程式と
いう。
の値に応じて、様々の状況が起こる。この節ではの場合を取
り扱い、一般のの場合は、次節で考察する。
の場合
決定方程式から
であるので、
# の形の級数解が考えられる。いつものように計算すると、
#
#
# だから
となる。これより、
)
が得られる。は任意定数であるが、特にとして得られる解を
2 と表し、
2 )
を次の第種関数という。収束半径が
るのは、演習問題とする。
であることを確かめ
2 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5
10
15
20
25
30
x
-0.2
-0.4
「微分方程式」でも学んだあるいは、学ぶように、また、これま
での議論からも類推できるように、階微分方程式
の解はつの解
#
# を用いて
,# -# , - は定数
と表される。このような # # を基本解という。
そこで、2 以外の解で、2 が基本解になるような解
を求めることが問題になる。階の微分方程式の解が一つ知られてい
るとき、それを利用してもう一つの解を求める方法を階数低下法という。
ここでは、2 を利用して、 2( という形の解を求
めよう。が解になるように ( の条件を求める。
2
( 2
( 2
(
2
(
2 (
であるから
2
2 ( 2 2 (
2 (
2
となる。これより、
に注意すると
&
(
2
(
2
&
2
(
である。従って
(
&
すなわち、
2 (
&
2 2 が得られる。2 が級数で表されていることを考えると、( は
(
$
$ $ という形の級数展開をもっていることが分かる。両辺の定数項を比較し
て $ が分かるので、
(
$
$ すなわち、項別積分すると係数を書き換えて
&
( と表せる積分定数はとした。 2 ( としたのだから、もう
一度係数を書き換えて、
2 &
#
$ の形の解が存在することになる。これを求めよう。
#
#
$ 2 2 &
2 2 $ 2 &
であるから、方程式に代入して、
$
$ $
2 2 2
$ 2
2
2
&
である。これを整理すると
$ $ $ $
)
が得られる。係数を比較して、右辺が偶数次の項のみであることに注意す
ると、
$
$
$
$
$ $ $ )
である。 $ とすると、この漸化式より
$ )
であることが得られる。この関係式を確かめることは演習問題とする。以
上の計算から、求める解をと表すと
)
&
となる。これを次の第種関数という。
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
1
2
3
x
方程式本節でもの微分方程式
4
5
2 を考察する。
の形の解を求めようとしている。パラメータ
方程式
である。の場合はすでに考察したから、
を定める関係式は、決定
の場合に注目しよう。
の場合
まず、
# の形の解を求める。いつものように
# だから、方程式に代入して
# #
#
である。係数がすべてでなければならないから
' 任意定数
を得る。
と仮定しているから、に対して
となり、漸化式より
)
)
# である。一般項は
) と求められる。関数を用いると
であることに注意して
) において、定数
と表される。こうして得られた一つの解
# を
と選んだ解を 2 と表し、次の第種関数という。すなわち、
2 ) である。この式で
2 とすると、以前に定義した
が得られる。
2 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
8
10
-0.2
-0.4
12
14
16
18
20
x
に対応する解 # を求める計算は、上の計
算が、をとして全く同様に遂行できる。ただし、が正整数なら、
分母に現れるが定義できなくなるので、この場合を除かな
ければならない。すなわち、 Æ のとき
2
) が第の解を与えている。
2
2
0.4
0.2
2
0
-0.2
-0.4
-0.6
4
6
8
x
10
12
14
16
18
20
の場合
最後に Æ の場合の第の解を求めよう。
前節で 2 ( の形で第の解を求めた。そのときと全く同様の計算
によって
#
$&
2
の形の解をもつことが分かる。いつものように計算して
#
#
# $2 $&
2
2
2 である。2 が方程式の解であることを用い、両辺に
ると
を得る。
2
$
) 2
を掛け
であるから、
) )
2
と表して計算を続けよう。
$
2
$
$
より
$
を得る。のベキごとに係数を比較してを定めるという戦略はこれ
までと同じであるが、部分ごとに分けて少しずつ考える。
まず、右辺はの項から始まるので、である。の次
までの右辺の項はであるから、
である。
と合わせて
が得られる。
のまでの偶数次の項については、漸化式より
であるから、
) が分かる。の係数を直接で確かめると
$
$
)
であるから、上の漸化式からの関係式と合わせて
) ) であるから、
$
$
)
)
となる。
これで、の両辺の次までの比較が済んだ。
の右辺は偶数次ばかりだから、
である。は任意に定めることができ、化式
$ を得る。
に対しては、漸
として
$ $
である。は任意に選べたので、
$
をみたすように選ぶ。何でこんな数を選ぶのだろう？
)
)
なので、
であることを用いると
$
$
が得られる。次に
とすると、
であり、
$ $
) )
すなわち、であるから、
$
$
$
と求められる。
これより帰納的に、
$
が得られる。従って解
#
$&
は次のように表せる。
$
) $
#
2
ただし、
$
)
) )
である。特に定数を $ 、すなわち、 ) ととったとき
の関数をと表し、次の第種関数という：
)
&
2
)
)
) )
である。$&&7)
1
0
-1
5
10
15
20
関数の応用
関数が、偏微分方程式の解法に応用される例を挙げる。
0 Ê を変数とする未知関数 ( 0 に関する偏微分方程式
8( ( を次元$%*+ 方程式という。ここで
8( ; (
; ; (
; 0
であり、このように関数 ( を計算することを表すとき、8 は、, !
と呼ばれている。
*$&2 方程式の一般解を得ることは難しいが、特別な解を求めるこ
とを考える。
0 を極座標で表すと
#&
0
.
である。を新しい変数と考えて 0
(
#
. を書き換えると
8( ; (
; ;(
;
; (
;
となる。これは、次のようにして確かめることができる。
まず、偏導関数については、合成関数の偏微分により、
;(
;
;0
;
;( ;
; ;
;( ;
; ;
;( ;0
;( ;0
;0 ;
;0 ;
( #& ( .
( . ( #&
;
;
;
である。第次偏導関数を計算する。
; (
;
; ;
;
;
;(
;(
; (
;
; (
; ;
; (
; ; 0
;0
.
; ; 0
;0
; (
; ; 0
;
;
;(
. ;
;(
;
;
;(
;
;0
; (
; ; (
;
; ; 0
;
(
;0
#&
; ; 0
. .
; (
; (
; ; 0
.
; (
#&
; (
; 0
#&
.
#&
. #&
;(
;
#& ;(
;0
.
と求められる。これらを用いて
; (
; ; (
; 0
; (
; ;(
;
1 : ; (
;
が得られる。
*$&2 方程式の未知関数 ( 0 ( が
( .
; 0
#&
;
;0
. ;(
.
; ( .
#&
; (
#&
;0
.
;
;(
;
;
. #& ;(
;
.
#&
; (
#& #& ;(
;
; (
#& .
;0
#& ;
; (
;(
#& ;
; ;(
;
;(
;
#&
; ( .
;0
と表されていると仮定しよう。このような形の解を、変数分離解という。
この関係式を、方程式に代入して計算すると
; (
8( ( ; 1 : である。ここで、1 1 は
分である。この関係式は
1
1
;(
;
1 :
1
1
1:
(
1:
に関する微分を表し、
1
; (
;
1
と書き直すことができるから、
1
1
:
:
:
は
に関する微
:
:
が成立する。左辺はのみの関数、右辺はのみの関数だから、これら
が恒等的に等しいためには、定数でなければならない。この定数を = と
書くと
1
1
:
1
1
=
のとき
:
, #&
のとき
:
, -
のとき
:
,
= =
=:
である。
第の方程式の一般解は
= - .
=
-
=
は偏角であることから、: は ) を周期とす
と求められるが、変数
る関数、すなわち
:
) : でなければならない。これより、
=
が得られる。
これを 1 の方程式に適用して
1
1
1
1
すなわち、
1
1
1 が得られる。ほとんどの方程式の形をしているが、少し違うよう
である。そこで、変数をによりからに変換して、未知関数を
! と書くと、合成関数の微分より
1
1
! ! であるから、方程式は
! ! !
となる。これは、まさしくの方程式である。解は 2 と 2 であるが、2 は & の項を含み、で有界ではないので、ここ
では取り上げないことにしよう。を変数として書くと、解は 2 で
あり、( 1 : としたのだから、変数分離解は
( 2 #& . 2
と求められる。また、これらの重ね合わせである
( ,
2
#& -
2
. も解になっている。
それでは、*$&2 の方程式はどんな場面に登場し、上で考えたよう
な有界な変数分離解は、どのように役立つのだろうか？
平面状に広がる物質を考え、時刻平面の点 0 におけるこの物質
の温度を ( 0 と表す。この物質の温度は、時間とともに変化してゆ
くが、その法則を考察するのが熱力学である。そこでの考察を引用する
と、物質の温度変化は、偏微分方程式
;(
8(
;
で記述される。この方程式を、熱伝導方程式という。ここでも
( 0
> ? 0 と変数分離された解を求めることにすると、
>
> が得られる。この定数を
?
8? 定数
とおくと、?
について
8? ? となる。これは、*$&2 方程式である。
考えている物質が、円状に分布している場合には、その中心から極座標
を考えて、先に述べたような変数分離解を求めることができる。
この講義では、多くの人名が登場した。フルネームと生没年を書いてお
く。歴史に思いを馳せることは、単に郷愁にふけるのみではなく、これか
らの発展を考える大事な基礎となる。
% 9 :& + ;イギリス< =
>+#$ $ ;ドイツ< =
"#$% " ". 0&" ;フランス< = 6#$ ? :"
@ 0A". ;ドイツ< =
B" 0&.$
;スイス< = :
" >+#$ ;ドイツ< =
*
+
+ 5
#C" ;フランス< =
*$&2 *
.. @&. ;ドイツ< =
* $
;フランス< =
5
#&1 :"
@ 5
#&1 ;ドイツ< =
0
(
# ? 9&. ;フランス< = 0 .+ +. -
;フランス< =
01.2 :&7+ $ >$@&. ;ドイツ< = -
#
". &. ;スコットランド< = 3&+& " D ;フランス< =
,
%& &&E ;イギリス< = F
;ドイツ< = 索引
% 関数 B" 基本解級数 G収束する Gが振動する Gが発散する Gの和 :
" 決定方程式 *
+
+ *$&2 * 項別積分可能項別微分可能 "#$% 6#$ 級収束半径
5
#&1 整級数
正項級数絶対収束
Gが絶対収束 0
(
# 0 .+ 01.2 -
#
". 単位球の体積 3&+& " ,
%& ,
%& 級数 6#$ 積分熱伝導方程式 % 関数 * 多項式 * 微分方程式関数ベキ級数
Gの収束半径
関数第種G 第種G の微分方程式 *$&2 方程式変数分離解 B" の第二積分階数低下法解析関数解析的 :
" の超幾何級数重ね合わせ母関数 -
#
". 級数無限級数 0
(
#
. 0 .+ の多項式 Gの母関数 0 .+ の微分方程式 3&+& " の公式

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