解答例

数学序論演習問題
2015 年 11 月 26 日 (水)
1
数列 {(−1)n } は発散することを示せ.
解答例
（略解）背理法. α ∈ R に収束するとする. このとき ∃N ∈ N, ∀n(n ≥ N ) : |α − (−1)n | < 1 が成り立
つ. よって, α < 0 かつ α > 0 となり矛盾.
2
1. 数列 {an } が正（または負）の無限大に発散するとき, この数列は発散することを示せ.
2. 数列 {an } が正の無限大に発散するとき {an } は（集合として）下に有界であり, 上には有界でない.
3. lim an = −∞ ⇔ lim (−an ) = +∞.
n→∞
n→∞
解答例
（略解）
1. 対偶を示す. {an } が α ∈ R に収束するとする. このとき ∃N1 ∈ N, ∀n(n ≥ N1 ) : an < α + 1
（∃N2 ∈ N, ∀n(n ≥ N2 ) : an > α − 1 ）が成り立つので正（負）の無限大に発散しない.
2. ∃N ∈ N, ∀n(n ≥ N ) : an > 0.
L := min{a1 , . . . , aN −1 , 0} とおけば, ∀n ∈ N : an ≥ L.
上に有界でないのは（ほとんど）あきらか.
3. ⇒ のみ示す.
任意の K ∈ R に対し, 仮定より, ∃N ∈ N, ∀n(n ≥ N ) : an < −K が成り立つ.
よって, ∃N ∈ N, ∀n(n ≥ N ) : −an > K が成り立つ.
3
収束列は有界であることを示せ.
解答例
（略解）α に収束するとする. このとき ∃N ∈ N, ∀n(n ≥ N ) : α − 1 < an < α + 1.
L := min{a1 , . . . , aN −1 , α − 1}, M := max{a1 , . . . , aN −1 , α + 1} とおけば, ∀n ∈ N : L ≤ an ≤ M .
4
狭義単調増加数列 {an }（すなわち, ∀n ∈ N : an < an+1 ）が α ∈ R に収束するとする. このとき, 任意
の n ∈ N に対し, an < α であることを示せ.
解答例
（超略解）an < an+1 ≤ α.

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