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第 3 章§ 1 不定積分と定積分
p.95 練習問題 1-A
∫(
)
x − 2 + 1 − 32 dx = 1 x2 − 2x + log |x| + 3 + C
x
2
x
x
∫(
)
(2) 与式 =
4x − 4 + 1 dx = 2x2 − 4x + log |x| + C
x
1
1
5x
(3) 与式 = e − cos x + C
5
3
1
(4) 与式 =
log |4x + 5| + C
4
(5) 与式 = √1 tan−1 √x + C
5
5
)
∫(
√
√
1 + √ 1
(6) 与式 =
dx = log |x| + log |x + x2 + 1| + C = log |x(x + x2 + 1)| + C
2
x
x +1
∫ 2
[
]2
2. (1) 与式 = (3x3 − 6x2 )dx = 3 x4 − 2x3 = 12 − 16 = −4
4
0
0
∫ 4
[
]
(
)
1
1
5
3
1 4
3
(2) 与式 = (x 2 − 3x 2 + 4x− 2 )dx = 2 x 2 − 3 · 2 x 2 + 4 · 2x 2 = 64 − 16 + 16 − 2 − 2 + 8 = 32
5
3
5
5
5
1
1
π
π
π
π
x
0
2
2
2
(3) 与式 = [e + sin x]0 = e + sin
− e − sin 0 = e
2
∫ 1
)
[
]1
(
(4) 与式 = 2 (5x4 + x2 + 1)dx = 2 x5 + 1 x3 + x = 2 1 + 1 + 1 = 14
3
3
3
0
0
[
]1
∫ 1
(5) 与式 = 2 √ 1
dx = 2 sin−1 √x
= 2 sin−1 √1 = π
2
2 0
2
2 − x2
0
∫ 1
√
√
√
1 dx = 3 [tan−1 3x]1 = √1 tan−1 3 = √
π
(6) 与式 = 1
0
3 0 x2 + 13
3
3
3 3
∫ 1
∫ 1
∫ 1
[
]1
2
1
3.
f (x)dx = (ax + bx + c)dx = 2 (ax2 + c)dx = 2 a x3 + cx = 2 a + 2c = 1 · · · ⃝
3
3
0
−1
−1
0
∫ 1
∫ 1
∫ 1
]1
[
3
2
2
xf (x)dx = (ax + bx + cx)dx = 2 bx2 dx = 2 b x3 = 2 b = 0 · · · ⃝
3
3
0
−1
−1
0
∫ 1
∫ 1
∫ 1
[
]1
2
4
3
2
3
x f (x)dx = (ax + bx + cx )dx = 2 (ax4 + cx2 )dx = 2 a x5 + c x3 = 2 a + 2 c = 1 · · · ⃝
5
3
5
3
0
−1
−1
0
2 より b = 0. ⃝
1 , ⃝
⃝
3 より a = 15 , c = − 3
4
4
∫
∫
x
−x
x
−x
x
−x
e
−
e
(−1)
+C = e +e
+ C = cosh x + C
4. sinh xdx = e − e dx =
2
2
2
∫
∫
x
−x
x
−x
ex + e−x (−1)
cosh xdx = e + e dx =
+C = e −e
+ C = sinh x + C
2
2
2
5. y = x3 − x と x 軸との交点の x 座標は x3 − x = x(x − 1)(x + 1) = 0 より x = 0, ±1.
1. (1) 与式 =
−1 < x < 0 のとき x3 − x > 0. 0 < x < 1 のとき x3 − x < 0 よって求める面積 S は
∫ 0
∫ 1
[
]0
[
]1
(
) (
)
S = (x3 − x)dx − (x3 − x)dx = 1 x4 − 1 x2 − 1 x4 − 1 x2 = − 1 − 1 − 1 − 1 = 1
4
2
4
2
4
2
4
2
2
−1
0
−1
0
p.96 練習問題
∫ 1-B
β
[
]β
1. 左辺 = {x2 − (α + β)x + αβ}dx = 1 x3 − 1 (α + β)x2 + αβx
3
2
α
α
1
1
1
3
3
2
2
2
= (β − α ) − (α + β)(β − α ) + αβ(β − α) = (β − α){2β + 2αβ + 2α2 − 3(α + β)2 + 6αβ}
3
2
6
1
1
2
2
3
= (β − α)(−β + 2αβ − α ) = − (β − α) = 右辺
6
6
∫ 1
∫ 1
∫ 1
∫ 1
1 とおくと f (x) = 3x2 − x + C よって
f (t)dt = (3t2 − t + C)dt = 2 (3t2 + C)dt
2. C =
f (t)dt · · · ⃝
−1
−1
−1
0
1 より C = 2 + 2C よって C = −2. ゆえに f (x) = 3x2 − x − 2
= 2[t3 + Ct]10 = 2 + 2C. ⃝
∫ x+1
d
3. F (x) を f (x) の不定積分の 1 つとすると
f (t)dt = d [F (t)]x+1
= d {F (x + 1) − F (x)}
x
dx x
dx
dx
′
′
2
= F (x + 1) − F (x) = f (x + 1) − f (x). f (x) = ax + bx + c とおくと
f (x + 1) − f (x) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c − ax2 − bx − c = 2ax + a + b よって条件より 2ax + a + b = 8x − 3
2a = 8, a + b = −3. よって a = 4, b = −7, f (2) = 0 より 4a + 2b + c = 0 よって 16 − 14 + c = 0, c = −2
f (x) = 4x2 − 7x − 2.
∫ x
∫ 0
∫ x
∫ −x
∫ x
4. (1)
f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = −
f (t)dt + f (t)dt = −S(−x) + S(x) = S(x) − S(−x)
−x
0
0
0
∫−xx
(2) (1) より d
f (t)dt = d {S(x) − S(−x)} = S ′ (x) − S ′ (−x)(−x)′ = f (x) + f (−x)
dx −x
dx
√
√
1
1√ ≧ 1
1
5. (1) 0 ≦ x ≦ 1 のとき x2 ≦ x 2 ≦ x0 . つまり x2 ≦ x ≦ 1 よって 1 + x2 ≦ 1 + x ≦ 2,
≧
2
1+ x
1 + x2
∫ 1
∫ 1
∫ 1
1 dx <
1√ dx <
1 dx
(2) (1) で等号は常に成り立つことはないので
2
x
0 2
0 1+
0 1+x
∫ 1
∫ 1
∫ 1
1 dx = 1 [x]1 = 1 ,
1 dx = [tan−1 x]1 = tan−1 1 = π . よって 1 <
1√ dx < π
0
2
2 0
2
4
2
4
x
0 2
0 1+x
0 1+
√
√
6. (1) OP = a, OQ = t より PQ2 + t2 = a2 よって PQ = a2 − t2 . よって △OQP = 1 t a2 − t2
2
1
t
t
2
∠OPQ = θ とすると ∠BOP = θ で扇形 OPB = a θ. sin θ =
だから θ = sin−1
2
a
a
1
t
よって扇形 OPB = a2 sin−1
2
a
(2) 定積分の値は △OQP と扇形 OPB の面積の和なので
∫ t√
(√
)
√
a2 − x2 dx = 1 t a2 − t2 + 1 a2 sin−1 t = 1 t a2 − t2 + a2 sin−1 t
2
2
a
2
a
0

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