Fourier変換

分光学におけるFourier変換
Fourier変換（Fourier Transform; FT）
核磁気共鳴分光（I）

F ( )   G (t )e  it dt ,
定義
用途

• 微分方程式
正変換（FT）
• 線形システム

G (t )   F ( )eit d .
6. Fourier変換

• 分光学
逆変換（iFT）
FTの図解
スペクトル F()
信号 G(t)
飯島隆広
1/ 0
G(t)
（分子科学研究所）
単一
成分
FT
t
iFT
G(t)
複数
成分
FT
t
iFT
デジタル関数
c1  1 2
1
c2  1 2
2
c3  1 2
3
c4  1 2
4
Fourier級数
デジタル関数 ⇒ （周期的）連続関数
スペクトル
信号
？
Fourier係数の実数化：
直交系の基底として三角関数を用いる
（周期T）：
n  e
   i ci i
各成分の強度
m n 
i 2 nt /T
T /2

an  ibn
,
2
T /2
2
an 
 (t ) cos(2 nt / T ) dt ,
T T/2
cn 
,
e i 2 mt /T ei 2 nt /T dt
T /2
規格直交系の基底
で展開する.
( i  j   ij )
bn 
  mn .
 1
1
1
1
 
 
 
 
1 1
1 1
1 1
1 1
1    , 2    , 3    , 4    .
2  1
2  1 
2  1 
2 1 
 
 
 
 
 1
 1 
1
 1
   i ci i
 4
 
2
    の時
 1 
 
1
i    j c j i  j
 ci
c1  1  
 (t )   n  cn ei 2 nt /T

   n cn n
  (t )   n  cn e
 4
 
2
1
1 1 1 1    1
1
2
 
1
i 2 nt / T
cn  n 

T /2
c1c2 c3c4

1
 (t )e i 2 nt /T dt.
T T/2
bn 
(t)

1
2

0

2
1

2

1
従って、
複素Fourier係数より：

  (t ) sin(nt )dt
T /2
cnT 

を定義：

 (t )sin(nt )dt

0
2 n
.
T
cnT  F ( ),
非周期化のため、T, n → ∞とする：
(n  2k  1),
(n  2k ).
f ( ) 

 G (t )e
 it
dt ,
FT
d.
iFT

sin(2k  1)t
 (t )  
.
 k  0 2k  1
4
G (t )e i 2 nt /T dt.
T /2

 4

  n
 0
t
（a0/2は(t)の平均値）
Fourier変換
an  0,
 n  t  (n  1)  ,
 (n  1)  t  n  .
a0
 
 2 nt 
 2 nt  
  n 1  an cos 
  bn 
 .
2
 T 
 T 

周期関数 ⇒ 非周期関数
Fourier係数
 1
 (t )  
1

.
矩形波のFourier級数
矩形波
an  ibn i 2 nt /T
e
2
a0
a  ibn  i 2 nt /T 
  an  ibn i 2 nt / T
   n 1 
e
 n
e

2
2
 2

  n 
複素Fourier係数（規格化係数つける）：
同様に計算して、c2 = 1, c3=4, c4 = 2.
2
 (t ) sin(2 nt / T )dt.
T T/2
とする。cn = cn*より
Fourier級数展開：

スペクトル成分：


T /2
信号：


?
N

G (t ) 
 F ( )e
it

(t)
 (t ) 
1
Fig: 矩形波のFourier級数展開
とスペクトル.
0
-1
時間領域
t

周波数領域
n
1
3 5 7 9 11
FT
G(t)

bn
4
sin 3t sin 5t sin 7t

sin t 



3
5
7
 

t
iFT

1
Fourier変換の性質1
Fourier変換の性質2
コンボリューション
G1(t)
アポダイゼーション
G1(t)
I1()
t
G2(t)
t

G2(t)
方形波のFTは
sinc関数
I2()
ピークの裾が
うねる
I2()
t
 2
1/2
 2

I3()
G3(t)
I3() = I1()
t
フィルター関数
を使う

t
G3(t) = G1(t)×G2(t)
I1()

 1  1
1/1

t
I2()

1 2) 1 2
1 2)
1  2
：コンボリューション
G4(t) = G2(t)×G3(t)
I4() = I2()
t
I3()

うねりが抑えられた
（アポダイゼーション）
Fourier変換の性質3
離散Fourier変換
直交位相検出（Quadrature Phase Detection; QPD）
定義
サンプリング定理（@QPD）
時間領域：
N個のデータ数列：
cos(21t)
t
1 1
G (m)  G(0), G (1), G (2),..., G ( N  1)
I1()

に対する離散Fourier変換
（Discrete Fourier Transform; DFT）：
1/1
sin(21t)
1
t
 1
1
F (k ) 
N
I2()

N 1
 G(m)W
km
tdw = 1 / sw
   Nyq
ナイキスト条件
;(k  0,1, 2,..., N  1),
m 0
   Nyq
 Nyq  sw / 2
   Nyq
1周期に2ポ
イントをサン
プリング
W  e i 2 / N . 位相因子
周波数領域：
Im.
1/1
   Nyq
i
 1
sin
y
cos
I3() = I1() + I2()

1
2
N
Fig: 位相因子の
複素平面表示
+と-の周波数を区別できる
i
離散Fourier変換：N = 8の例
従って
   Nyq
   Nyq
x
高速Fourier変換（Fast Fourier Transform; FFT）
7
1
 G (m)W km ;(k  0,1, 2,..., 7),W  ei / 4 .
8 m0
8 F (k )  A(k )  iB (k ),
エイリアシング
高速Fourier変換1
DFTは
F (k ) 
sw
m = N1
1
m = 0 Re.
m=1
m=2
m=3
m=0
m=1
m=7
m=2
• N個（2のべき乗個）のデータを順次2分割し、再帰的に計算を行う。
k=0
・・・
k=1
・・・
• 計算コストはNlog2N
7
A( k )   G (m) cos(mk / 4),
数学的取扱い
m0
7
B( k )    G (m) sin(mk / 4).
10進数mの2進数表記:
m  2n 1 mn 1    2m1  m0
m 0
a = 21/2として行列表記：
・・・
0  G (0) 


a  G (1) 
1  G (2)  .


   

  a 
 G (7) 
N 1
N  F (k )   G (m)W km
m0
・・・
k=7
    g (mN 1  m1
m0 )W k (2
    g (mN 1  m1
m0 )W 2
m0



（mn-1, …, m1, m0 = 0 または 1）
m0 ).
N個のデータのDFT（log2N = N’とする）:
・・・
 B (0)   0 0 0

 
 B (1)   0 a 1
 B(2)    0 1 0

 

    
 B(7)   0 a 1

 
 ( mn 1  m1
・・・
k=2
・・・
1 1  1   G (0) 


a 0  a   G (1) 
0 1  0   G (2)  ,


 
   
a 0  a   G (7) 
・・・
 A(0)   1

 
 A(1)   1
 A(2)    1

 
   
 A(7)   1

 
Fig: 位相因子Wkmの複素平面表示.
• N2回の積和計算
• 計算の重複が多い
m0
m1
m1
N 1
mN 1  2 m1  m0 )
mN 1
N 1
kmN 1
W 2 km1W km0
mN 1
一番内側のmN’-1についての積和をMN’-1とする:
M N 1 
 g (m
mN 1
N  1
 m1
m0 )W 2
N 1
kmN 1
（続く）:
2
高速Fourier変換2
高速Fourier変換3
（続き）:
（続き）:
Im.
ここで
W2
N 1
 exp[ i
W2
1
W2
よりMN’-1は、kも2進数表記を行い
M N 1 
 g (m
N 1
 m1 m0 )(1)
 g (m
N 1
 m1 m0 )(1)(2
 g (m
N 1
 m1 m0 )(1)k0 mN 1
N 1
1
N  2
i
W2
N 3
M N  2 

Fig: 位相因子の複素平面表示.
k N 1  2 k1  k0 ) mN 1

m1
1
mN  2  m1 m0 )W 2
mN  2  m1
0
N  2
kmN 2
mN  2  m1
m0 )(i)(2
N 2
k N  2  2 k1  k0 ) mN 2
 g (k
1
0
mN  2  m1
m0 )(i)
mN 3  m1
m0 ).
(2 k1  k0 ) mN 2
k1
m0 )W 2
N 2
M 0   g N 1 (k0
kmN 2
m0 )W km0 .
k1  k N 2
m0 )W km0
m0
.
 g N  ( k0
（続く）:
k1  k N 1 ).
（続く）:
文献
以上をまとめて
1
g N  (k0 k1  k N 1 ),
N
 k N 1 )   g N 1 ( k0 k1  k N  2
k1  k N  2
この手続きを順次行うと最期はM0：
高速Fourier変換4
k1
0
1
m0
（続き）:
g N  ( k0
 g (k
N  F (k )   g N 1 (k0
W 2 km1W km0 .
mN 1
f ( k N 1  k1
m0 )(i) kmN 2
このg2を用いるとN F(k)は
mN 2
 g (k
mN  2  m1
mN 2
ここで再び内側のmN’-2についての積和をMN’-2とする:
M N  2 
0
1
 g 2 ( k0
このg1を用いるともとの式は
m0
 g (k
mN 2
mN  2  m1 m0 ).
N  F (k )    g1 (k0
2
i
 2log 2 N 2 ]  exp[  ]  i
N
2
mN 2
mN 1
 g1 (k0
 exp[i
より
W2
mN 1

N  2
Re.
N 1
kmN 1
mN 1

ここで
i
2
 2log 2 N 1 ]  exp[ i ]  1
N
k0 ) 
m0 )W ( k N 1
 k1
k0 ) m0
,
1.
C.P. スリクター, “磁気共鳴の原理”, シュプリンガー・フェラーク東京
(1998).
2.
日本化学会編, “第5版実験化学講座8 NMR・ESR”, 丸善 (2006).
3.
荒田洋治, “NMRの書”, 丸善 (2002).
4.
R.R. エルンスト, G. ボーデンハウゼン, A. ヴォーガン, “2次元NMR”, 吉
岡書店 (1991).
5.
K. Schmidt-Rohr, H.W. Spiess, “Multidimensional Solid-State NMR
and Polymers”, Academic Press (1994).
6.
間宮眞佐人, 西川利男, “化学計測のためのFourier変換入門”, 共立
出版 (1983).
7.
長沼伸一郎, “物理数学の直観的方法”, 講談社 (2011).
m0

g 2 (k0
k1
mN 3  m1
m0 ) 
 g (k
1
0
mN  2  m1
m0 )W 2
N 2
( k1
k0 ) mN 2
mN 2
g1 ( k0
mN  2  m1
m0 ) 
 g (m
N  1
 m1
m0 )W 2
N 1
( k0 ) mN 1
mN 1
ステップ-2
ステップ-1
Fig: FFTの計算ス
キーム（N = 8）. Gj , F
はそれぞれgj, fの10
進数表記.
ステップ-3
×1/8
G(0)
G1(0)
G2(0)
G3(0)
I(0)
G(1)
G1(1)
G2(1)
G3(1)
I(1)
G(2)
G1(2)
G2(2)
G3(2)
I(2)
G(3)
G1(3)
G2(3)
G3(3)
I(3)
G(4)
G1(4)
G2(4)
G3(4)
I(4)
G(5)
G1(5)
G2(5)
G3(5)
I(5)
G(6)
G1(6)
G2(6)
G3(6)
I(6)
G(7)
G1(7)
G2(7)
G3(7)
I(7)
3

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