数学Ⅲ 第 章 積分の応用 【例題】 １ [青チャート数学Ⅲ 例題239] 区間 の面積は において， つの曲線 ， で囲まれた図形の面積 と表される。これを用いて，極方程式 を で表される曲線上の点と極 求めよ。 ２ [青チャート数学Ⅲ 例題240] 14 [青チャート数学Ⅲ 例題252] 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 ， ， を求めよ。 点 ， 軸 ， が曲線 ， 軸 を結ぶ線分を 辺とする正三角形を， 軸に垂直な平面上に 軸上を原点 の値を定めよ。また，そのと 次の曲線や座標軸で囲まれた部分を ４ [青チャート数学Ⅲ 例題242] …… ①， ５ [青チャート数学Ⅲ 例題243] と直線 を求めよ。 で囲まれた図形 の周および内部 17 [青チャート数学Ⅲ 例題255] を求めよ。 放物線 と直線 る立体の体積 ６ [青チャート数学Ⅲ 例題244] ， を求 ， 軸 軸の周りに 回転させてできる立体の体積 放物線 円 で囲まれる部分の面積 軸の周りに 回転させてできる立体の体積 ， 軸， 軸 次の図形を つの楕円の内部の重なった部分の面積を求めよ。 た部分の面積 まで動くとき，この正三角形が描く立体の体積 16 [青チャート数学Ⅲ 例題254] …… ② がある。 つの楕円の つの交点の座標を求めよ。 媒介変数 によって， ， めよ。 曲線 から点 を求めよ。 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。 つの楕円 ， 15 [青チャート数学Ⅲ 例題253] と接するように正の定数 き，これらの曲線と ， ， 作る。 が ， ３ [青チャート数学Ⅲ 例題241] 曲線 を結んだ線分が通過する領域の面積を求めよ。 と表される曲線と で囲まれた部分を 軸の周りに 回転させてでき を求めよ。 軸で囲まれ 18 [青チャート数学Ⅲ 例題256] 水を満たした半径 の半球形の容器がある。これを静かに を求めよ。 角 だけ傾けたとき，こぼれ出た水の量を ， で表せ。 は弧度法で表された角とする。 ７ [青チャート数学Ⅲ 例題245] 媒介変数 によって， ， と表される右図の曲線と， 軸で囲まれた図形の面積 を求めよ。 19 [青チャート数学Ⅲ 例題257] 次の回転体の体積 を求めよ。 楕円 で表される曲線 曲線 曲線 を原点 を中心として と直線 軸の周りに 回転させてできる回転体 曲線 ： ８ [青チャート数学Ⅲ 例題246] 方程式 を について，次のものを求めよ。 だけ回転させてできる曲線の方程式 と直線 で囲まれる図形の面積 について，関数 軸の周りに 回転させてできる立体の体積 ： ， ： 座標を ， とするとき， ， を を用いて表 せ。 ， で囲まれた図形の面積が であるとき， の値を求めよ。 10 [青チャート数学Ⅲ 例題248] 曲線 ， と 軸で囲まれる図形を を通る傾きが の直線 で 積が等しくなるとき， とする。曲線上の点 を分割する。こうして得られた つの図形の面 の値を求めよ。 曲線 面積 面積 上の点 ， で与えられること と接線 および直線 曲線 ： 形を に原点から接線 を引く。曲線 と接線 および 軸で囲まれた図 とするとき，次の回転体の体積を求めよ。 を 軸の周りに 回転させてできる回転体の体積 を 軸の周りに 回転させてできる回転体の体積 22 [青チャート数学Ⅲ 例題260] 曲線 ， と 軸で囲まれた部分を 軸の周りに 回 を求めよ。 23 [青チャート数学Ⅲ 例題261] とする。 不等式 における接線 の方程式を求めよ。 とするとき，曲線 は， 21 [青チャート数学Ⅲ 例題259] 転させてできる回転体の体積 11 [青チャート数学Ⅲ 例題249] で表される曲線を 軸で囲まれた部分を について，次の問 とする。 の 交点の のグラフと を示せ。また，この体積を求めよ。 と，曲線 いに答えよ。ただし， 軸で囲まれた部分を 20 [青チャート数学Ⅲ 例題258] 関数 ９ [青チャート数学Ⅲ 例題247] 曲線 ，および 軸の周りに 回転させてできる回転体 と 軸で囲まれる部分の で表される座標平面上の領域を，直線 得られる回転体の体積 の周りに 回転して を求めよ。 部分の和 を求めよ。 の最小値とそのときの 24 [青チャート数学Ⅲ 例題262] の値を求めよ。 空間において，次の連立不等式が表す立体を考える。 12 [青チャート数学Ⅲ 例題250] 曲線 軸に近い方から順に と 軸で囲まれた図形で， 軸の上側にある部分の面積を ， ，……， ，…… とするとき， を求めよ。 で表される曲線上の点と極 ， ， で切ったときの断面を 平面に図示し，この断面の面積 を求めよ。 この立体の体積 を求めよ。 25 [青チャート数学Ⅲ 例題263] 13 [青チャート数学Ⅲ 例題251] 極方程式 ， この立体を平面 を結んだ線分が通過する領域 ， を正の実数とする。座標空間内の 点 し，直線 を ， ， ， 軸の周りに 回転して得られる図形を ， ， とする。 を通る直線を と 座標の値が であるような直線 上の点 図形 と つの平面 と の座標を求めよ。 で囲まれた立体の体積を求めよ。 26 [青チャート数学Ⅲ 例題264] 次の曲線の長さを求めよ。 では アステロイド とする。 ， 27 [青チャート数学Ⅲ 例題265] 円 ： の内側を半径 の円 ， で 時刻 において点 ， にあった を求めよ。ただし， が滑らずに転がる。時刻 において の範囲で点 は点 に接している。 上の点 の時刻 における座標 ， とする。 の描く曲線の長さを求めよ。 28 [青チャート数学Ⅲ 例題266] 数直線上を点 から出発して 秒後の速度 ある。出発してから 秒後の イ の位置は が ア で運動する点 が であり， が動いた道のりは である。 重力の加速度を とする。 秒後の加速度 をもつロケットを，初速度 で地 上から真上に打ち上げた。 秒後のロケットの速度と高さを求めよ。 29 [青チャート数学Ⅲ 例題267] 時刻 における動点 までに の座標が ， で与えられている。 から が動いた道のりを求めよ。 30 [青チャート数学Ⅲ 例題268] 曲線 を 軸の周りに 回転してできる形の容器に水を満たす。この容 器の底に排水口がある。時刻 に排水口を開けて排水を開始する。時刻 において容 器に残っている水の深さを ，体積を とする。 の変化率 は で与え られる。 水深 の変化率 を を用いて表せ。 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 を求めよ。 31 [青チャート数学Ⅲ 例題269] 次の微分方程式を解け。ただし， のとき は 内の初期条件のもとで解け。 32 [青チャート数学Ⅲ 例題270] ， ， は定数とする。 を とおき換えること により， に関する微分方程式として表せ。 を利用して，微分方程式 を解け。 33 [青チャート数学Ⅲ 例題271] 第 象限にある曲線 上の任意の点における接線は常に ， う。この曲線 を通るとき， の方程式を求めよ。 が点 ， とすると，接点 は線分 軸， 軸の正の部分と交わ り，その交点をそれぞれ を ： に内分するとい
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