62) 二次曲線・空間図形と平面図形の対比

空間二次曲線横浜市立大 02 年
2
2
2
座標空間においてxy 平面上の半円周x + y = a （x ) 0 ）を
C とする。ただし，a は正の定数とする。定点A 0 0 , 0 , a 1 と
C 上の動点P を結ぶ線分上でx 座標とz 座標が等しい点Q 0 X , Y , Z 1 の
xy 平面上への垂線の足をR 0 X , Y , 0 1 とする。
このとき次の問いに答えよ。
（１）P がC 上を動くときY のとる値の範囲を求め、
X をY の関数として表せ。
（２）y 軸とR の軌跡で囲まれる図形をy 軸のまわりに
１回転して得られる回転体の体積を求めよ。
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この問いを考える前に筑波大 97 年の二次曲線の問いを眺めておきます。上の問いの平面版です。
原点 O を中心とする半径１の円 C がxy 平面上にある。
（１）0 ( h ( p のときPQ = rsin h この平面上の点 P ( P ' O ) から x 軸に下ろした垂線の足を Q 、
p ( h < 2p のときPQ = -rsin h
直線 OP と C との交点のうち、 P に近いほうの点を R とする。
まとめてPQ = rsin h （答）
（１）点 P の極座標を ( r , h )として、線分 PQ , PR の長さを
P が円内部および周上にあるとき　r , h を用いて表せ。
PR = 1 - r ，　（２）２線分 PQ ,PR の長さが等しくなる点 P の軌跡D の
P が円外にあるとき　PR = r - 1 方程式を求めよ。
まとめてPR = 1 - r （答）
（３）xy 座標に関する D の方程式を求めよ。（筑波大９７年）
（２） rsin h = 1 - r 2
2
2
r sin h = 0 1 - r 1 …①
計算での解答は一応右のようになりますが
0 rsin h - 1 + r 10 rsin h + 1 - r 1 = 0 下のように図形的に考えてみます。
これよりr =
点Pのy座標がy ) 0 の領域にある場合を考える。点Pから直線y =1 へ
垂線を下ろし交点をH とする。QH =1= OR であり
OP＝OR - PR ＝1- PR および　PH = QH - PQ ＝1- PQ
ここでPQ = PR からOP = PH であることがいえて点PはOを焦点，
-1
1
直線y =1 を準線とする放物線を描く。求める式は　x =4 %
% y2
2
2
1-x 2
ゆえにy =
（答）
2
8 9 8
9
x 2-1
点Pのy座標がy <0 の領域にある場合も同様にして求めると　y =
（答）
2
1
1 - sin h
およびr =
1
1 + sin h
ただしr =
p 3p
1
,
では，r =
2 2
2
2
2
（３）①にr = U x + y ，
sin h =
y
U x +y 2
2
を代入
2
2
2
y = 01 - U x + y 1 2
2
2
2
2
2
y = 1 - 2U x + y + x + y
2
2
2
2U x + y = 1 + x 2
2
2 2
4x + 4y = 0 1 + x 1
2
2 2
4y = 0 1 - x 1 から　y =
x 2-1
-0 x 2 - 11
，y =
（答）
2
2
Type-XH 3051203
以上の筑波大 97 年の問いをもとに、横浜市立大 02 年の問いを考えます。
解
答
横浜市立大 02 年
（１）点Rからy軸と直線x =1 へ下ろした垂線の足をそれぞれH ，Sとする。
△QRH と△QRPはともに直角二等辺三角形で△QRP6△QRH であるから　HR = RP これとOP = a ，HS = a から
OR＝OP - PR ＝a - PR
RS = HS - HR ＝a - HR
よって OR＝RSがいえて点Rは、焦点O，x = a を準線とする放物線上にある。
求める式は　Y 2 =4 %
（２）V＝
Q
a
-a
8
p -
2
a
y2
a
-a
+ （答）
% X　ゆえにX =2
2
2a
2
8 9 8
y
a
+
2a
2
9
9 dy＝ 15 pa
2
4
3
上の図からもこの問いは
筑波大 97 年の問いを立体的にしたものということが見てとれると思います。
Type-XH 3051203

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